考研试题分析四(不定积分).pdf

考研试题分析四 不定积分 考研试题分析四 不定积分 例例 1 1999 年高数一至四 设是连续函数 是的原函数 则 xf xF xf A 当是奇函数时 必是偶函数 xf xF B 当是偶函数时 必是奇函数 xf xF C 当是周期函数时 必是周期函数 xf xF D 当是单调增函数时 必是单调增函数 xf xF 答案 A 分析 可以选取较简单的函数 逐个检验 解答 取 奇函数 单调增函数 有xxf CxxF 2 2 1 不是单调增函数 故 D 错误 取 偶函数 有 2 xxf CxxF 3 3 1 不是奇函数 故 B 错误 取 周期函数 有xxfcos CxxF sin 也是周期函数 但取1cos xxf 周期函数 有CxxxF sin 不是周期函数 故 C 错误 排除法确定 A 正确 例例 2 2004年高数一 已知 且则 xx xeef 0 1 f xf 答案 x 2 ln 2 1 分析 已知条件与的导数有关 所求的是的表达式 若能求出的导 数 则其导数的不定积分即为 xf xf xf xf 解答 设 则 从而te x txln ln t t tf 因 所以有 Cxfdxxf ln 2 1 lnln ln 21 2 CxfCxxxddx x x 故 ln 2 1 21 2 CCxxf 由于 0 1 f故取 0 21 CC所以xxf 2 ln 2 1 1 例例 3 1992年高数二 求 1 2 3 x dxx 答案 1 1 3 1 2 1 2 2 3 2 Cxx 分析一 本题中难积的部分是 1 2 x 如果将视作整体 则分子部分可设法凑 成 2 1x 1 2 xd 解一 Cxx xd x x xd x x xd x x x dxx 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 12 11 1 121 分析二 注意到被积函数中含有的形式 故可考虑用三角代换法 22 xa 解二 令 22 xFF xf 答案 1 2 2 3 2 x xe xf x 4 分析 已知条件与的原函数 若能求出 求导后即得 xf xF xF xf 解答 由 有 xfxF 2 1 2 x xe xFxF x 两边积分得 C x e dx x xe dxxFxFxF xx 1 1 2 2 2 由得 0 1 0 xFF x e xF x 1 求导后即得 1 2 2 3 2 x xe xFxf x 例例 9 2001年高数一 求 2 dx e arctge x x 答案 1 2 1 2 Carctge ee arctge x xx x 分析 本题可化为 2 1 22xxxx dearctgedxarctgee 故可考虑用分部积分法 解答 1 2 1 1 2 1 2 1 222 22 222 x x x x x x xx x xxxxxx e de e de e arctge ee de arctgeedearctgedxarctgee 1 2 1 2 Carctge ee arctge x xx x 例例 10 1999年高数二 dx xx x 136 5 2 答案 2 3 4 136ln 2 1 2 C x arctgxx 分析 本题属于有理分式的积分 一般来说 可以将真分式化为若干部分分式之和 然后分项积分 但这样做 有时显得很繁杂 本题可以将分母的一部分凑成完全平 方 解答 dt t t txdx x x dx xx x 22222 2