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第十二章 微分方程 13 56 49 第十二章 微分方程 微分方程是高等数学中理论和应用都较强的一部分 是微积分学的一个直接延续 它包括两个主要方面 第一方面是求给定常 微分方程的解 第二方面是常微分方程的应用 一 学习目的 1 理解微分方程的一般概念 2 熟练掌握分离变量方程 齐次方程 一阶线性方程 伯努利方程 全微分方程的解法 3 掌握可降阶的三种二阶特殊类型的微分方程的解法 4 深刻理解二阶线性方程解的结构 5 熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次方程的解法 了解阶常系数线性齐次与非齐次方程的解法 6 掌握用微分方程解决实际问题的步骤 二 学习重点 微分方程的一般概念 可分离变量的方程 一阶线性方程 二阶常系数线性方程 三 学习难点 识别一阶微分方程的各种类型 二阶常系数线性非齐次方程的特解的求法 四 内容提要 一 基本概念 1 微分方程 凡表示未知函数 未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫做微分方程 未知函数是一元函数的叫做常 微分方程 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程 附注 本章仅限于讨论常微分方程 2 微分方程的阶 微分方程中未知函数的最高阶导数 或微分 的阶数 称为微分方程的阶 3 微分方程的解 代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数 称为微分方程的解 这个函数的图形 称为该微分方程的积 分曲线 4 微分方程的通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 则这样的解称为 微分方程的通解 附注 所谓函数含有个独立常数 是指存在的某个邻域 使得 行列式 其中表示对的阶导数 5 微分方程的初始条件 确定微分方程通解中任意常数所给出的条件 称为定解条件 如果这样的定解条件是在同一时刻给出 的 称为微分方程的初始条件 6 微分方程的特解 由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解 称为微分方程的特解 附注 有的参考书上将微分方程的特解定义为 由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解或不含任意常数的解 称为微 分方程的特解 这个定义比教材上更广泛些 例如 对于微分方程 其通解为 易证函数 也是该方程的解 但它不能由通解中取适当的常数得到 按照教材的定义 它就不是特解 二 微分方程的类型及其解法 1 一阶微分方程 1 可变量分离的微分方程 形如 或 12 1 的微分方程 称为可变量分离的方程 这里假设分别是的连续函数 当时 方程 12 1 可写成 第十二章 微分方程 13 56 49 12 2 两端分别积分得到原方程的通解 若存在使得 则也是该方程的解 附注 这种形式的解 有时可能包含在通解中 即可在通解中取适当的常数得到 有时不包含在通解中 即在 通解中取任意常数都得不到这种解 另一方面 若只求方程的通解 可不考虑这种形式的解 例12 1 求方程的通解 解 当时 分离变量得 两边积分 即 或 这就是所求的通解 注意 也是原方程的解且不包含在通解中 如果题目改成求方程的解 则除了求出通解外 还需求出这样的解 2 齐次微分方程 如果一阶微分方程中的可以写成的函数 即 12 3 则称这方程为齐次方程 求解方法是作变量代换后将其化为可分离变量方程 然后求解 令 即 于是将此代入 12 3 得 即 两边积分 求出积分后 再用代替便得齐次方程的通解 例12 2 求方程满足的特解 解 这是齐次方程 令 得 或 第十二章 微分方程 13 56 49 两边积分 得 即 其中 代回 得原方程的通解 由初始条件得 故所求特解为 3 可化为齐次微分方程的方程 对于形式为 12 4 的微分方程 当时是齐次方程 否则不是齐次微分方程 在非齐次方程情形 当时 作代换 其中为新自变量 为新未知函数 为待定常数 将方程 12 4 化为关于和的齐次方程 求出这方程的通解 再换回原变量 即为方程 12 4 的通解 当时 作适当的变量代换 将方程化为可分离变量方 程 在其通解中换回原变量 即为方程 12 4 的通解 例12 3 解方程 解 因为 所以解代数方程组 得到 作变量变换 即 则 原方程化为 这是齐次方程 令 则此方程变为 化简并变量分离 得到 两边积分 得到 化简并用代入 得到 因此原方程的通解为 第十二章 微分方程 13 56 49 4 一阶线性微分方程 形式为 12 5 的方程 称为一阶线性微分方程 当时 则 12 5 为 12 6 12 6 称为一阶线性齐次微分方程 方程 12 6 的解法 i 分离变量法 ii 公式法 其中记号表示的某个原函数 当不成立时 则 12 5 为一阶线性非齐次微分方程 此时称为它所对应的线性齐次微分方程 设 12 5 为一阶线性非齐次微分方程 则它的通解结构 设 12 5 所对应的线性齐次方程 12 6 的通解为 方程 12 5 的一 个特解为 则方程 12 5 的通解为 方程 12 5 的解法 i 常数变易法 求出它所对应的线性齐次方程 12 6 的通解 将通解中的任意常数换成函数 设 12 7 为方程 12 5 的解 将 12 7 代入 12 5 求出 其中包含任意常数 把求出的代入 12 7 便得 12 5 的通解 ii 公式法 12 8 方程 12 5 的通解也可以写成 其中 为的连续区间 为任意常数 附注 与非线性方程不同 线性方程的通解包含了方程的所有解 例12 4 求方程的通解 这里为常数 解 将原方程改写为 先求它所对应的齐线性方程为 的通解 由 经变量分离后得到此齐线性方程的通解为 其次 应用常数变易法求原非齐线性方程的通解 为此 设并将它代入到原方程 得到 第十二章 微分方程 13 56 49 化简后 得到 两边积分 得到 这里是任意常数 于是原方程的通解为 附注 也可直接套用公式求方程 的通解如下 5 贝努利方程 形式为 12 9 的方程称为Bernoulli方程 Bernoulli方程的解法 作代换 可以将Bernoulli方程化为以为未知函数的一阶线性方程 求出这方程的通解后 再将换成 即为方程 12 9 的通解 例12 5 求 的解 解 方程不是以为未知函数 为自变量的Bernoulli方程 但我们可将它改写为 它是以为未知函数 为自变量且的Bernoulli方程 于是它的通解为 将初始条件 代入 得到 于是所求的解为 6 全微分方程 当把一阶微分方程写成对称形式 12 10 时 如果其左边恰好是某个二元函数的全微分 即 则称 12 10 为全微分方程 命题 设在单连通区域内连续 则 12 10 为全微分方程的充分必要条件是在内恒成立 注意 凡是可分离变量的方程一定是全微分方程 全微分方程的解法 i 凑全微分法 将所给的方程重新组合 使之左边是某个二元函数的全微分 右边为零 则所给方程的通解为 第十二章 微分方程 13 56 49 ii 不定积分法 要找函数使得 即 由对求不定积分 12 11 其中起不定积分中积分常数的作用 将对求偏导数 代入中 定出 再将代入 12 11 即得所给全微分方程的通解 iii 曲线积分法 公式法 设是定义在单连通区域内的全微分方程 取曲线积分 其中是区域中的一个给定的点 则便是方程所求的通解 例12 6 求方程的通解 解 记 则 因此方程为全微分方程 取 令且 于是 为确定 将代入到等式中 得到 于是 积分后 得到 将代入到中 得到 因此 方程的通解为 其中为任意常数 在某些情况下 形如 12 12 的微分方程虽然不是全微分方程 这里在内不恒成立 但用不恒等于零的函数乘以 12 12 的左边后能将其 化为全微分 这时就是全微分方程了 象这样的函数称为方程 12 12 的积分因子 方程 12 12 的解法 积分因子法 先求出积分因子 一般地 求非全微分方程的积分因子是困难的 没有一般的规律可循 但对具有某 些特殊性质的微分方程 还是可以求出积分因子的 如 第十二章 微分方程 13 56 49 i 当 即表达式仅为的函数 时 则可取 为积分因子 ii 当 即表达式仅为的函数 时 则可取 为积分因子 再用求出的积分因子去乘 12 12 的左边 则 12 12 就变成全微分方程了 求出该方程的通解 且此也为原方 程 12 12 的通解 注意 积分因子不是唯一的 因而通解可能有不同的形式 要注意增根和减根 使函数的函数若不 满足原方程时 则产生增根 应舍去此解 此外 由 因使的函数也满足 原方程 故应将此解补上 2 高阶微分方程 1 可降阶的高阶微分方程 12 13 方程 12 13 的解法 经过次积分 就可得到方程 12 13 的通解 不显含未知函数 12 14 方程 12 14 的解法 设 即 则 方程 12 14 化为 这是以为自变量 为未知函数的一阶微分方程 利用一阶微分方程求解方法 如果求得通解 联系与的等式 解出 即 再积分一次便得原方程 12 14 的通解 例12 7 求方程的解 解 设 则原方程化为 两端关于求导并用代入 得到 或 由此得或 从解得 第十二章 微分方程 13 56 49 并将它代入得到原方程的通解 又从解得 将它代入得到原方程的一个解 且此解不能由通解取适当的得到 所以原方程的解 通解及一个解 不显含自变量 12 15 方程 12 15 的解法 设 即 则 方程 12 15 化为 这是以为自变量 为未知函数的一阶微分方程 利用一阶微分方程求解方法 如果求得通解 联系与的等式 解出 即 分离变量并积分 便得原方程 12 15 的通解 例12 8 求方程的解 解 当时 解出 并令 则原方程化为 两端关于求导并用代入 得到 或 经检验 它是一个全微分方程 经分项组合后 得到通解 即 将它代入 得到 第十二章 微分方程 13 56 49 因此 原方程的参数形式的通解为 或 当时 由方程直接推知也是方程的解此解不能由通解取适当的得到 2 二阶线性微分方程 12 16 当 12 16 右端时 则 12 16 为 12 17 12 17 称为二阶线性齐次微分方程 方程 12 17 的通解结构 设和是方程 12 17 的两个线性无关的特解 则方程 12 17 的通解为 方程 12 17 的解法 在简单的情况下 若由观察得一特解 则求另一线性无关的特解可用降阶法 即设 其中为待定函数 将代入 12 17 可求出 从而可求出 也可以用公式 求出 于是可求出方程 12 17 的通解 解的线性无关的判定 设是定义在区间上的个次可微函数 则称行列式 为的伏朗斯基行列式 记为 若不成立 则线性无关 注意 若 不能肯定线性相关 例如 设 则易证明 但却是线性无关的 当是阶线性齐次微分方程 的解时 由能推出它们是线性相关的 于是有下面的判断方法 命题 当是阶线性齐次微分方程 的解时 若不成立 则它们线性无关 否则线性相关 特别地 对于两个函数 只要看它们的比 若比不恒等于常数 则它们线性无关 否则线性相关 第十二章 微分方程 13 56 49 当 12 16 右端不成立时 则 12 16 为二阶线性非齐次微分方程 其通解结构 设 12 16 所对应的齐次方 程 12 17 的通解为 且方程 12 17 的一个特解为 则方程 12 16 的通解为 若方程 12 16 的右端 且与分别是方程 与 的特解 则就是方程 12 16 的特解 可用常数变易法求方程 12 16 的通解 先求出 12 16 所对应的齐次方程 12 17 的通解 12 18 把 14 18 中的与分别换成与 设 12 19 为方程 12 16 的解 将 12 19 代入 12 16 时 为了不使与出现二阶导数 求出后令 再求 代入 14 16 得 由此求出与 把求出的与 包含任意常数 代入 14 19 便得方程 14 16 的通解 二阶常系数线性齐次微分方程 12 20 其中和均为常数 用特征根法求方程 12 20 的通解 i 写出 12 20 的特征方程 12 21 ii 求出方程 12 21 的两个根和 iii 根据和的不同情形 按下表写出 12 20 的通解 方程 12 20 的通解 两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 上述求方程 12 20 的方法及通解形式可推广到阶常系数线性齐次微分方程 其一般形式为 12 22 其中为常数 12 22 的特征方程为 12 23 根据特征方程 12 23 的根的不同情形 得出方程 12 22 通解中不同的对应项 若是单实根 则有一项对应项 若是重实根 则有项对应项 若是一对共轭复根 即 则有两项对应项 若是一对重共轭复根 则有项对应项 而方程 12 22 的通解则是上述这些解的线性组合 例12 9 求方程的通解 第十二章 微分方程 13 56 49 解 特征方程为 特征根是 对应的特解为 对应的特解为 因此原方程的通解为 其中为任意常数 二阶常系数线性非齐次微分方程 12 24 其中和均为常数 方程 12 24 的解法 先求出方程 12 24 所对应的齐次微分方程 12 20 的通解 再求出方程 12 24 的一个特解 则方程 12 24 的通解为 的求法 i 待定系数法 当方程 12 24 的右端为某些特殊类型函数时 用待定系数法求 型 其中为常数 为的多项式 方程 12 24 的特解设为 12 25 其中按不是特征方程 12 21 的根 是单根或二重特征根分别取为或2 是与的同次多项式 将 12 25 代入 12 24 比较两端的同次幂的系数 求出的各项系数便可求出 例12 10 求方程的通解 解 特征方程有二重根 设其特解的形式为 将代入原方程得到 比较两端系数得到 于是 另一方面 对应的齐次方程的通解为 因此原方程的通解为 型 其中均为常数 分别为的次 次多项式 其中 有一个可为零 方程 12 24 的特解设为 12 26 其中按 或 不是特征方程 12 21 的根或是单根分别取为0或1 是与为的多项式 将 12 26 代入 12 24 比较两端同类项的系数 求出和中各项系数便可求出 上述结论可推广到阶常系数线性非齐次微分方程 这时 12 25 中的是特征方程含根的重复次数 12 26 中的是特 征方程含根 或 的重复次数 ii 常数变易法 此法不如待定系数法方便 常数变易法需要积分 而待定系数法只需求导 因此 一般来说只有当不 属于前面讨论过的两种特殊类型函数时 才利用常数变易法求 3 欧拉 Euler 方程 欧拉方程的一般形式为 12