新课程高中数学必修1答案与提示.pdf

书书书 集合与集合的表示 方法 集合的概念 解析 由于选项 中的对象 含糊不清 所谓 高大 没有明确 的客观标准 也就难以判断某些 对象是否属于这个范畴 因而不 符合集合的确定性 故选 解析 中不含任何元素 错误 解析 由于 是集合 中的 元素 所以 正确 解析 集合 中的元素为 故 中有 个 元素 解析 由题意知 应为无理 数 故 可以为槡 解析 中最小的数是 但 最小的正数是 故 正确 如 故 不正确 有两个相等实根 由集合中元素的互异性知解 集为 所以 不正确 由集合 中元素的无序性知 与 是同一集合 故 正确 解析 重复 当 不等时 中含的元素个数最 多 解析 是所有点中的一 个 或 解析 或 或 而当 或 时 当 时 或 解 由题意知 的 两根为 由根与系数的 关系得 知能提升突破 解 析 由 题 意 知 集 合 中 必 有 元 素 若 则 不合题意 所以 此时集合 中必 有 元 素 若 则 也不合题意 所以 故 解析 两个整数平方的乘积 必为某一整数的平方 解析 槡 槡 故最多含有 个元素 解析 当 都是正数时 代数式的值为 其中一个为负 数时 代数式的值为 其中两个 为负数时 代数式的值为 三个 都为负数时 代数式的值为 所以 解 则 从而 又有 以后数值循 环出现 根据集合中元素的互异 性知 集合 中的元素为 解 则 必有一个为 若 则 所以 与集合中元素的互异性相矛盾 舍去 若 则 或 当 时 满足题意 当 时 与集合中元素的互异性相 矛盾 舍去 若 则 舍去 或 舍去 综上所述 解 当 即 时 方程无实数解 此时以实数解构成的集合为空 集 当 即 时 方程有两个相等的实数解 此 时解构成的集合含有一个元素 当 即 时 方 程有两个不相等的实数解 此时 解构成的集合含有两个元素 解 当 时 质数与合数的个 数都为 当 时 每增加一个 质数至少增加一个合数 当 时 质数与合数的个数都为 当 时 质数与合数的个数都 为 当 时 质数与合数的 个数都为 当 时 合数增 加了 三个数 即合数有 个 但质数只增加了 个 即质 数有 个 当 时 每增加一 个质数必至少增加一个合数 所 以 质数与合数个数不会相等 故 怪异数 只有 四个 数 集合的表示方法 解析 即 或 即第二 四象限内 的点 解析 方程组 的解是 它可 用一对有序实数对 表示 故 组成的集合为 解析 集合中都只含 有一个元素 故它们都是只含 有元素 的集合 因此相同 而 集合中虽只有一个元素 但元 素是等式 而不是实数 故 它与其他三个不同 解析 方程 的判 别式 故其解 集为空集 解析 中 不符合 中 不 符合 中 不符合 解析 选项 表示方法不 对 既不是列举法 又不是描述法 选项 是用列举法表示的含三个 元素的集合 而这三个元素为三个 等式 选项 因为 且 所以 只能取 选项 中 的质 因 数 是 构 成 集 合 为 解析 当 时 当 时 当 时 当 时 由集 合中元素互异性知 分析 根据 的范围 利用绝 对值的性质解方程 在自然数 中 除 外只能被 和它本身整 除的数叫做质数 根据绝对值 的意义化简式子 当 都大 于 时 当 都小于 时 当 与 一正一负时 解 解 集 合 中 结合二次函数图象可得 中任 一点 知能提升突破 解析 方程 有唯一解 时 符合题意 时 即 故选 解析 解 抓住菱形 平行四边形 正方 形的定义 找出它们的区别与联 系 集合 之间的关系用维 恩图表示如下图所示 第 题图 解 且 且 解 又 且 集合为 解 由已知条件知方程 的根的判别式 即 或 或 或 或 故 的函数值的取值范围为 或 解 方 程 组 的 解 为 或 可用列举法 表示其解集为 函数 的因变量组成 的集合 即为 的值组成的集合 即为 的值组成的集合 可用特 征性质描述法表示为 反比例函数 的自变量 组成的集合 即为 的值组成的集 合 可用特征性质描述法表示为 不等式 的解为 可用特征性质描述法表示为 解 因为 当 时 当 时 当 时 所以 的相 同元素组成的集合为 评注 此题题型新颖 集合 均 是由符号语言描述的 形式上好 像一样 但不是相同的集合 关键 是看代表元素是什么 中是以 为元素 满足的条件是 且 中是以 为元 素 满足的条件是 且 抓住这一点就可以将 用列举法表示出来 集合之间的关系 与运算 集合之间的关系 解析 不正 确 是非空集合的真子集 不 是它本身的真子集 不正确 有一个子集 本身 再无别 的子集 不正确 当 时 若不属于 的元素属于 又 中元素都属于 所以与不属于 矛盾 故 正确 解析 共有 个子 集 解析 空集是没有元素的集 合 故 应改为 故 错 均正确 解析 故 是实 数集 是点集 不存在包含关 系 解析 当 时 而 所以 又当 时 令 则 槡 与 相矛盾 所以 解析 且 故 解析 解析 或 由 得 或 由 得 舍去 解 或 由 得 或 舍 去 由 得 舍去 实数 的值分别为 解 对于集合 应分两种情况考 虑 或 当 时 应有 得 当 时 如下图所示 由数轴上 各点的位置可得 且 与 不能同时取等号 解得 综上所述 的取值 范围是 第 题图 知能提升突破 解析 为奇数 或 偶 数 当 为 奇 数 时 设 则 当 为偶数时 设 则 由以上可 知 解析 即 中的元素 而 即 中的元素 所以 解析 解法一 可利用特殊值 法 令 可得 解法二 集合 的元素 集合 的元 素 而 为奇数 为整数 因此 解析 且 显然 否则与集 合中 元 素的 互异 性矛盾 只有 槡 故 所以 解得 或 经检验 不满足题意 舍去 故 解析 逆向思维 即 点的元素都减去 得到 集合 中 的元素加上 得到集合 因此集合 是集合 和集合 的公共元 素所组成的集合 的子集 故这样的集合 有 个 答案不唯一 如 解 集合 均为有限集 若对任意的实数 都有 的要求 只有当 也 是 中的元素时 才有可 能 这 相 当 于 或 两种情况都不可 能 所以这样的实数 不存 在 若 成立 由 可 知两种情况不成立 所以应 该有 或 或 或 解 得 或 或 或 即所有的实数 对 为 四 对 证明 设 则 若 是偶数 可设 则 则 若 为奇数 可设 则 即 设 则 或 即 由 得 解 或 若 由韦达定理得 若 则 且 矛盾 舍去 又 或 或 或 当 时 即 槡 槡 当 时 不 成立 当 时 不 成立 当 时 符合 综合以上知 或 槡 槡 时满足要 求 集合的运算 解析 又 解析 或 解析 瓓 瓓 解析 解析 画维恩图便知 解析 与 等价 或 解析 瓓 或 解析 由 及 可知 代入得 或 但 当 时 矛盾 此时 解 由条件 瓓 和 瓓 知 但 但 将 和 分别代入 两 集合中的方程得 即 解得 知能提升突破 解析 记阴影部分为集合 由图知 故 对 解析 所以 瓓 或 瓓 等 第 题图 解析 由图可知 瓓 为图中的阴 影部分 由图可知 瓓 或 瓓 或 解析 由题意 且 瓓 设 为全集 同理 且 瓓 所以有 瓓 瓓 又 所以 或 解 由 且 知 或 根据题中对符号 与 及 其运算法则的约定 有 若 则 若 则 若 则 由 可 知 下面确定集合 由 且 可 知 此时 所以 由 可得瓓 解 设听数学 历史 音乐讲座的 学生分别构成集合 用 表示听数学讲座的人数 表示听历史讲座的人数 表示听音乐讲座的人数 则 由于 人 故听讲座的人数为 人 解 时 方程 无实数根 时 若 则 当 时 满足 当 时 舍 去 若 时 是方程 的根 由韦达定理知矛 盾无解 综上可知 的取值范围是 解 此题若从正面入手 要对各种 可能情况 七种情况 逐一进行讨 论 相当繁琐 若考虑其反面 则 只有一种情况 三个方程都没有 实数解 利用判别式去解 然后取 其补集即可 由以上分析知 三个方程都无实 数解时 满足下列不等式组 解此不等式组 得 所以 所求实数 的取值范围为 或 解 由 与 同时成立可知 是方程 的解 将 代入方程 得 解得 或 当 时 此题 此 题设 矛盾 故不适合 当 时 此时 与 同时成立 满足条件的实数 解析 解析 其子集个数为 个 解析 其真子集个数为 个 解析 的奇数倍 的整数倍 故 解析 瓓 瓓 瓓 解析 瓓 瓓 瓓 解析 依题意画出维恩图 如图所示 显然 正确 故 应选 第 题图 解析 瓓 瓓 瓓 瓓 解析 是含有一个元 素 的集合 不是空集 不正 确 当 时 不正确 不正确 当 为正整数的倒数时 是无限集 不正确 解析 图中阴影部分为 的补集 解析 由题知 解析 理解定义 是关 键 得出 的元素为 故所有元素之和为 解析 或 或 或 且 且 解析 由 解得 且 且 解析 画在数轴上 即知 解析 瓓 或 或 或 解 当 时 当 时 或 当 时 或 当 时 或 或 或 解 瓓 要使 瓓 即 的范围为 解 瓓 是高 一 班的男同学 如图所示 第 题图 解 由 及 知 由韦达定理有 故 解 设只参加市区宣传的有 人 只参加校园宣传的有 人 解得 该学校中文系共有学生 人 解 由 如何确定 呢 依题意 有 是最小的正整数 且 必是某两个正整数的平方 显然 从而 进而 那么如何求 呢 由 知 于是利用和为 分 或 进行讨论 所以 必 是某两个正整数的平方 而 由 得 若 则有 解得 或 舍 若 则有 解得 或 舍 综上所述 函数 函数 解析 项中两个函数的定 义域不同 项中两个函数的定义 域也不相同 项中两个函数的对 应法则不同 解析 根据函数的定义作与 轴垂直的直线 直线与函数图象 至多有一个交点 因此选 解析 令 即 故 解析 在 项 下 中的有些元素在 中没有 象 如 中的元素 在 中就没 有象 解析 解 析 根 据 题 意 解得 原象 为 解析 解析 由 且 得 解 槡 槡 定义域为 定 义 域 为 且 定义域为 定 义 域 为 解 令 槡 则 当 时 函数 槡 的值域为 知能提升突破 解析 由函数的定义知 中 任一元素在 中都有唯一的元素 与之对应 即在 轴的区间 内任取一点作 轴平行线与图象 只有一个交点即可 由函数定义知 不是 因为集合 中 时 在 中无元素 与之对应 中的 对应元素 所以 不是 中 时 在 中有两个元素与之对应 所以 不是 由淘汰法 只有 是 解析 本题首先要理解两个 集合的意义 这里实际是求函数 的图象与直线 的交点的个数 显然当 时 由函数定义知交点个数 为 当 时 交点个数为 故选 解析 令 则 或 即定义域为 解析 则 即定义域为 解析 要使 在 中不存在 原象 需 解析 用排除法 中集合 的元素 在 下 中没有元 素与之对应 所以这个对应不是 映射 中集合 的元素 在 下的象都是 故排除 中负 实数及 在 下没有元素与之对 应 应排除 故选 解 函数 的定义域只要求分 母 不等于 因此 问题转化为 求使 成立时 的取值 此时需分 类讨论 时 定义域 为 符合题意 时 即 此时 无解 综 上 时 函 数 的定义域为 解 根据映射定义 到 的 不同映射可以分为两类 中的三个元素都对应 中的 一个元素时有 共 个 中的两个元素同时对应 中 的一个元素 中的另一个元素 对应 中的另一个元素时 有 共 个 综上可知 到 的不同映射共有 个 类似 可求得 到 映射共有 个 函数的表示方法 第 题图 解析 解 法一 因为函数 的 定义域是 且 所以应排除 又因为 时 有 可排 除 故选 解法二 将函数 的图象 如图 沿 轴方向右移 个单 位 再沿 轴方向上移 个单位 便 可得到函数 的图象 故选 解析 正确 解析 令 得 所以 也可先求出 解析 令 得 即 解析 首先排除 由于 速度先快后慢 故 符合 解析 的图象由两条线段 组成 由一次函数解析式求法 可得 解 因为 所以 所以 所以 解 如图 值域为 如图 值域为 如图 值域为 图 图 图 图 第 题图 如图 值域为 解 令 则 故 得 所以 知能提升突破 解析 槡 槡 槡 注意到定义域 槡 故选 解析 结合函数 的图 象 要使函数在 的 值 域 是 则 需 要 满 足 或 于是选 解析 住房率是每天房价的 函数关系 这种关系在题中是用表 格的形式表示出来的 而每天的收 入 房 价 住 房 率 间 数 我们也可以列出相应的表 格 每间房定价 元 元 元 元 住房率 收入 元 从表格可以很清楚地看到每天的 房价定在 元时 每天的收入最 高 解析 首先根据题设条件了 解 的含义 是 表示 中较大的数 这就需 要判断 的大小 因 此这实际上是一个分段函数问 题 根据 的取值范围不同得到 一个分段函数 再逐步求最值即 可 当 时 因为 所以 当 时 因为 所以 同理 可得当 时 当 时 显然 故 据此求得最小值为 选 解析 按原税法计算时 元 元 收 入 大 于 元 又 元 元 收入小于 元 设收入为 元 则 元 按现税法计算时 元 应纳税 元 解 第 题图 当 在 上时 当 在 上时 此 时 槡 当 在 上时 此 时 槡 槡 当 在 上时 此 时 与 的函数式是 槡 槡 解 令 即当 时 当 时 当 时 与 的图象如图所示 欲使 图象中 解集为空集 即 恒成立 显然 第 题图 数形结合 将方程 方程根的个数问题转化为函数 与 的交点 个数问题 第 题图 作出图象 如图所示 可以看出 当 时 直线 与该 图象无交点 方程无解 当 时 直线 与该 图象有 个交点 方程有 个 实根 当 时 直线 与 该图象有 个交点 方程有 个实根 当 时 直线 与该 图象有 个交点 方程有 个 实根 当 时 直线 与该 图象有 个交点 方程有 个 实根 函数的单调性 解析 根据单调函数的定义 所取两个自变量必须是同一单调 区间内的任意两个变量 才能由该 区间上的函数的增减性来比较出 函数值的大小 解析 在共同定义域上任取 当 是单调递增 则 是单调递减 则 在共同定义域上是单调递增 同理可得 当 是单调递减 是单调递 增时 是单调递减 正确 故选 解析 是 上的增 函数 解析 对于反比例函数 当 时 在区间 上是单调递减函数 在 区间 上也是单调递减函 数 这种函数的单调区间只能分 开写 当 时 在区间 上是单调递增函数 在区间 上也是单调递增函数 解析 易知 在 内为减 函数 故 也为减函数 解析 且 解析 画出 的图象即知 解析 结合图象便 知 第 题图 证明 易知 槡 的定义域 为 设 是 内的任意两个不相等的实数 且 则 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 因为 槡 槡 所以 即 所以 槡 在 上是减 函数 解 函数可转化为二次函数形 式 作出函数图象 由图可得单 调区间 当 时 当 时 作函数图象 如图所示 在 和 上 函数是增 函数 在 和 上 函数 是减函数 第 题图 知能提升突破 解析 首先作出函数 和 的图象 如图所 示 利用图象分别确定其单调区 间 的单调增区间为 的单调增区间为 第 题图 解析 为减函数 解析 在 上是 增函数 由 得 在 上 也为增函数 在 上为增函数 解析 是 上的增函 数 在 上 为减函数 是 上的减函数 故应选 解 证明 原不等式即为 即 即 即不等式的解集为 解 由于 在 上递增 在 上 递减 即 的单调性以 为 界来划分 那么当 取何值时 等于 大于 小于 呢 由 得 而 的单调性又是以 为 界来划分的 由此可确定 的单调性 增增减减 增减减增 增减增减 故 的递增区间为 和 递减区间为 和 解 任取 且 则 在 上单调递增 又 是 上的增函 数 解得 原 不 等 式 的 解 集 为 解 证明 任取 且 由题设 可 得 故 是 上的单调减函 数 由于 是 上的减函 数 在 上也为减函 数 在 上的最大值为 最小值为 由于 同 理 因此函数 在 上的 值域为 函数的奇偶性 解析 由 知 即 在 上 解析 偶函数的图象关于 轴对称 但不一定相交 因此 正 确 错误 奇函数的图象关于原 点对称 但不一定经过原点 因此 不正确 若 既是奇函数 又是偶函数 由定义可得 但不一定 故 错误 解析 时 经验证可知 选 解析 由 知 而 故 为奇 函数 解析 选项 的定义域为 关于原点 对称 且 故为偶函 数 解析 由已知可得 解析 由 知 解 由 得 是奇函数 证明 因为 所以 故 是奇函数 解 且 即 的定义域是 且 既是奇函数也是偶函数 的定义域是 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 是奇 函数 由 知 则 因 此 既不是奇函数也不是偶函 数 解 由 得 又由 得 故 所以 为奇 函数 知能提升突破 解析 由图象法可解 由函 数的性质可画出其图象草图 如 图所示 第 题图 显然 的解集为 解析 利用减函数和奇函数 的性质判断 又 是定义在 上单调递减 的奇函数 同理 可得 解析 奇函数不改变单调 性 在 上是增函数 且 最小值 故 在 上也是增函数 且最大值 解析 由图象的变换的对称 性不难得知正确答案 解析 由题意知 则 第 题图 解析 则 而 在 上为增函数 画示意图如图所示 则当 时 当 时 当 时 当 时 的解集为 解 解 函数 是奇函数 故 即 又 故 而 即 即 又由于 或 当 时 舍去 当 时 综上可知 设 是 上的任意两个实 数 且 则 当 时 从而 即 所以函数 在 上为增函数 当 时 从而 即 所以函数 在 上为减函数 一次函数和二次 函数 一次函数的性质与图象 解析 令 得 令 得 与两坐标轴的交点分别为 解析 由例题 的归纳不难 得出正确答案 第 题图 解析 画 出图象 则 解析 由 题有 且 解析 随时间 增大 减 小 排除 当 时 油箱已 空 即余油 时间 的取值范 围为 故选 解 由题意有 解得 由交点在第 三象限 得 解得 知能提升突破 解 设所求的函数关系式为 直线过点 和点 解 得 与 的函数关系式为 将 代 入 得 解 该一次函数的解析式为 由条件 得 得 把 代入 得 一次函数的解析式为 把 代入 中 得 按设计要求 高为 的椅子与 高为 的课桌配套 故高为 的课桌不合适 解 函数 为一次函数 在 上为单调函数 在 上的最大值为 与 中之一 分析取 和 得 解得 函数 在 上的最大 值为 又 在 上是减函数 解 根据题意 运 种苹果 辆车 种苹果 辆车 种苹果 辆车 并且有 整理 得 又 运 种苹果 辆车 种苹 果 辆车 运 种苹果的车辆数是 由题意可知 解得 是整数 的取值为 故 且 由题意可知 即 是 的一次 函数 是减函数 当 时 的值最大 此时 即最大利润为 百元 安排车辆方案如下 装运 种苹 果 辆车 种苹果 辆车 种 苹果 辆车 解 当 时 在 上是增函 数 此时 当 时 当 时 在 上是增函数 此时 的值域为 若 对于 任意 不总存在 使得 成立 若当 时 在 上是增函数 任给 若总存在 使得 成立 则 即 若当 时 在 上是减函数 同理可得 综上所得 或 二次函数的性质与图象 解析 由 排除 中 抛物线开口向下 而直线体现 了 从而排除 解析 顶点横坐标 得 纵坐标 得 解析 对称轴为 由题 意得 在 的左侧或 在 的右 侧 即 或 解析 函数与 轴有唯一交 点 即方程 槡 的判别式 即 解得 或 又 函数图象开口向下 即 函数解析式为 槡 令 得 槡 即 槡 槡 解得 槡 即 槡 解析 函数的对称轴为 则有 解析 根据二次函数定义 求解 由题意得 解得 当 时 函数 是二次函数 解析 该函数的对称轴为 则 在对称轴左侧或右侧 即 或 解 由题知二次方程 有 一正一负根 故有 且 即 又 为不小于 的整数 令 得 故 设 则 得 又 在二次函数图象上 当 时 无 解 当 时 或 为 或 由 已 知 有 或 或 即 或 解 因为 所以 二次函数表示开口向上 对称轴 为 的抛物线 又因为 即 离对称轴 的距离要比 离 对称轴 的距离远 所以 解 配方 得 可知图象开口向上 对称 轴为直线 顶点坐标为 列表略 作图如图所示 函数 的图象可以看做是由 经过一系列变换得到的 具体地 说 先将 上每一点的纵坐 标变为原来的 再将所得的图 象沿 轴向左移动 个单位 沿 轴向下移动 个单位得到 由图知 函数在定义域 内 没有最大值 设 则 函数 在 上是减 函数 同理 函数 在 上是增函数 第 题图 知能提升突破 解析 首先讨论分母 的取值范围是 因 此 所以 的最 大值为 解析 由于 所以 从而 解析 考查分类讨论方法 且 图象开口向 上 或 解得 或 所以 解 这个二次函数的顶点坐标和 对称轴方程分别为 和 又 在 上是单 调递减的 即 解 的对称轴为 当 时 在 上为增 函数 此时 当 时 在 上为减 函数 此时 综上所述 或 解 且 不具有奇偶性 当 时 在 上为增函数 时 当 时 此时 综上可得 的最小值为 解 由题意得 又 所以 当 时 它在 上单调递增 当 时 它在 上单调递增 解 恒成立 即 恒成立 只需 即 当 即 时 由 得 当 即 时 由 得 当 即 时 由 得 综上得 待定系数法 解析 将 代入 知 解析 设 将 代入知 即 故经 过 解析 设函数解析式为 则 解析 设 将 代入知 解析 将 代入知 当 时 解析 设 则 有 解 得 解析 分析知 两根为 和 故可设 令 即 解 当 时 是二次函 数且 故当 时 可设 又 即 此时 当 时 又 是 上的奇函数 此时 当 时 设 且 即 当 时 综上所述 知能提升突破 解析 若顶点为 可设为 将点 代入 得 即 与 中的 矛盾 解 由已知 设 由 得 设 它的图象与直线 的交点 分别 为 槡 槡 槡 槡 由 得 故 解 设 将点 分别 代入得 令 即 当 分钟时 两种卡收费一 致 当 分钟时 用 如意卡 便宜 当 分钟时 用 便 民卡 便宜 解 设二次函数 由题意得 根据多项式恒等 对应项系数相 等得 解得 所以 函数的应用 解析 依题意可知顾客买 元商品实际花费 元 由于 购物可以用购物券 而 因此可以获赠 次购物券 累计 元 解析 存车费总收入 变 速车存车总费用 普通车存车总 费用 其中 解析 设弹簧伸长 时所挂 物体重 则 为常 数 把 及 代入解 析式得 当 时 解析 错 甲 乙同时出 发 错 甲 乙跑的路程相同 错 甲的速度快 解析 长为 宽为 高为 故选 解析 年至 年该企业的利润有所降低 错 中 年至 年该企业 销售 额 增 长 为 年 至 年该企业销售额增长为 年至 年该企业销售额 增长为 显然该企业销售额增 长最慢的为 年至 年 最快的为 年至 年 故 正确 错误 年利润达 年利润达 说法 正确的是 解析 应先读懂题目的 文字叙述 抓住关键词 进价 原 价 新价 之间的关系 求出每件 货物的新价 再求让利总额 与货 物数 之间的函数关系式 设每件货物的新价为 元 则销售价为 元 件 而进价为 元 件 因此 销售每件货物的利润为 由题意知 所以 故 即 与 之间的函数关系是 解 设 则 与 的函数关系式为 将 代入上述解析式中 有 给出的这套课桌与椅子是配套 的 解 本题是一次函数模型 比较简 单 解 甲 乙 由 解得 即学生数为 时 两家旅行 社的收费一样 当 时 乙旅行社更优惠 当 时 甲旅行社更优惠 解 该题是一个分段函数问题 在每一段都是直线 因此可以分 段按直线求解 由图象可知 当 时 说明甲在公园休息了 分钟 由图象可知 甲从出发到到 达乙家共用 分钟 即 小时的 时间 甲从 点出发 故甲在 点到达乙家 当 时 由图象可 知 是 的正比例函数 设关系 式为 将 代 入关系式 得 即 当 时 为常数 当 时 为 的一次 函数 设关系式为 将 和 分别代入关 系式 得 解之得 即 的解析式为 知能提升突破 解析 点到 点过程中 蓄 水量的增加 时间长 正 确 点到 点的过程中 蓄水量 的减少 时间长 需进水 错 误 点到 点的过程中 蓄水量 不变 可能不进水不出水 也可能 个进水口 个出水口全开 进 水量 出水量 错误 解析 令期中数学成绩为 分 英语为 分 则依题意有 则 因为 所以 即总成绩降低 了 解析 宽为 长为 时 即 经检验只有 适合 或由 得 矩形面积 当 时 此时 解析 设成本费为 元 则 月初售出 月末售出 要比较 与 的大小需由 确定 故要由成本费的大小确定 解析 先进行 再进行 的同时进行 最后进行 共 分钟 解析 设正方形周长为 则边长为 圆周长为 圆的半径为 依题 意得 面积之和为 当 时 有最小值 即正方 形的周长为 解 依税率表有 第一段 第二段 第三段 即 这个人 月份应纳税所得额 因此 这人 月份应缴纳个人所 得税 元 解 设该店月利润余额为 则由 题意得 由题图易得 代入 式得 当 时 元 此时 元 当 时 元 此时 元 故当 元 时 月利润余 额最大 为 元 设可在 年内脱贫 依题意有 解得 即最早可望在 年后脱贫 函数与方程 函数的零点 解析 函数 与 轴无交点 解析 由 则 由 题图可知 由 得 又 解析 零点为 和 选 解析 由已知条件得 画出 的大致图象如图 可知 有两个零点 第 题图 解析 因为方程 的根为 解析 由题 意知二次函数可化为 又 即 满足 时 解析 因为 的根 为 和 解析 由题设 方程 两根为 和 由 得 的 零点是 和 解 解方程 得 函数的零点是 解方程 得 槡 槡 函数的零点是 槡 槡 解方程 得 函数二重零点 或说二阶零点 是 解方程 得 方程无实根 这时二次函数没有 零点 解 令 有零点 零点为 知能提升突破 解析 当 时 成立 排除选项 当 时 原方程变为 两根为 也符 合题意 解析 如图所示 选 第 题图 解析 检验法 选 解析 设 第 题图 由题意可知 即 或 或 或 解 析 由表中数据可知 因此函数的零点有两个 是 和 这两个零点将 轴分 成三个区间 在区间 中取特殊值 表中数据有 因此根据二次函数零点的 性质得 当 时有 同理可得 当 时也有 故使 的自变量 的取值范围是 解 函数 的定义域为 取 区 间 则 易 证 在区间 内 函数 至少有 一个零点 区间 符合条件 解 当 时 函数为 显然有零点 当 时 由 得 当 且 时 二 次函数有零点 综上 设 是函数的两个零点 则有 即 解得 当 时 符合 题意 的值为 解 当 时 由 解得 或 故这时 的不 动点为 有两相异的不动点 即方程 恒有两不相等的实 数根 得 恒 成立 即 恒成立 于是 得 求函数零点近似解的 一种计算方法 二分法 解析 由变号零点的定义结 合图象可知有 个变号零点 解析 由用二分法求函数近 似零点的步骤可知 当 时 区间 的中点 就是函数的近似零 点 这时计算终止 从而函数的近 似零点与真正零点的误差不超过 解析 为奇函数 又 且 则 在 内有唯一实根 解析 计算 显然 故函数 在 区间 内必有零点 解析 利用计算器根据二分 法不难得到 解析 设正方体边长为 则 用 二分法解得 解析 故至少等分 次 解析 零点有变号零点与 不变号零点之分 故 不对 二分 法针对的是连续不断的函数的变 号零点 故 不对 据零点的性质 知 都正确 解 设函数 因为 且函数 的图象 是连续的曲线 所以方程 在区间 内有实数解 取区间 的中点 用计算器可算得 因为 所以 再取 的中点 用计算器可算得 因为 所以 同理 可 得 由于 此时区间 的 两个端点精确到 的近似值都 是 所以方程 在 区间 内精确到 的近 似解约为 知能提升突破 解析 依题意知 则可得 解析 只有 中的零点是变 号零点 解 设 槡 则 即 令 则函数 的零点的近似值就是 槡 的近似 值 用二分法求其零点 由 故可以取区 间 为计算的初始区间 用二 分法逐次计算 列表如下 端点或中点 横坐标 计算端点或中 点的函数值 定区间 由上表可知 因为区间 的左 右端 精确到 的值都为 所以 就是函数 的一 个近似值 即 槡 的近似值 解 令 借 助计算机作出函数 的图象如 图所示 函数 的零 点 或 若 时 取区间 的 中点 计算 再取区间 的中点 计算 同理可得 区间 的端点精确 到 的近似值都是 故取 若 时 取 综上 方程 精确 到 的根的近似值为 或 第 题图 如果沿着线路一小段一小段地查 找显然比较麻烦 因此可以采取 二分法逐步缩小范围进行查找 这种检查的方法每查一次 可以 把待查的线路长度缩减一半 极 大地提高了检查的效率 解 如图 把从中国上海到美国旧 金山的海底电缆的 个接点分 别标上号码 第 个接点 第 个 接点 第 个接点 第 题图 先检查中间一个接点 即第 个接 点 如果是它 那么就完成 如果不 是它 那么假定故障发生点在前 面 即第 个接点到第 个接点之 间 再检查第 个接点到第 个接 点中间的一个接点 即第 个接 点 如果是它 那么就完成 如果不 是它 那么假定故障发生点在前 面 即第 个接点到第 个接点之 间 最后检查第 个接点到第 个 接点中间的一个接点 即第 个接 点 如果是它 那么就完成 如果不 是它 故障发生点在前面 即第 个接点 故障发生点在后面 即第 个接点 解 盒子的体积 以 为自变 量的函数解析式为 其定义域为 如 果 要 做 成 一 个 容 积 是 的无盖盒子 那么有方程 下面用二分法 来求方程在 内的近似解 令 函数 图象如图所示 第 题图 由图象可以看到 函数 分别 在区间 和 内各有一 个零点 即方程 分别在区间 和 内各有 一个解 下面用二分法求方程的 近似解 取区间 的中点 用 计算器可算得 因为 所以 再取 的中点 用 计算器可算得 因为 所以 同理可得 此时 区间 的长度小于 所以此区间中点为所求 所以方程 在区间 内精确到 的近似解 为 同理可得方程在区间 内精 确到 的近似解为 即 如 果 要 做 成 一 个 容 积 是 的无盖盒子时 截去的小 正方形的边长大约是 或 解析 参照映射的定义知 是正确的 解析 均是定义域不 同 对应法则不同 所以选 解析 先列出不等式组 再 利用数轴求其交集 解析 判断函数奇偶性的步 骤是 先看定义域是否关于原点 对称 再看 是否有一个成立 的定义域为 且 为奇函数 的定义域是 不关于原点对称 所以是非奇 非偶函数 对于 其定义域为 且当 时 当 时 所以 总有 即 是奇函数 解析 时 经验证可知选 解析 且 即 且 解析 第 题图 解析 如 图 的图 象取图象的下 边界 在点 处 取 得 最 大 值 由 求得 槡 代入 槡 即为 的最大值 无最小值 解析 令 则 其对称轴为 开口向上 在 上为增函数 解析 当 时 当 时 所以 解得 槡 根据分段函数的关系式求自变 量的值 要注意各段的自变量的 范围 解析 其定义域与值 域均为 其定义域与值域均 是不为 的实数集 解析 故选 解析 由题意 在 下的象为 解析 关于 原点对称 则 又 为偶函数 解析 又 是区间 上的减函数 解析 由定义有 方程有两根 解 的对 称轴为 则 即 的取值范围为 解 设 则 解 令 则 作出函数 的图象如图所示 它与直线 的交点为 和 所以 的解 集为 由函数 的图象可知 当 时 取得最小值 第 题图 解 函数的零点不是点 是函数 与 轴的交点的横坐标 即零点是一实数 当函数的自变 量取这一实数时 其函数值为 零 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一 条曲线 并且有 那么 函数 在区间 内有零点 即存在 使得 这个 也就是方程 的根 解 若 则 显 然在 上没有零点 所以 令 解得 槡 当 槡 时 槡 所以 恰有一个零点在 上 而当 槡 时 槡 当 即 时 在 上也恰有一个零点 综上所求 实数 的取值范围是 槡 或 证明 解 由 的结论得 又 即 又 的定义域为 又 是增 函数 即 的取值范围是 解 当 时 则最大值为 当 时 是递减函数 则 因此 开讲后 分钟 学生 达到最强的接受能力 值为 并维持 分钟 也可根据图象 知 从开讲后 分钟到 分 钟 学生的接受能力达到最强 值为 能维持 分钟 所以 学生在开讲后 分钟比开 讲后 分钟接受能力强一些 由题意可知 即学生的接受 能力保证在不低于 的情况 下 能维持的时间不少于 分 钟 即令 当 时 令 即 解 得 舍去 或 当 时 令 即 解得 而 分 分 所以老师 来不及讲完这道题 指数与指数函数 实数指数幂及其运算 解析 对于根式要注意根指 数是奇数还是偶数 当根指数为 偶数时 被开方数是非负数 所 以 符号互异 而 移到根号 外要加绝对值符号 故应选 解析 式是负数开偶次方 不成立 又 当 时 式不成立 不正确 解析 槡 故选 解析 先化为相同的根指 数 再去掉根号建立不等式求解 同时既要考虑到原根式有意义 又要考虑到等式能成立 解析 原式 槡 解析 要使 有意义 则 得 从而 槡 解 注意各式的结构特征 可分别 利用立方差和立方和公式 原式 原式 槡 知能提升突破 解析 槡 槡 解析 由题意知 则 槡 解 令 则 槡 原式 槡 槡 槡 证明 设 则 又 于 是 左 边 右边 左边 右边 即等式成立 类似可得 则原式 定 值 即得证 解 指数函数 解析 又 在 上是单调 递增函数 解析 槡 解析 其中 与 关于 轴对称 与 关于原点对称 故选 解析 由已知得 故 解析 只有 为指数函 数 即为 是复合函数 是类指数函数 解析 因 故选 解析 为奇 函数 即 解析 时 的图象恒过定点 即 解 则由指数函数的图象 随底数的变化规律可得 即 因为函数 且 当底数 大于 时 在 上是增函数 当底数 小于 时在 上是减函数 而 故有 当 时 当 时 由指数函数的性质可知 而 故 解 其图象是由两部分合成的 一 是把 图象向右平移 个单 位 长 度 在 的 部 分 二是把 的图 象向右平移 个单位长度 在 的部分 对接处的 公共点为 如图所示 第 题图 由图象可知 函数有三个重 要性质 对称性 对称轴为 单调性 上单 调递减 单调递增 函数的值域 知能提升突破 解析 由 槡 是定 义域上的减函数 而 在区间 上是减 函数 在 上是增函数 故 槡 的递增区间 是 解析 解法一 当 时 当 时 综上可知 的取值范围为 解法二 作出函数 的图象 直 线 上方的点即为 取值范 围 解法三 由 即 得 对照选择项 解析 由 且 由指数函数图象的性质 知必有 且 解析 当 时 当 时 当 时 于是 作出 的图象如图 易知 第 题图 解析 当 时 在同一坐标系中作出 和 的图象 显然只有一个公 共点 不合题意 当 时 即 时 两图象也只有一个交点 不合题 意 当 时 即 时 如图所示 两图象有两个交点 适 合题意 第 题图 或 解析 当 时 解得 当 时 解得 综上得 或 解 由 知 解 定义域为 值域为 也可以反解 求值域 为奇 函数 设任意 则 当 时 当 时 为 上 的增函数 当 时 当 时 为 上 的减函数 对数与对数函数 对数及其运算 解析 是对数的性质 是 常用对数定义 是自然对数定 义 显然正确 对于 任何一个底 大于零且不等于 的指数式都可 化为对数式 这是对数的定义 但 整数指数幂和分数指数幂可以扩 大底数的范围 如 就 不能写成 解析 改写成指数 式应为 解析 由 得 或 解析 则 槡 解析 槡 解析 正确理解对数的运算 实质及运算性质并用其进行判 断 中当 时 与 均 无 意 义 因 此 不成立 错误 如当 时 也 有 但 显然错误 解析 由 得 解析 解 原式 槡 设 则 即原式 原式 解 由 得 又 则 知能提升突破 解析 解法一 令 解法二 令 则 原 函数可转化为 即 解析 函数 是奇函数 解析 解析 关于 轴的 对称点为 故有 解析 原方程可化为 即 解得 则有 在 中 则 解析 槡 槡 槡槡 槡 槡 解 原方程可化为 即 甲写错了常数 得两根 乙写错了常数 得两根 故原方程为 解之得 或 或 即方程的真正根 为 解 生物体死亡时 体内每克 组织中的碳 的含量为 设 年后的残留量为 由于死亡机体 中原有的碳 按确定的规律衰 减 所以生物体的死亡年数 与 其体内每克组织的碳 含量 有如下关系 死亡年数 碳 含量 因此 生物死亡 年后体内 碳 的含量 由于大约每过 年 死亡生物 体的碳 含量衰减为原来的 一半 所以 于是 槡 这样生物死亡 年后体内碳 的含量 由对数与指数的关系 指数式 两边取常用对数得 到 湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳 的 残 留 量 约 占 原 始 含 量 的 即 那么 由计算器可 得 对数函数 解析 解析 即 即 即 解析 是 的减函 数 而 是 的增函数 故 解析 依题意可知函数的 定义域为 是 偶函数 又当 时是 单调递增 当 时 单调递减 解析 由 可得 即 也 可采用定量分析与特殊值代入相 结合的方法求解 可排除答案 再从 或 中任选一特殊 值又可排除其中一个答案 解析 令 则 是增函数 的减区间是 的减区间是 解析 令 便得 所以 在函数的图象上 由题有 解 解 法 一 由 得 即 即 或 而 在 上单调递减 或 解法二 如图所示 经过点 的对数函数为 而由底数与对数函数 图象的规律可知 要使函数 满足 则必有 或 第 题图 解 又 即 由于 又 即 大小关系为 解 要使函数有意义 的取值需满足 解得 即函数的定义域是 函数 是偶函数 由于函数 是偶函 数 则其图象关于 轴对 称 将函数 的图象 对称到 轴的左侧与函数 的图象合起来可得 函数 的图象 如图所 示 第 题图 解法一 由图得函数 的单调递减区间是 证明 设 且 且 函数 在 上 是减函数 即函数的单调递减区间是 解法二 函数的定义域是 设 当函数 是减函数时 由于函数 是增函数 则函数 是减函数 又函数 的单调递减 区间是 函数 的单调递减区 间是 知能提升突破 解析 思路 代入验证 法 当 时 故 符合题意 排除 当 时 故 符合题意 排除 故选 思 路 由 题 意 得 且 解得 且 又由 得 则得 或 解得 或 所以 的取值范围为 且 解析 思路一 函数 是 上的减 函数 的 取 值 需 满 足 解得 思路二 当 时 则此时函数 在 上不是减函 数 即 不合题意 排除 当 时 此时 函数 在 上不是减函 数 即 不合题意 排除 故选 解析 在同一平面直角坐标 系中画出函数 的图象 如图所示 第 题图 由图象得 或 或 不成立的有 解析 由于 且 则有 即 或 舍 所以 本题易错选 为 其原因在于解 是没 有考虑到 的范围及指数函数的 单调性 解析 本题主要考超 越不等式求解问题 凡是不能化 成代数不等式的都叫超越不等 式 它的一般解法就是通过数形 结合 由图可知 的取值范围是 第 题图 解 依题意有 对一切 恒成 立 当 时 上式成立的 条件是 解 之得 或 又当 时 有 恒成立 故 的取 值范围是 设 由题意可知只要 能够取遍一切正数 则 的值域即为 所以当 时 有 解之得 又当 时 符合题意 故 的取值范围是 解 设平均增长率为 则由题意 得 即 两边取常用对数得 即 故平均每年需增长 解 当 时 依题可知定义 域为 当 时 由 可 知 定义域为 设 当 时 是增函数 也是增函 数 由复合函数的单调性可知 在 上是增函数 当 时 是减函数 也是减 函数 由复合函数的单调性可知 在 上是增函数 由图象在 轴的左侧可得 解得 指数函数与对数函数的 关系 解析 槡 槡 原函数的值域应与反函数的定义 域相同 选项中只有 的定义 域满足小于等于 解析 已知点 在 图象上 则 在其反函数 图象上 即 解析 与 的 图象关于 对称 与 互为反函数 故 解析 即原函数的值域为 故反函数的定义域为 解析 令 知 解析 的定义 域为 排除 当 时 又 与 在定义域 内都是单调减函数 故 符合 同 理当 时 单 调增函数 在定义域内 也是增函数 故 错 解析 若 有反函数 说明函数 是单调的 根据二 次函数的图象 不难判断 解析 函数 的图象与函 数 的图象关于直 线 对称 则它们互为反函 数 解 由 得 由于 得 槡 而函数 的值域为 的反函数为 槡 由 得 函数 的值域 为 的反函数为 由以上可得 所 求反函数为 槡 由 得 即 槡 槡 又 当 时 槡 解 由 得 设 由 得 即 由 设 在同一坐标系中分别作出 四个函数的图象 如图所 示 第 题图 则 分别是直线 与 与 图象的交点 的横坐标 显然 综上可得 的大小关系为 知能提升突破 解析 在同一坐标系中画出 函数 和 的图象 如图所示 第 题图 由图知 有 个交点 解析 过点 解得 解析 的图象过点 即 的 图象过点 它的反函数图象 过 故选 解析 又 即 原函数的反函数为 故选 解析 的定义域为 解 由 得 的反函数是 由于 的图象关于直线 对称 所以函数 的反 函数就 是它 自 身 比较系数得 此即 所满足的关系 解 由 可得 或 或 舍去 又 即 当 即 槡 时 解 由 当 时 函数的定义域为 当 时 函数的定 义域为 当 时 设 所以当 时 函数在 上是增函数 同理可证 当 时 函数在 上也是 增函数 由 即 舍 幂函数 解析 当 时 函数 定义域为 其图象 为两条射线 故 不正确 当 时 函数 的图象不过 点 故 不正确 幂函数 的 图象关于原点对称 但在其定义 域内不是增函数 故 不正确 幂 函数的图象都不在第四象限 故 正确 解析 要确定一个幂函数 在坐标系内的分布特征 就 要弄清幂函数 随着 值的 改变图象的变化规律 随着 的 变大 幂函数 的图象在直 线 的右侧从低向高分布 从 图中可以看出 直线 右侧的 图象 由高向低依次为 所以 的指数 依次为 解析 先把指数式化为根 式 再求定义域 解析 由幂函数的性质 可 知 在 上为减函 数 解析 根据幂函数的定义 形 如 的函数称为幂函数 可知 不是幂函数 或 槡 解析 当 为正比例函数时 即 当 为 反 比 例 函 数 时 即 或 当 为 二 次 函 数 时 即 槡 当 为幂函数时 即 解析 当 时 解析 在 上是 增函数 有 解得 由已知得 又 当 或 时 为奇 函数 其图象不关于 轴对称 不 适合题意 当 或 时 有 其图象如图 当 时 其图象如图 图 图 第 题图 据相关函数的定义及性质去 处理 令 得 槡 此时 令 得 当 时 不适合题 意 由题意 得 或 或 槡 或 槡 或 槡 槡 或 槡 或 槡 知能提升突破 解 析 解析 取值验证 不满足 在 上是减函 数 因其为奇函数 则在 上也是减函数 满足题意 解 是幂函数 或 当 时 是奇函 数 当 时 是偶函 数 当 时 是偶函数 又 都大于 在 上为增函数 故 或 解 与 有相同的增减性 当 时 为增 函数 为增函数 当 时 为减 函数 为减函数 解 是奇函数 任取 由于 在 上递增 又 即 在 上递 增 同理 在 上也 递增 故 在 和 上单调递增 且 解 函数 在 上是增函数 即 槡 或 槡 是正整数 故 是奇函数 对定义 域内 均成立 对定 义内 都成立 又 又 是整数 或 当 时 不满足题 意 当 时 满足题 意 故 函数的应用 解析 设现有车辆总数为 年底更新了现有总车辆数的 百分比为 则 选 解析 依题意可设甲销售 辆 则乙销售 辆 总利润 当