习题一 概率论的基本概念习题答案.pdf

1 习题一 概率论的基本概念 1 1 写出下列随机试验的样本空间 1 记录一个小班一次数学考试的平均分数 设以百分制整数得 分 2 在单位圆内任取一点 记录其坐标 解 1 设该小班中共有n个人 每一个人的分数可取0 1 2 100 因此n个人分数之和的可能取值为0 1 2 100 n 所以平均分数的 可能值可取 0 1100 n n nn 故样本空间为 0 1 2 100 k kn n 2 设任取一点的坐标为 x y 则样本空间为 22 1x yxy 1 2 设 A B C 为三事件 用 A B C 的运算关系表示下列事 件 1 A发生 B 与 C 不发生 2 A B 都发生 而 C 不发生 3 A B C 中至少有一个发生 4 A B C 都发生 5 A B C 都不发生 6 A B C 中不多于一个发生 即 A B C 中至少有两 个同时不发生 7 A B C 中不多于二个发生 8 A B C 中至少有二个发生 2 注 当然 上面的表达式还有注 当然 上面的表达式还有多种表达方式 多种表达方式 3 1 3 在数学系学生中任选一名 令在数学系学生中任选一名 令 A 表示 选到男生 表示 选到男生 B 表表 示 选到三年级学生 示 选到三年级学生 C表示 选到运动员 表示 选到运动员 1 叙述事件 叙述事件ABC的意义 的意义 2 在什么条件下 在什么条件下ABCC 成立 成立 3 何时 何时CB 是正确的 是正确的 4 什么时候 什么时候AB 成立 成立 解解 1 选到的学生是非运动员的三年级男生 选到的学生是非运动员的三年级男生 2 被选到的运动员是三年级男生 被选到的运动员是三年级男生 3 选到的运动员都是三年级学生 选到的运动员都是三年级学生 4 选到的学生都是三年级的女生 选到的学生都是三年级的女生 1 4 如下图 设如下图 设 1 2 ii A B is 表示它们所在的位置开关闭合 表示它们所在的位置开关闭合 事件事件 C 电路接通电路接通 试用 试用 1 2 ii A B is 表示表示 C与与C 解解 因为因为 1 2 ii A B is 表示开关打开 表示开关打开 1 2 ii A B is 表示开关表示开关 合上 所以合上 所以 1122 ss CABABAB 1122 ss CA BA BA B 1 5 化简化简 1 ABAB 解解 ABABABBAA 4 2 ABCABCABCABC 解ABCABCABCABC ABCABCABCABC AA BCAA BC BCBCBB CC 1 6 设设 02 Sxx 1 1 2 Axx 13 42 Bxx 具体写出具体写出 下列事件 下列事件 1 AB 2 AB 3 AB 4 AB 解解 1 因为因为 1 0 12 2 Axxx 所以 所以 113 1 422 ABxxx 2 02ABxx 3 1 0 12 2 ABxxx 4 ABABAB 13 42 Bxx 1 7 设设 A B C 是三个事件 并且是三个事件 并且 1 4 P AP BP C 0 P ABP BC 1 8 P AC 求求 A B C 中至少有一个发生的概率 中至少有一个发生的概率 解解 P ABCP AP BP C P ABP BCP ACP ABC 11115 000 44488 5 1 8 设设 A B是两个事件 且是两个事件 且 0 6 0 7P AP B 问 问 1 在什么条件下在什么条件下 P AB取到最大值 最大值为多少 取到最大值 最大值为多少 2 在什么条件下 在什么条件下 P AB取到最小值 最小值为多少 取到最小值 最小值为多少 解解 1 当 当AB 时 有时 有ABA 此时 此时 P AB为最大 其值为为最大 其值为 0 6P ABP B 2 当 当AB 时 即时 即 1P ABP 时 时 P AB为最小 为最小 且有且有 P ABP AP BP AB 0 60 710 3 1 9 袋中有白球袋中有白球 5 只 黑球只 黑球 6 只 依次取出三只 求顺序为黑只 依次取出三只 求顺序为黑 白黑的概率 白黑的概率 解解 这是一个古典概型 总的样本点数为这是一个古典概型 总的样本点数为 111 11109 C C C 有利样本点数为有利样本点数为 111 655 C C C 所以要求的概率为所以要求的概率为 111 655 111 11109 6 5 55 11 10 933 C C C P C C C 1 10 从一批由从一批由 45 件正品 件正品 5 件次品组成的产品中任取件次品组成的产品中任取 3 件 件 求其中恰好有求其中恰好有 1 件次品的概率 件次品的概率 解解 设所求的概率为设所求的概率为 P 则 则 12 545 3 50 54544 99 2 504948 392 3 C C P C 0 253 6 1 11 投掷两颗骰子 令投掷两颗骰子 令 A 为点数的和是奇数的事件 为点数的和是奇数的事件 B为至少为至少 出现一个奇数点的事件 试求出现一个奇数点的事件 试求 AB AB AB的概率 的概率 解解 总的样本点数为总的样本点数为 2 636 A 中含有的样本点数为中含有的样本点数为 18 个 个 B 中含有的样本点数为中含有的样本点数为 27 个 又个 又 AB 181 362 P ABP A 273 364 P ABP B 0P ABP AABP AAP 1 12 设有设有n个人个人 每个人都等可能地被分配到 每个人都等可能地被分配到N个房间中的个房间中的 任意一间去任意一间去 nN 求下列事件的概率 求下列事件的概率 1 指定的 指定的n个房间中各有一个人住 个房间中各有一个人住 2 恰好有 恰好有n个房间 其中各住一人 个房间 其中各住一人 解解 总的样本点数为总的样本点数为 n N 1 有利样本点数为有利样本点数为 n 所以 要求的概率为 所以 要求的概率为 n n P N 2 有利样本点数为有利样本点数为 n N Cn 所以 要求的概率为 所以 要求的概率为 n N n Cn P N 1 13 任意取两个不大于任意取两个不大于 1 的正数 试求其和不大于的正数 试求其和不大于 1 且其 且其 积不大于积不大于 2 9 的概率 的概率 解解 这是几何概率问题 这是几何概率问题 01 01xy 故样本空间为 故样本空间为 0 1 0 1 S 样本空间的面积为 样本空间的面积为 1 有利样本点的集 有利样本点的集 7 合为合为 且且 2 01 0 9 Ax yxyx 所以要求的概率 所以要求的概率 为为 P A 的面积 的面积 的面积 的面积 的面积 的面积 A A S 因为 因为 S 的面积等于的面积等于 1 下面求下面求 A 的面积 如图所示 即要求阴影部分的面积 的面积 如图所示 即要求阴影部分的面积 A 的面积的面积 2 3 1 3 12 1 29 xdx x 2 3 2 1 3 112 ln 229 xxx 12 ln2 39 即所以的概率为即所以的概率为 12 ln2 39 1 14 已知已知 0 3 P A 0 4 P B 0 5 P AB 求求 P B AB 解解 因为因为 0 3P A 所以 所以 1 10 30 7P AP A 同理可得同理可得 1 10 40 6P BP B P ABP AP BP AB 0 70 60 50 8 P B AB P B AB P AB P BABBP AB P ABP AB 0 21 0 84 8 0 5 P ABP AABP AP AB 0 7 P AB 0 70 50 2 P AB 1 15 袋中有袋中有 10 个球 个球 9 个是白球 个是白球 1 个是红球 个是红球 10 个人依个人依 次从袋中各取一球 每个人取一球后不再放回袋中 问第一个人 次从袋中各取一球 每个人取一球后不再放回袋中 问第一个人 第二个人 最后一人取得红球的概率是多少 第二个人 最后一人取得红球的概率是多少 解解 将袋中的将袋中的 10 个球编上号 每一个球取到的可能性相同 个球编上号 每一个球取到的可能性相同 因此 总的样本点数为因此 总的样本点数为10 设 设 k A表示第表示第k个人摸到红球的这一事个人摸到红球的这一事 件件 110 k 则则 1111 981011 10 1 10 10 k k C CCCk P A 110 k 因此 每一个因此 每一个人摸到红球的概率都是人摸到红球的概率都是 1 10 1 16 有两箱同种类的零件 第一箱装有两箱同种类的零件 第一箱装 50 只 其中只 其中 10 只一只一 等品 第二箱装等品 第二箱装 30 只 其中只 其中 18 只一等品 今从两箱中任挑出一只一等品 今从两箱中任挑出一 箱 然后从该箱取零件两次 每次任取一只 作不放回抽样 试箱 然后从该箱取零件两次 每次任取一只 作不放回抽样 试 求 求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 第一次取到的零件是一等品的概率 2 第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也 第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也 是一等品的概率 是一等品的概率 解解 设设 i A 取 出的 第 取 出的 第i箱 箱 1 2i j Bj 第 次从箱中取得的是一等品 第 次从箱中取得的是一等品 1 2 j 因为因为 12 1 2 P AP A 11 101 505 P BA 122 18 17 30 29 P B BA 9 12 18 30 P BA 121 109 50 49 P B BA 由全概率公式知由全概率公式知 1 第一次取到一等品的概率为 1111212 P BP A P BAP A P BA 1 101 184 0 4 2 502 3010 2 1211212122 P B BP A P B BAP A P B BA 1 1091 18 17 0 19423 2 50 492 30 29 所以所以 12 21 1 0 19423 0 4856 0 4 P B B P BB P B 1 17 甲乙丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分甲乙丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分 别为别为 0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而被击落的概率为飞机被一人击中而被击落的概率为 0 2 被两人 被两人 击中而被击中而被击落的概率为击落的概率为 0 6 若三人都击中 飞机必定被击落 若三人都击中 飞机必定被击落 求飞机被击落的概率 求飞机被击落的概率 解解 设设 i A 飞机被 飞机被i个人击中 个人击中 i B 飞机被第 飞机被第i人击中 人击中 1 2 3i 分别对应甲 乙 丙三人 分别对应甲 乙 丙三人 C 飞机被击落 飞机被击落 因为因为 1 0 4 P B 2 0 5 P B 3 0 7 P B 1123123123 P AP B B BB B BB B B 123123123 P B P B P BP B P B P BP B P B P B 0 36 2123123123 P AP B B BB B BB B B 10 123123123 P B P B P BP B P B P BP B P B P B 0 41 3123123 P AP B B BP B P B P B 0 4 0 5 0 70 14 由全概率公式知由全概率公式知 3 1 ii i P CP A P C A 0 36 0 20 41 0 60 14 10 458 123 0 2 0 6 1 P C AP C AP C A 1 18 一一个工人看管三台车床 在一小时内车床不需要工人照管个工人看管三台车床 在一小时内车床不需要工人照管 的概率 第一台等于的概率 第一台等于 0 9 第二台等于 第二台等于 0 8 第三台等于 第三台等于 0 7 求 求 在一个小时内三台车床中最多有一台车床需要工人照管的概率 在一个小时内三台车床中最多有一台车床需要工人照管的概率 解解 设设第 台车床需要工人照管 第 台车床需要工人照管 1 2 3 i Aii 故所求的概 故所求的概 率为率为 123123123123 P A A AA A AA A AA A A 123123123123 P A A AP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 123 P A P A P A 0 90 80 70 1 0 80 70 90 20 7 0 90 80 3 0 5040 0560 2160 1260 902 1 19 发报台分别以概率发报台分别以概率 0 6 及及 0 4 发出信号发出信号 及及 由于通 由于通 信系统受到干扰 当发出信号为信系统受到干扰 当发出信号为 时 收报台以概率时 收报台以概率 0 8 及及 0 2 收到信号收到信号 及及 又当发出信号 又当发出信号 时 收报台以概率时 收报台以概率 0 9 11 及及 0 1 收到信号收到信号 及及 求 求 1 当收报台收到信号 当收报台收到信号 时 发报台确系发出信号时 发报台确系发出信号 的概的概 率 率 2 当收报台收到信号 当收报台收到信号 时 发报台确系发出信号时 发报台确系发出信号 的概的概 率 率 解解 设设发出信号发出信号 A 从而 从而 发出信号 发出信号 A 收到信号 收到信号 B 收到信号收到信号 B 已知已知 0 6 0 4P AP A 0 8 0 2 P B AP B A 0 1 0 9P B AP B A 1 P ABP A P B A P B A P AP A P B AP A P B A 0 60 80 4812 0 60 80 40 10 48413 2 P ABP A P B A P B A P AP A P B AP A P B A 0 40 90 363 0 40 90 60 20 484 1 20 两台车床加工同样的零件 第一台出废品的概率为两台车床加工同样的零件 第一台出废品的概率为 0 03 第二台出现废品的概率为第二台出现废品的概率为 0 02 加工出来的零件放在一起 并且 加工出来的零件放在一起 并且 已知第一台加工零件比第二台加工的零件多一倍 求任意取出的已知第一台加工零件比第二台加工的零件多一倍 求任意取出的 零件是合格品的概率 如果任意取出的零件是废品 求它是第二零件是合格品的概率 如果任意取出的零件是废品 求它是第二 台车床加工的概率 台车床加工的概率 解解 设设 A 任取一件产品来自第一台车床 任取一件产品来自第一台车床 B 所取的产品为废品所取的产品为废品 12 则则 212 333 P AP AP B A 0 02P B A P A P B A P A B P A P B AP A P B A 1 0 02 1 3 21 4 0 030 02 33 1 21 三人独立去破译一份密码 已知各人能破译的概率分别为三人独立去破译一份密码 已知各人能破译的概率分别为 1 1 3 4 1 5 问三人中至少有一人能将此密码破译的概率是多少 问三人中至少有一人能将此密码破译的概率是多少 解解 设设1 2 3 i Aii 第 个人能破译密码 第 个人能破译密码 33 1212 2342 3455 P A A AP A P A P A 故求的概率为故求的概率为 123123 1 P AAAP AAA 3 12 23 1 1 55 P A A A 另法 另法 利用事件的独立性与加法公式 利用事件的独立性与加法公式 123 P AAA 123122331123 P AP AP AP A AP A AP A AP A A A 111111111111 345344553345 3 5 1 22 甲乙两个篮球运动员 投篮命中率分别为甲乙两个篮球运动员 投篮命中率分别为 0 7 及及 0 6 每人 每人 投篮三次 求 投篮三次 求 1 两人进球数相等的概率 两人进球数相等的概率 2 甲比乙进球数多的概率 甲比乙进球数多的概率 13 解 解 1 甲 乙两人每次投篮独立 即相互独立 甲 乙两人每次投篮独立 即相互独立 X表示甲投中表示甲投中 的次数 的次数 Y表示乙投中的次数表示乙投中的次数 0 0 1 1 P XYP XYP XY 2 2 3 3 P XYP XY 331212 33 0 4 0 3 0 60 40 70 3CC