章节复习：平行四边形（5个知识点+12大常考题型）解析版-2024-2025学年八年级数学下册（北师大版）

平行四边形（5个知识点+12大常考题型）

9考点导航

目录

【考点一利用平行四边形的性质求解】...........................................................3

【考点二平行四边形的性质与判定多结论问题】..................................................8

【考点三利用平行四边形的性质求动点问题】....................................................16

【考点四平行四边形中的折叠问题】............................................................21

【考点五判断能否构成平行四边形】............................................................29

【考点六平行四边形中的作图】................................................................32

【考点七平行四边形中的性质和判定】..........................................................38

【考点八与三角形中位线有关的求解问题】.....................................................47

【考点九平行四边形与中位线综合问题】........................................................50

【考点十多边形内角和、外角和问题】..........................................................57

【考点十一多边形中的对角线问题】............................................................59

【考点十二多边形中的截角问题】..............................................................61

O知识清单

知识点01平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“口”表示，平行四边形N8CD表示为“口

ABCD”,读作“平行四边形/BCD”

知识点02平行四边形的性质

平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形/BCD是平行四边形：

性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD,AD=BC；AB//CD,AD//BC

性质2（角）：对角相等，即：ZBAD=ZBCD,NABC=NADC

性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC,BO=OD

注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即

②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即/D/OWNB/。.

性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.

知识点03平行四边形的判定定理

平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形/BCD：

AD

Bc

（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AB//DC.

（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AB=DC.

（3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即ND〃3C且/。=5C；AB〃DC且AB=DC.

（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即N8ND=A8CD且乙48C=乙4DC.

（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即/O=C。且2。=。。

注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；

②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边

相等，是无法判定为平行四边形的.

知识点04三角形的中位线定理

（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）

（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、£分

DEHBC

别为的中点，[.

DE=-BC

I2

知识点05多边形的概念、内角和、外角和

1.定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.其中，各个角

相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.

2.相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个"边形有〃个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多

边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形.如图:

特别说明：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可;

⑵过n边形的一个顶点可以引(〃-3)条对角线，"边形对角线的条数为迎二义;

2

(3)过〃边形的一个顶点的对角线可以把〃边形分成(〃-2)个三角形.

4.多边形内角和：”边形的内角和为("-2)•180°(〃N3).

特别说明：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(〃—2)」80°；

n

5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°.

特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和•〃边形的外

角和恒等于360。，它与边数的多少无关；

(2)正力边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于幽；

n

(3)多边形的外角和为360°的作用是:①已知各相等外角度数求多边形边数;②已知多边形边数求各相等外

角的度数.

Q典例变式

【考点一利用平行四边形的性质求解】

例题：(24-25八年级下,上海,期中)在口/5CD中，若乙4=3/8,则〃＞为度.

【答案】45

【知识点】利用平行四边形的性质求解

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，对边平行是解题的关键.

根据平行四边形的性质，可得4D〃BC,ZB=ZD,再结合N/=3乙8,可得到NB=45。，即可求解.

【详解】解：••・四边形/融券是平行四边形，

AD//BC,ZB=ZD,

4+4=180°,

•••N4=3ZB,

.♦.348+4=180°,

NB=45°,

Z£>=45°.

故答案为：45

【变式训练】

1.（24-25八年级下•北京•期中）如图，在口/BCD中，ZBAC=105°,ND=45。，AC=4,贝=

【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用、含30度角的直

角三角形

【分析】作3c于点£,由平行四边形的性质得48=40=45。，由三角形内角和定理得AC8=30。,

由含30。的直角三角形的性质得3E=g/C=2,所以N£=3E=2,最后由勾股定理求得的长度即可.

•••ZBAC=105°,

/.ZACB=180°-ZB-ABAC=30°,

二.AE=-AC=2

2f

AE=BE=2,

AB=-JAE2+BE2=V22+22=2收，

故答案为：30,242.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识,

熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

2.（24-25八年级下•山东济宁•期中）如图，nABCD^,2C=2,点E在D4的延长线上，BE=25,若B4

平分NEBC,则。E=

cB

【答案】4.5

【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键.由

平行四边形的性质可知，AD=BC=2,BC//AD,进而得出/5/E=NEA4,再由等角对等边的性质，得

至ijBE=NE=2.5,即可求出。£的长.

【详解】解：在口/BCD中，BC=2,

:.AD=BC=2,BC//AD,

ZCBA=ZBAE,

■.■BA平分/EBC,

ZCBA=ZEBA,

ZBAE=NEBA,

BE=AE=2.5,

DE=AD+AE=2+2.5=4.5,

故答案为：4.5.

3.（24-25八年级下•黑龙江绥化•期中）在口45CE中，/£是8C边上的高，N8=10,4E=6,且

CE:AE=\:3,则口4BCE的面积为

【答案】36或60

【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考查了勾股定理，以及平行四边形的面积公式，解题的关键是分类讨论.分析：分两种情况

讨论：①E在线段上，如图1,②£在的延长线上，如图2.分别利用勾股定理解答即可.

【详解】①当£在线段3C上时，如图1,

图1

vAB—10,AE=6,

-BE=YIAB2-AE2=8

EC_1

•石一§'

;.EC=LAE=2

3

BC=BE+CE=10,

:.口ABCE的面积=BC•NE=60；

②当点£在5c的延长线上时，如图2,

■-BE=ylAB2-AE2=8

EC1

'AE-3'

；.EC=LAE=2

3

BC=BE-CE=6,

；.口ABCE的面积=BC-AE=36；

综上所述：口NBC。的面积为36或60.

故答案为36或60.

4.（2025•江西九江•二模）在o4BCD中，/B=10,BC=4,/。=60。，点E在CD上，CE=4,点G在42

上，连接CG,尸是CG的中点.若A瓦（是等腰三角形，则3G的长为.

【答案】6,10-2旧或2万+2

【知识点】全等的性质和（AAS）综合（NSN或者N4V）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的

性质和判定、用勾股定理解三角形

【分析】需分三种情况讨论:①当跖="时，连接EG,过点C作CF，他于点尸,根据已知得4GEC=90°,

结合平行四边形的性质求得4=60。，EC=GF,进一步得8尸=；3C,CF=26,GF=CE=4,即可求

彳导BG=GF+FB；

②当歹=&?=4时，过点尸作FN_LOC于点N,交48于点”，过点C作CD_L48于点X,贝U

GMGF

NM//CH,有——=——，同理可得，MN=2s/3,BH=2,再证明△GEVfgziCFN得GM=CN,进一步求

GHCG

得NF=MF=；MN,GH=2GM,利用勾股定理求得EN和CN,则BG=GH+H8；

③当EC=AC=4时，过点尸作网，。。于点N,交AB于点过点C作CD,"于点”，同理可得

BH=2,GH=2GM,GM=CN,求得CN,利用8G=G8+r即可.

【详解】解：若A跖C是等腰三角形，需分三种情况讨论.

①当斯=尸。时，连接EG,过点。作CHL45于点如答图1,

答图1

,・•万是CG的中点,

.・.EF=CF=GF

・•.ZFEC=/FCE,ZFEG=/FGE,

••・ZFEC+ZFCE+NFEG+ZFGE=180°,

.・.2ZFEC+2/FEG=180°,

/.ZG^C=90°,

ZEGF=ZGEC=ZCHG=90°

・•・四边形CEG〃是矩形，

・•.EC=GH

・・•在口/BCD中，ZD=60°,

/5=60。,

vBC=A,AB=10,CE=4,

：.BH=LBC=2,07=25GH=CE=4,

2

贝ijBG=G〃+/ra=4+2=6；

②当牙=&?=4时，过点尸作厂NLOC于点N,交45于点过点。作CD,48于点71,如答图2,

GMGF

,GH-CG?

同理可得，MN=2拒,BH=2,

•••尸是CG的中点，

GF_GM

''CG~~GH~21

・•.GH=2GM,

vZCNF=ZGMF=90°,ZGFM=ZCFN,CF=GF,

.-.△GW^ACTW(AAS),

GM=CN,NF=MF=LMN=/,

2

在中，W2=42-（V3）2,贝I」EN=JH,

:.CN=4-屈,

贝”6=6〃+烟=2（4-而）+2=10-2而；

③当EC=R?=4时，过点尸作两，DC于点N,交A8于点”，过点。作CD_L48于点X,如答图3,

答图3

同理可得8H=2,GH=2GM,GM=CN,CN2=42-（^,解得CN=而，

BG=GH+BH=2413+2.

故答案为：6,10-2万或2而+2.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和

性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判

定和性质，以及分类讨论思想的应用.

【考点二平行四边形的性质与判定多结论问题】

例题：（24-25九年级上•广东佛山•阶段练习）如图，平行四边形/BCD的对角线就＞交于点。，/E平分

/BAD交BC于点、E,且ZADC=60。，4B=；BC,连接OE.下列结论：①/C4D=30。；

；③。B=4B；其中成立的个数有（）

②S°ABCD=ABXAC@OE=|BC.

C.3个D.4个

【答案】B

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算

【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得A/BE是

等边三角形以及OE是*BC的中位线是解答本题的关键.

由口/8CO中，ZADC=60°,易得A4BE是等边三角形，又由=证得①/C4D=30。；继而证得

AC1AB,得②邑4BS=Z8x/C；由=OB==BD以及BD>BC,可得NBwOB；可得OE是三

22

角形的中位线，证得④OE=2/8=!BC.

24

【详解】解：•・•四边形45CQ是平行四边形，

ZABC=ZADC=60°,ABAD=120°,

•・•4E平分NB4D,

:.ZBAE=ZEAD=60°,

:.^ABE是等边三角形，

AE=AB=BE,

•・・AB^-BC,

2

AE=-BC,

2

二.ZR4c=90。,

ZCAD=30°f故①正确；

'：ACLAB,

•e-S口ABCD=xAC,故②正确；

•••AB^-BC,OB=-BD,

22

■：OB=-BD,

2

：.AB^OB,故③错误；

■.•ZCAD=30°,AAEB=60°,AD//BC,

ZEAC=ZACE=30°,

AE=CE,

BE—CE,

•••OA=OCf

.-.OE^AB^BC,故④错误；

24

故选:B.

【变式训练】

1.（23-24八年级下•全国•单元测试）如图，平行四边形/5C。的对角线/C,AD相交于点0,ZE平分

ZBAD,分别交8C,BD于点、E,P,连接O£,AADC=60°,AB=；BC=2,下列结论：

①/G4D=30。；②BD=2不；③%w=/"/C；@OE=^AD-,⑤%。其中正确的个数有

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直

角三角形

【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：/BAE=NBEA,则/8=8E=2,由有一个角是60度的等

腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：ZACE=30°,最

后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=；N3=1,OE〃阳,根据勾股定理计算。C,的长，即可求8。

的长；

③因为/B/C=90。，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤由三角形中线的性质可得：SABOE=SAEOC=；OE.OC=*.

【详解】解：①•••/E平分NR4。，

NBAE=ZDAE,

四边形45c。是平行四边形，

/.AD//BC,/ABC=ZADC=60°,

."DAE=/BEA,

/BAE=/BEA,

AB=BE=2,

s.^ABE是等边三角形，

AE=BE=2,

/.BC=2AB=4,

EC=2,

/.AE=EC,

/./EAC=ZACE,

ZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

.\ZACE=30°,

•••AD\\BCf

ZCAD=ZACE=30°,

故①正确；

②••・四边形ABCD是平行四边形，

..OA=OC,OB=OD

BE=EC,

石=，5=1,OE〃阳,

2

NEOC=ABAC=600+30°=90°,

RtAEOC中，OC=^EC2-OE2=73，

••・四边形NBC。是平行四边形，

■.AB//CD

ZACD=ZBAC=9Q°,

RtAOCD中，OD=yjoC2+CD2=5

BD=2OD=277

故②正确

③由②知：ZBAC=9Q°,

••S口ABCD="B-AC,

故③正确；

④由②知：OE是△A8C的中位线，

:.OE^-AB,

2

---AB=-BC=-AD,

22

:.OE=-BC=-AD,

44

故④正确；

⑤；BE=EC=2

1

'''SABOE=SAEOC=5OE,OC=

故⑤错误，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理，三角

形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键,

并熟练掌握同高三角形面积的关系

2.（23-24八年级下•湖南长沙•阶段练习）如图，E是口4BCD内一点、,EDLCD,EB1BC,

ZAED=135°,连接EC,AC,BD,下列结论：®ZADE=ZABE；②ABCE为等腰直角三角形；③

DE+AB^42BD-@AE2+AB2=AC2,其中正确的个数有（）

【答案】C

【知识点】全等的性质和N"（AAS）综合（/”或者A4S）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形

的性质证明、用勾股定理解三角形

【分析】①延长交于点尸，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到//£>£=N/8E；②先证

明9取得4D=BE,又有AD=BC,可得BE=BC,即可得到ABCE为等腰直角三角形；③

过点8作3G_L3。交。C延长线于点G,证明ABAEGABCG,再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质,

可得DE+AB=6BD成立;④过点c作于根据勾股定理即可证明

（/yV</yY

AC1=AH2+CH-=AB+—AE+AB-—AE=2AB2+AE2,可知结论不成立.

\27k27

【详解】解：①延长QE交45于点/，

•・•四边形ABCD是平行四边形，

ZADC=/ABC,

vEDVCD,EB工BC,

/EDC=/EBC=90°,

•••/ADE=/ABE,

故①正确;

・•.ZEAF=ZAEF=45°,

・•.AF=EF,

.—ADF%EBF〈AA0,

•**AD=BE,

•••AD=BC,

•••BE—BC,

•・•/EBC=90。

.•.△BCE为等腰直角三角形，

故②正确；

•••AADF"AEBF,

DF=BF,则ABDF为等腰直角三角形，

NBDE=45°,

过点8作2G，交DC延长线于点G,则NDBE=NGBC,

■:ZBCD+ABED=180°,/BCD+ZBCG=180°,

ABED=ZBCG,

BE=BC,

.•.△BDEABCG(ASA),

.■.CG=DE,BD=BG,ZBDE=ZBGC=45°,贝。A3£>G为等腰直角三角形,

：.DG=DC+CG=AB+DE,

由等腰直角三角形可知，DG=yjBD2+BG2=垃BD，

••・AB+DE=DG=6BD，

故③正确；

由勾股定理可知，AE27AP+EF2=®AF，贝1JAF=1-/£，

过点C作于a,则C//=D厂，

CD=BC,

；.AADF%BCH(HL),

AAF=BH,

^\CH=DF=BF=AB—*~AE,BH=AF=EF=—AE,

22

AC2=AH2+CH2=AB+—AE+AB--AE=2AB1+AE2

<27k27

故④不正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等

知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形.

3.（23-24九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，口/BCD中，对角线/C、8。相交于点。，/£平分

NBAD,分别交8C、BD于点、E、P,连接O£,ZADC=60°,AB=^BC=2,则下列结论:

①/C/D=30。；②③BD=2g；®S^BEP=S^APO.其中正确的个数是（）

/.4个8.3个C.2个D.1个

【答案】A

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、用勾股定理解

三角形

【分析】根据平行四边形的性质即可得4043=120。，又因为NE平分/以。，则可得

ZBAE=NDAE=60°=NABE,即“BE为等边三角形，再结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可判断

①；根据平行四边形性质，结合勾股定理即可判断③；AO=CO,BE=CE,则OE为三角形/2C的中位

线，利用中位线的性质和平行四边形性质即可判断②；与ABOE为同底等高的三角形，根据面积关

系即可判断④.

【详解】解：••・四边形/BCD是平行四边形，

ZABC=ZADC=60°,AD//BC,AO=CO,

ZDAB=120°,

又「AE平分NBAD,

ZBAE=ZDAE=60°=/ABE,

・•.为等边三角形，

:.AB=AE=BE,

又「AB=-BC=2,

2

•.AB=BE=AE=2,BC=4,

EC=2=AE=BE,

,/AAEC=/BAE+/ABE=120°,

:"EAC=/BCA=3。。,

，ACAD=/BCA=30°,

故①正确；

•••ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

AC=ylBC2-AB2=V16-4=2c，

…AO—y/3，BO=VAB2+AO2=J4+3=V7，

：.BD=2BO=2手,

故③正确；

vAO=CO,BE=CE,

，OE为三角形45C的中位线，

OE//AB,AB=2OE,

，OE=1,

又丁BC=4,

OE^-BC=-AD,故②正确；

44

△ZOE与△BOE为同底等高的三角形，

-S/UOE=S&BOE

•S_s

…Q&AOEu^POE-_uc&BOE_◎c&POE，

S4BEP=S^APO，故④）正确，

综上，正确的有①②③④.

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形性质

和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断.

4.（24-25八年级下•吉林•期中）如图，点。是口A8CD的对角线的交点，ZABC=120°,//DC的平分线。E

交48于点E,DE与AC交于点F,AB=2AD,连接OE.下列结论：®SaASCD=AD-BD.②DB平分

NCDE；③40=DE；④0E:BD=G.6,其中正确的有.

【答案】①②④

【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等,

解题的关键是平行四边形性质的应用.本题综合运用这些性质定理逐项进行判断即可.

【详解】解：在。ABCD^P,

■：ABAD=ABCD=60°,N/OC=120°,DE平分NADC,

：.NADE=ZDAE=ZAED=60°,

・•.△NAE是等边三角形，

.-.AD^AE^-AB,

2

・•.E是4B的中点，

•*-DE=BE,

NBDE=-NAED=30。，

2

ZADB=90°,即4D_L8。，

•••S口ABCD=AD-BD,故①正确；

ACDE=60°,ZBDE=30°,

ZCDB=ZCDE-NBDE=60°-30°=30°,

ZCDB=NBDE,

故DB平分NCDE,故②正确；

依据Rt^AOD中，AO>AD,

即可得到故③错误；

•••O是8。中点，E为AB中点、,

是的中位线，

.-.OE=-AD,OE//AD,

2

在RtAABD中，BD=dAB?-AD?=^（2AD）2-AD2=&D,

•••BD=143OE,

■■OE:BD=y/3:6,故④正确；

综上，①②④正确.

故答案为：①②④.

【考点三利用平行四边形的性质求动点问题】

例题：（2025八年级下•全国・专题练习）如图，在四边形4BCD中，AD//BC,且4D<8C,SC=6cm,动

点尸，0分别从点。，8同时出发，点P以lcm/s的速度向点/方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运

动，几秒后四边形。。尸。是平行四边形（）

【答案】B

【知识点】利用平行四边形的性质求解、几何问题（一元一次方程的应用）

【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键.由运动时间

为f秒，则4尸=/,QC=2t,而四边形8尸0是平行四边形，所以。尸=C。，则得方程7=6-2/求解.

【详解】解：设/秒后，四边形CD尸。为平行四边形，

则DP=/cm,QC=（6-2。cm,

：AD//BC

.-.DP//CQ,

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

知：。尸=C。即可，

即：7=6—2/,

■'.t=2,

当f=2时，DP-CQ-2cm,

综上所述，2秒后四边形CDP。是平行四边形，

故选：B.

【变式训练】

1.（24-25八年级下,江苏南通•期中）如图1,在口48。中，动点P从点3出发，沿折线BCfCDfD3运

动，设点尸经过的路程为x,A/AP的面积为“把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a

【答案】B

【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、判断三边能否构成直角三角形

【分析】本题考查的是动点图象问题，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，此类问题关键是：弄清楚

不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.由图2知，BC=8,CD=10,BD=6,可知BD_LBC,

由图可知，当点尸在CD上时，SAABP=a=30口ABCD，即可求解.

【详解】解：由图2知，5C=8,CD=18-8=10,52）=24-18=6,

贝"叱+5=3,

BDLBC,

由图可知，当点尸在CD上时，^=«=15^CO=1SZ）.3C=1X6X8=24,

故选:B.

2.（2024•河南周口・三模）如图1,四边形/BCD是平行四边形，连接BO,动点尸从点/出发沿折线

A8-N匀速运动，回到点工后停止.设点尸运动的路程为x,线段/尸的长为外图2是了与x的

函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（）

图1图2

A.5D=10B.AD=U

C.平行四边形ABC。的周长为44D.当x=15时，的面积为20

【答案】D

【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息,

应用相关知识求解即可.

【详解】解：当点P运动到点B处时，x=10,即/8=10,当点P运动到点。处时，x=20,所以

52）=20-10=10,故/正确，不符合题意；

当点尸运动到点。处时，＞=12,即40=12,故2正确，不符合题意；

・•・平行四边形/3CD的周长为2（10+12）=44,故C正确，不符合题意；

当x=15时，点P在AD中点处，如图，

此时尸的面积是A/皿面积的一半，

悍BH，AD,

AB=BD=10,

AH=DH=6,

•••BH=siAB2-AH2=8，

■-■^=1xl2x8=48,

.•.△4PD的面积为gx48=24,故。错误，符合题意.

故选：D.

3.（24-25八年级上•山东东营•期末）如图，在口4BCD中，ZABC=45。,BC=4,点尸是CD上一个动点,

以工4,为邻边作另一个口/E5厂，当尸点由。点向C点运动时，下面给出四个结论：

①口4EAF的面积先由小变大，再由大变小;

②口AEBF的面积始终不变；

③线段跖的最小值为4后；

（3）SC=3S°ABCD-

其中说法正确的选项是（）

A.①③B.①④

C.①③④D.②③④

【答案】D

【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解

【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，

本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质

是解题的关键.

【详解】解：过点C作CG，AB于点G,

■.-ZABC=45°,BC=4,

ZGCB=45°,

BG=CG,

■-BG2+CG2=16,

■CG=2A/2，

・•・当点尸与点C重合时，FG=CG=2V2)

vnAEBF,

・•・线段£尸的最小值为4VI;

故③正确；

-uABCD,

SAEB=LAB・CG,SABCD=AB・CG,

7

^ALD2aADCU

.C—J_V

,,JAEB-2uABCD'

故④正确；

•.•4民CG都是定值，

**•S.AEB=]S口ABCD是定值，

S.AEB=3s3AEBF是正值，

故①错误，②正确，

故选：D.

4.（23-24八年级下•河南南阳•期末）如图（1）,在048co中，AB=2,ZA=60°,动点尸从点A出发，沿

直线运动至点E,再从点E沿直线运动至点B.设点厂运动的路程为x,AE8C的面积为了，图（2）是点尸

【答案】A

【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三

角形

【分析】根据函数图象，先确定点E的位置，推出A/BE为等边三角形，过点、E作EH,BC,根据含30度

角的直角三角形的性质，求出明的长，再根据5班0=述，求出8C的长即可.

【详解】••・在口4HCD中，AB=2,ZA=60°,

AD〃BC,

/.Z^C=180o-Z^=120°,

由图象可知，当0WxW2时，△qC的面积不变为任，

2

•••点E在线段4D上，且NE=2,

连接过点、E作EHJ.BC,则：s=-BC-EH,

ABCLE22

vAE=AB=2,ZA=60°f

・•.△ABE为等边三角形,

；.BE=AE=2,NABE=60。,

・•.ZEBC=/ABC-/ABE=60°,

ZBEH=90°-/EBH=30°,

2

EH=A/22-12=V3，

图⑴

故选4

【点睛】本题考查动点的函数图象问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角

三角形的性质，勾股定理，解题的关键是确定点£的位置.

【考点四平行四边形中的折叠问题】

例题：（24-25八年级上•山东威海・期末）如图，在平行四边形A8C3中，点、E,厂分别为边48,CD的中点,

将平行四边形/BCD沿着所折叠，点8,C分别落在9，C'处，若NCND=66。,则NN的度数

为.

【答案】57°

【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题

【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，折叠的性质，

根据平行四边形的性质，可得=AB\\CD,得至=根据点£,尸分别是N5,CD的

中点，可得。歹=尸。，由折叠可得，CF=CR,根据等边对等角，则NCD尸=NDCR,根据三角形的内角

和，即可.

【详解】解：•••四边形Z3C。是平行四边形，

AB=CD,AB\\CD,

NA=4CDF,

•・•点E,厂分别是AS,的中点，

DF=FC,

由折叠可得：CF=C'F,

:.CF=C'F=DF,

ZC'DF=ZDC'F,

•••ZC'FD=66°,

ZC'FD+ZC'DF+ZDC'F=66°+2ZCDF=180°,

ZC'DF=57°,

NA=57°.

故答案为：57°.

【变式训练】

1.（2024•河南•模拟预测）在平行四边形4BCD中，点£为边的中点，将2月沿DE折叠，使点A落在

点尸处，把纸片展平，延长。尸与射线8c交于点G.若AD=2,CG=1,则线段DG=—.

【答案】3或5

【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、利用平行四边形的性质求解

【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质；①当G在边8C上，连

接3尸，由平行四边形的性质得8C=AD=2,AD//BC,由折叠性质得DF=AD=2,AE=EF,

/A=/DFE,由等腰三角形的判定及性质得ZEFB=ZEBF,即可求解；②当G在边BC延长线上，同理

可求解；掌握相关的性质，能根据点G的不同位置进行分类讨论是解题的关键.

【详解】解：①如图，当G在边BC上，

连接5厂，

四边形Z8C。是平行四边形,

/.BC=AD=2,

AD//BC,

BG=BC-GC

=2—1=1,

ZA+ZABC=1SO°f

由折叠得：DF=AD=2,

AE=EF,

ZA=ZDFE,

•・•/DFE+/EFG=180。,

/.ZEFG=/ABC,

・••E是/B的中点，

AE=BEf

EF=BE,

:.ZEFB=AEBF,

ZEFG-ZEFB=/ABC-AEBF,

ZGFB=ZGBF,

GF=BG=\,

DG=DF+GF

=2+1=3.

②如图，当G在边BC延长线上，

GF=BG=5,

DG=DF+GF

=2+3=5；

综上所述：DG的长为3或5.

2.（23-24八年级下洞南洛阳・期中）如图，在口N8CO中，AB=4也,8c=10,乙4=45。，点E是边4D

上一动点，将A4ES沿直线8E折叠，得到AFEB,设与4。交于点M,当8尸与口N5CD的一边垂直时,

DM的长为.

【答案】2或6

【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点.分

和8尸1两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】解：如图1,当BF_LAD时，

图1

ZAMB=90°,

•.・将“EB沿BE翻折，得至！JAFEB,

ZA=ZF=45°,

NABM=45°,

•••AB=472，

AM=BM=4^2x=4,

2

•••平行四边形/BCD,8。=/。=10,

：.DM=AD-AM=\Q-4=6-,

如图2,当时，

图2

•••将"AEB沿BE翻折，得到AFEB,

NA=NEFB=45°,

；.ZABF=90。,此时尸与点M重合，

AB=BF=4亚,

AF=4-\/2xy[2=8，

二。河=10-8=2.

综合以上可得DW的长为2或6.

故答案为：2或6.

3.（24-25八年级上•山东威海,期末）综合实践课上，老师让同学们开展了口N3CD的折纸活动，E是BC边

上的一动点，厂是4。边上的一动点，将口ABCD沿直线所折叠，使点。落在边上的点M处，点。的

对应点为点N,连接CM.

图1图2

⑴【观察发现】如图1,若/D=60。，ME1AB,BE=2,贝l」£C=,ZNFA=

⑵【操作探究】如图2,当点N落在24的延长线上时，求证：四边形瓦MVF为平行四边形.

【答案】⑴6，30°

⑵见解析

【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得=由折叠知

EC=EM=也,由折叠的性质可得NF£C=NFW=75。，再由平行四边形的性质求得

ZDFE=180°-ZFEC=105°,据此即可求解.

（2）根据折叠的性质先证建〃NF,再证=即可证明四边形EMVF为平行四边形.

【详解】（1）解：-.-aABCD,NO=60。，

ZB=ZD=60°,

■.■MELAB,

ZBEM=30°,

BE=2,

BM=；BE=\,EM=V22-l2=V3>

由折叠知EC=EM=7L

由折叠知ZFEC=NFEM=1（180°-NBEM）=75°,

-uABCD,

:.AD〃BC,

ADFE=180°-ZFEC=105°,

由折叠知4NFE=ZDFE=105°,

ZA7^=ZA7^+Z£>7^-180o=2xl05°-180o=30°,

故答案为：百，30°；

（2）证明：由折叠知NCE7=NME广，ZEFD=AEFN,ZN=ZD.

AD//BC,

:./CEF+/EFD=\8。。,

/MEF+/EFN=180°,

：.ME//NF,

ZBME=ZN,

-uABCD,

•••/B=4D,AD=BC,

/BME=/B,

:.BE=ME=CE,

ME=-BC,

2

•.•4D〃8C,点N在8/延长线上，

ZB=ZNAF=ZN,

AF=NF=DF,

：.NF=-AD.

2

■：AD=BC,

:.ME=NF,

■.四边形现WF是平行四边形.

【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾

股定理.熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键.

4.（2024八年级下•全国,专题练习）综合与实践

综合与实践课上，王老师以“发现一探究一应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维.以下是王

老师的课堂主题展示：

【问题情境】在平行四边形/BCD中，AB=6AD=2,Z^C=a（0°<a<180°）,£是/。的中点，连

接CE,将ACOE沿CE折叠得到△口?£（点尸不与点N重合），作直线“尸交8c于点P.

【观察发现】

（1）如图1,若a=90。，则线段/P与CE的数量关系是,位置关系是.

【类比探究】

(2)在0的值发生变化的过程中，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若

不成立，请说明理由.

【拓展应用】

(3)当乙4M=90。时，请直接写出线段CE的长.

图1图2

【答案