数值分析考试2016.品川.pdf

川川 六六 278374798 160510 1 1 绝对 相对 误差 限 的计算 2 2 4 范数谱半径 2 2 5 条件数 2 2 2 LU 分解 数值分析导论 第 3 版 book234 3 3 章 解线性方程组 4 4 章简单迭代法求方程的根 5 4 3Newton 迭代法 数值分析 李庆扬 王能超 易大义 超清晰版 pdf4 版 276 6 6 2 Lagrange 插值 数值分析 Timothy Sauer 图灵中文扫描版 129 7 6 3 Newton 插值 8 7 1 数值积分梯形法则 数值分析 Timothy Sauer pdf250 book236 9 7 1 数值积分 simpson 法则 数值分析 Timothy Sauer pdf250 book236 10 7 1 1 数值积分代数精度计算 11 8 数值微分 Euler 数值分析 Timothy Sauer Pdf277 book263 12 微分方程方向场与积分曲线 13 说明 目录顺序根据教材 数值分析张铁 每个部分内容主要包括 基本原理的理解 及相应的例题 由于认识能力有限 原理 讲的还是不很透彻 希望感兴趣的同学多多交流 微分方程非考试内容 内容多为相关书籍的摘录 整理匆忙 若有错误 敬请谅解 One of the most beautiful things in the world in my opinion is partial differential equation PDE It is beyond that a PDE is able to dexcribe so many things which are so apparently irrelevant And our in depth understanding of the world were basically obtained from our insights into equations I strongly belive that equations open up the road to the unknowns Thus so many of us devoted our whole life to finding the solutions to PDE 川川 六六 278374798 160510 2 1 绝对 相对 误差 限 的计算 绝对 相对 误差 限 的计算 一般地一般地 凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值 其绝对误差限等于该近似值末位的半个 单位 其绝对误差限等于该近似值末位的半个 单位 定义定义 1 设数 x 是数 x 的近似值 如果 x 的绝对误差限是它的某一数位的半个单位 并且从 x 左起第一个非零数字到该数位共有 n 位 则称这 n 个数字为 x 的有效数字有效数字 也 称用 x 近 似 x 时具有具有 n 位有效数字位有效数字 例题 已知下列近似值的绝对误差限都是 0 005 问它们几位有效数字 有效数字 a 12 175 b 0 10 c 0 1 d 0 0032 解解 由于 0 005 是小数点后第 2 数位的半个单位 所以 a 有 4 位有效数字 1 2 1 7 b 有 2 位有效数字 1 0 c 有 1 位有效数字 1 d 没有有效数字 2 4 范数谱半径范数谱半径 矩阵的矩阵的 1 范数范数 A 1 在线性方程组的数值解法中 经常需要分析解向量的误差 需要比较误差向量的在线性方程组的数值解法中 经常需要分析解向量的误差 需要比较误差向量的 大小大小 或或 长度长度 那么怎样定义向量的长度呢 那么怎样定义向量的长度呢 我们在初等数学里知道 定义向量的长度 实际上就是对每一个向量按一定的法则规 定一个非负实数与之对应 这一思想推广到 我们在初等数学里知道 定义向量的长度 实际上就是对每一个向量按一定的法则规 定一个非负实数与之对应 这一思想推广到 n 维线性空间里 就是向量的范数或模 维线性空间里 就是向量的范数或模 用用 Rn 表示表示 n 维实向量空间 用维实向量空间 用 Cn 表示表示 n 维复向量空间 首先将向量长度概念推广到维复向量空间 首先将向量长度概念推广到 Rn 或或 Cn 中 向量的范数可以看作是描述向量中 向量的范数可以看作是描述向量 大小大小 的一种度量的一种度量 4 谱半径 谱半径 2 5 条件数条件数 当 A 为对称矩阵时 有 Cond2 A 1 n 1 n 分别是 A 的按绝对值最大和最小的特征值 例题 n 1i ij nj1 amax 川川 六六 278374798 160510 3 2 2 LU 分解 数值分析导论分解 数值分析导论 第第 3 版版 book234 LU 分解可以把原方程分解可以把原方程 化简为解简单的方程组 方便解答 化简为解简单的方程组 方便解答 根据 数值分析张铁 可以构造下三角矩阵 左乘矩阵根据 数值分析张铁 可以构造下三角矩阵 左乘矩阵 A 转化为上三角矩阵 具体过 程参见教材 从而得到矩阵 转化为上三角矩阵 具体过 程参见教材 从而得到矩阵 LU 分解的计算公式 分解的计算公式 本质 就是 A LU 的矩阵乘法 对应上 记住分解公式 即可推导出各个 L 元素 U 矩阵 元素的值 可以计算出 L 矩阵 U 矩阵各个元素的数值 川川 六六 278374798 160510 4 3 章章 解线性方程组解线性方程组 取初值 x 0 0 0 对给定精度 0 001 G S 迭代法多少步 绝对误差限 艾普西龙 数值分析 张铁 上下两公式 是等价的 M B 迭代法 迭代法 川川 六六 278374798 160510 5 4 章简单迭代法求方程的根章简单迭代法求方程的根 方程 f x 0 可以转化为 g x x 方程 f x g x 的解就是函数 y f x 与 y g x 的图像交点的横坐标 请理解函数的定义 在交 点处 y f x 同时 y g x 既 f x g x 也就是说把那个横坐标带入两个函数后得到相同的 y 值 自然就是交点纵坐标 方程 x3 x 1 0 转化为图 1 3 a b 容易得出 第三种转化由下式得到 2 x3 x3 x 1 2x3 3 x3 x 1 2x3 3 x2 1 x 1 2x3 得出 x 1 2x3 1 3x2 g x 1 x3 是发散的 g x 1 x 1 3是收敛的 g x 1 2x3 1 3x2 收敛更快 考察线性函数 g1 x 2 3x 5 2 和 g2 x 1 2x 3 2 虽然和 y x 交点都为 1 1 例题 例题 x3 x 3 0 在 1 2 内有根 证明 f x x3 x 3 因为 f 1 3 0 f 2 3 0 F x 3 x2 1 0 对 x 1 2 所以有唯一根 建立迭代公式 xk 1 xk 3 1 3 k 0 1 2 3 x xk 3 1 3 因为 1 1 1 3 1 3 x 2 3 1 3 2 对 于 x 1 2 2 x 1 3 x 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 对于 x 1 2 所以迭代公式收敛 川川 六六 278374798 160510 6 4 3Newton 迭代法 数值分析迭代法 数值分析 李庆扬 王能超 易大义李庆扬 王能超 易大义 超清晰 版 超清晰 版 pdf4 版版 276 1 原理的理解 例题 川川 六六 278374798 160510 7 6 2 Lagrange 插值 数值分析插值 数值分析 Timothy Sauer 图灵中文扫描版图灵中文扫描版 129 1 原理初析 2 需要记住的公式 公式 3 1 规律 本质 当 y1 y1 系数为 1 其他项系数为 0 公式理解 题目给出几个点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 代入公式即可拟合成一个函数 3 例题例题 根据例 3 1 则求 P2 x 当 x 1 5 时 代入公式 就求出对应的 P2 1 5 值 川川 六六 278374798 160510 8 6 3 Newton 插值插值 1 原理初析 Newton 差值公式的推导过程 原理 有差商的定义可以得出 数值计算方法 108 页 f x f x0 x x0 f x x0 公式 1 1a f x x0 f x0 x1 x x1 f x x0 x1 公式 1 2a f x x0 x1 f x0 x1 x2 x x2 f x x0 x1 x2 公式 1 3a x x0 f x x0 公式 1 2a 左端 代入公式 1 1a 得到 f x f x0 x x0 f x0 x1 x x0 x x1 f x x0 x1 公式 1 2b x x0 x x1 f x x0 x1 公式 1 3a 左端 代入公式 1 2b 得到 f x f x0 x x0 f x0 x1 x x0 x x1 f x0 x1 x2 x x0 x x1 x x2 f x x0 x1 x2 公式 1 2c 公式 插值的误差插值的误差 数值分析 Timothy Sauer 图灵中文扫描版 book142 2 需要记住的信息 公式 3 3 公式 3 2 或者记住差商定义及推导的过程 3 Newton 插值插值 3 例题例题 f x1 x2 fx1 fx2 x1 x2 f x2 x3 fx2 fx3 x2 x3 f x1 x2 x3 f x1 x2 f x2 x3 x3 x1 川川 六六 278374798 160510 9 7 1数 值 积 分 梯 形 法 则 数 值 分 析数 值 积 分 梯 形 法 则 数 值 分 析 Timothy Sauer pdf250 book236 Lagrange 一次差值得出梯形法则 截断误差公式 主要是来自于 Lagrange 一次差值的误差 项 误差 例题 川川 六六 278374798 160510 10 7 1 数 值 积 分数 值 积 分 simpson 法 则 数 值 分 析法 则 数 值 分 析 Timothy Sauer pdf250 book236 Lagrange 二次插值得出 Simpson 法则 数值计算方法丁丽娟 川川 六六 278374798 160510 11 7 1 1 数值积分代数精度计算数值积分代数精度计算 例题 川川 六六 278374798 160510 12 8 数值微分数值微分 Euler 数值分析 数值分析 Timothy Sauer Pdf277 book263 川川 六六 278374798 160510 13 微分方程方向场与积分曲线微分方程方向场与积分曲线 可参考视频 微分方程 01 ODE 的几何解法 方向场 积分曲线 从方向场和积分曲线入 手 深入透彻地剖析了微分方程的实质 方向场 设函数设函数 f x y 的定义域为的定义域为 D 在每一点 在每一点 x y D 处画上一个有 向小线段 其斜率等于 处画上一个有 向小线段 其斜率等于 f x y 在该点的值 把带有这种直线段的区域在该点的值 把带有这种直线段的区域 D 称为由方程 称