数学建模y05D仓库容量有限条件下的随机存贮管理-王智勇.pdf

徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖1 1 问题分析1 问题分析 工厂生产需要定期地订购各种原料 商家销售要成批地购进各种商品 无论是原料 或商品 都是一个怎样存贮的问题 存得少了无法满足需求 影响利润 存得太多 存 贮费用就高 因此说存贮管理是降低成本 提高经济效益的有效途径和方法 根据存贮 管理原理以及存贮费 订货费和缺货费的意义可知 为了保持一定的库存 要付出存贮 费 为了补充库存 要付出订货费 当存贮不足发生缺货时 要付出缺货损失费 这三 项费用之间是相互矛盾 相互制约的 存贮费与物资的数量和时间成正比 如降低存贮 量 缩短存贮周期 自然会降低存贮费 但缩短存贮周期 就要增加订货次数 势必增 大订货费支出 为了防止缺货现象的发生 就要增加安全库存量 这样在减少缺货损失 费的同时 增大了存贮费的开支 2 模型假设2 模型假设 为使研究模型简便 本文作如下假设 1 在商品销售过程中 因为 则首先销售租借仓库中的商品 待被销售完 32 CC 后 再销售自己仓库中的商品 这样可以降低存贮费用 2 每次到货补充商品的过程是瞬间完成的 不考虑交货时间的影响 1 3 商品间的销售不存在相关性 互不影响 4 在计划时段初 时刻 各种商品的总库存量为 0t Q 基于以上假设 本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费 2 库存存贮费和 因缺货而减少销售要造成损失费 3 符号说明3 符号说明 表 1变量定义表 变量含义单位备注 C订货周期内的总费用元货币计量单位 C 订货周期内平均每天的费用元 天 1 C每次进货的订货费元 次 2 C用自己仓库存贮单位商品每天的存贮费用元 天 盒 袋 仅有一种商品时 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖2 3 C租借仓库存贮单位商品每天的存贮费元 天 盒 袋 仅有一种商品时 4 C单位商品缺货每天的损失费用元 天 盒 袋 仅有一种商品时 2i C自己仓库存贮第 种单位体积商品每天存贮费用i元 天 体积单位1 2im 3i C租借仓库存贮第 种单位体积商品每天存贮费i元 天 体积单位1 2im i4 C第 种单位体积商品缺货每天的损失费用i元 天 体积单位1 2im 1 t 商品销售到的时刻 0 Q天 2 t订货点 L 的时刻天 3 t商品销售完毕的时刻天 T从 Q 到补货的时间周期天不一定相同 Q存贮量的固定值袋 盒 或体积 0 Q自己仓库用于存贮商品的最大容量袋 盒 或体积 0i Q自己仓库用于存贮第 种商品的体积容量i体积单位1 2im i Q第 种商品存贮量补充到的固定体积值i体积单位1 2im L商品的订货点袋 盒 或体积 i L第 种商品的订货点i体积单位1 2im L 最优订货点体积单位 m商品品种数量种 x订货提前期天 R销售速率 袋或盒 天 i r第 种商品的销售速率i 袋或盒 天m21i i v第 种单位商品的体积i体积单位m21i P x订货提前期的概率分布x 对 x 进行概率统 计 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖3 4 模型建立与求解4 模型建立与求解 4 1 问题问题 1 的解决的解决 问题 1 允许商品缺货 所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况 如图 1 所 示 因此分两种情况进行分析求解 最后进行综合讨论 时间 t 存 贮 量 0 Q 0 Q L 1 t 2 t 3 t x T 1 tT x 2 t 图 1存贮量 时间图 q 模型一 模型一 当时 如图 2 所示 商品缺货的周期存贮费用 L x r 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖5 时间 t 存 贮 量 0 Q 0 Q L 1 t 2 t T x 图 3不缺货情况下的存贮量 时间图 q 通过对图 3 的分析 建立了不缺货情况下 0 T 时间段内的总损失费用的模型 3 1 1 120 1302 0 tT t E CCC Q tCQrtQ dtCQrt dt 即 132012 11 22 E CC CC QQ tC T QLrx 其中 r QQ t 0 1 x r LQ T 令 则 10231 2 1 tQ QC CCW 2 1 2 E CWC T QLrx 单位周期内的平均总费用为 222 2 111 22 CC E C TWC T QLrxWQLrx TTTr 令 22 22 0 2 2 CCd CWTWr dLTQLrx 解得 2 2 2 rW QLrx C 4 2 2rW LQrx C 特殊情况 当时 L x r Lrx 模型三 模型三 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖6 将模型一 模型二两种情况综合 其损失费用的数学期望为 0 L r ba L x x r E CE CP xE CP x 说明 分别指符合模型一 模型二情况的单位周期内的总损失费用 ab C CEE 将 1 和 3 带入公式求得 5 1 1 13 13 120 1302 0 00 120 13024 0 LL rr tT ba t L xx x r ttT tt L x r E CC P xC P xCCQtCQ rtQ dtCQ rt dt P x CCQtCQ rt Q dtCQ rt dtCQ rt dt P x 很明显 则周期 T 内的总损失费用的一般模型为 0 1 x P x 13 13 120 13024 0 0 L r ttT tt L x x r E CCC Q tCQ rt Q dtCQrt dtP xCQrt dtP x 平均每天的损失费用为 13 13 120 13024 0 0 2 0 120301204 0 1 1111 222 L r ttT tt L x x r L r i L x x r E CCC Q tCQ rt Q dtCQrt dtP xCQrt dtP x T QLL CC Q tC Q Q tC QLrxx P xC r xP x Trr 0 L r ba xx L r E CE Cp xE Cp x 经过求解得 6 2 0 24 22 L r ba xx L r rWW r LQrE xp xQp x CC 4 2 问题问题 2 的解决 的解决 商品一的统计分析商品一的统计分析 康师傅精装巧碗香菇炖鸡面订货后到达天数的实验数据为 3 3 7 1 2 3 3 0 3 4 6 3 1 4 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 3 3 0 3 4 3 1 4 5 4 3 1 总数 36 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖7 表 2康师傅精装巧碗香菇炖鸡面订货后到达天数的概率分布 那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为 2 972222E x 盒 盒 天盒元天 盒元天 盒元元 天 盒由题意可知 60Q40Q 95 0c 02 0c 01 0c10c 12r 0 4321 由 LINGO 编程 见附录 1 解得 L 36 912 37 盒 商品二的统计分析 商品二的统计分析 心相印手帕纸 10 小包装订货后到达天数的实验数据为 4 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 4 3 2 3 2 2 4 2 3 4 3 3 2 3 2 3 2 2 1 3 2 5 3 2 4 2 2 总数 43 表 3心相印手帕纸 10 小包装订货后到达天数的概率分布 那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为 2 534884E x 盒 盒 天盒元天 盒元天 盒元元 天 盒由题意可知 60Q40Q 1 50c 04 0c 03 0c10c 15r 0 4321 由 LINGO 编程 解得 L 40 01 40 盒 商品三的统计分析 商品三的统计分析 重汇香米 5KG 装订货后到达天数的实验数据为 3 4 4 2 3 3 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 5 6 3 4 3 1 总数 61 提前期01234567 频 次245155311 概率分布1 182 185 365 125 361 121 361 36 提前期12345 频 次2231251 概率分布2 4323 4312 435 431 43 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖8 表 4重汇香米 5KG 装订货后到达天数的概率分布 那么这种商品的订货到达天数的数学期望值为 1 9507E x 袋 袋 天袋元袋天 元盒袋天 元元 天 袋由题意可知 40Q20Q 1 25C 08 0C 06 0C10C 20r 0 4321 由 LINGO 编程 解得 L 38 52 39 袋 4 3 问题问题 3 的解决 的解决 模型四 模型四 模型的假设 1 第 种商品的存贮量是 则销售完的时间 为方便讨论 现假设i i Q i i i i Q t rv 即第件商品在到货的时候恰好销售完 123m tttt k tT k 2 种商品相互独立 互不影响 m 3 种商品同时进货 同时到货 m 根据模型三 可以得到第 种商品的存贮费用 i i E C 13 13 1 20 13024 0 0 iii ii L r ttT ii iiii iii i iiii iii i iii iii i ii tt L x x r C E CC vQ tC vQ rvt Q dtC vQrvt dt P xC vQrvt dt P x m 所以总的存贮费用 E C 13 13 120 13024 0 0 iii ii L m r ttT i iiii iii i iiii iii i iii iii i ii tt L i ix x r E CCC vQ tC vQ rvt Q dtC vQrvt dt P xC vQrvt dt P x 根据已知条件 可以得出数学模型 min E C E C T 提前期123456 频 次27208321 概率分布27 6120 618 613 612 611 61 0 44260 65570 39340 19670 16390 0984 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖9 7 1 00 1 1 23 m i i m i i km ii iii ii k i iim ii QQ QQ rvtrvTQ Q ttttt rv 根据假设 表示存储的第 种商品可以销售的天数 i ti 1 考虑到种商品同时订货 同时到货 所以种商品可以理解为订货点和周mm 期相同 即相等 这样各个商品的周期损失费用就有大小之分 我们可以将这种商Tm 品的周期损失费用进行升序排列 当自己的仓库用于存贮这种商品时 周期损失费用包括订货费 自己仓库的存贮m 费和可能发生的缺货损失费 可以理解为每天销售的第 种商品的自己仓库存贮费 2i ii C rvi 用 可以理解为每天缺货的第 种商品的缺货费用 根据的值对这 4i ii C rvi 42i i ii i i C rvC rv 种商品进行升序排列 为使得总损失费用最小 先将最小的商品满足m 42i i ii i i C rvC rv 其中 为定值 然后按照排列顺序逐次满足 适当取 值 尽量减少缺 0i ii Q t rv t 0i ii Q t rv t 货损失费用 直到 00i QQ 当订货到达时 存贮体积 用于存贮这种商品时 周期损失费用就包括定 i QQ m 货费 自己的仓库存贮费和租借的仓库存贮费 可以理解为每天销售的第 3i ii C rv 2i ii C rv 种商品的存贮费用和租借的仓库存贮费用 可以理解为每天缺货的第 种商品的i 4i ii C rvi 缺货费用 根据的值对这种商品进行升序排列 为使得总损失费用最 43i i ii ii C rvC rv m 小 先将最小的商品满足 然后按照排列顺序逐次满足 43i i ii ii C rvC rv 0 ii ii QQ t rv 适当取 值 尽量减少缺货损失费用 直到 然后根 0 ii ii QQ t rv t 00 ii QQQ Q 据自己仓库的存贮模型确定各个商品的存贮体积 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖10 2 当 比较小的时候 表示这种商品在时间内没有卖完 下次订货时 就相应 i tT 减少第种商品的订货数量 这样就慢慢增大 直至达到平衡状态 此时i i t 这 时 就 是 这种 商 品 同 时 到 货 同 时 缺 货 当 23im tttt m 时达到特殊情况 即当存储量销售为零时 货物刚好到达 23 im ttttT 数学模型变为 min E C E C T 1 00 1 1 m i i m i i m ii i i ii QQ QQ s t rvTQ Q T rv 求解得 1 m i i i Lrv E X 8 00 1 ii i m ii i rv QQ rv 1 ii i m ii i rv QQ rv 4 4 问题问题 4 的解决的解决 对原始数据进行处理得表 5 表 53 种商品的数据统计 i123 ii rv 0 60 62 0 1 C 101010 2i ii C rv 0 0060 0180 12 3i ii C rv 0 0120 0240 16 4i ii C rv 0 570 92 5 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖11 根据以上对问题三的讨论 可以知道首先确定商品 1 的库存量 然后确定商品 2 的 库存量 最后确定商品 3 的库存量 由于表 5 中显示缺货损失费用比存贮费用 4i ii C rv 大很多 所以可以确定没有缺货损失费用的情况下的就是最优解 由 2i ii C rv 3i ii C rvLL 于天数服从在 1 天到 3 天之间的均匀分布 所以 X 2 2 ab E X 此时 将数据带入 8 中就求得最优解 3 1 6 4 ii i Lrv E X 010203 1 125 1 125 3 75QQQ 123 1 875 1 875 6 25QQQ 4 5 问题问题 5 的解决的解决 模型五 模型五 根据前面讨论的模型三和模型四 可以得到总损失费用与存贮费 定货费的关系如 图 4 所示 由于某种商品的定货量变大 则总存贮费增大 而总定货费就要减少 判断分析第 种商品可以是定货也可以不定货 所以定货过程中种商品有种定im2m 货的可能性 设 种商品订货表示第 种商品不订货表示第 i i yi 1 0 根据模型四建立模型五 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖12 13 13 120 13024 0 0 iii ii L m r ttT i ii ii iii i iiii iii i iii iii i iii tt L i ix x r E CCC vQtCvQ rvt Q dtC vQ rvt dtP xC vQ rvt ydtP x 即 13 13 120 13024 0 0 1iii ii L m r ttT i ii ii iii i iiii iii i iii iii i iii tt L i ix x r E CCC vQ tC vQ rvt Q dtC vQ rvt dtP xC vQ rvt ydtP x T 1 多品种随机订货模型 采用存贮策略中常用的策略 在一定的费用结构下确定最优订货策略 使订 ii s S 货费及存贮费与缺货费用之和的期望值最小 记最小费用为 因此 12 m A x xx 1222 11 12 1 min ii mm mmiiiiii yxii m m i i k yxyxyxcyxL yyx A x xx L y 其余情形 由于有种品种 故有种不同的订货策略 m2m 另外 是的元函数以及策略 因此为满足偏微 12 m A x xx 12 m y yy m ii s S i S 分方程 0 i y A 即 01 2 i i i L y Cim y 的解 又记 1 2 iiiiii GyC yLyi m 则为满足代数方程 i s 1 2 iiii G skG Sim 的最优值 下面分别对初始库存的种水平讨论最优决策方案 仅讨论当的 12 m x xx 2m i kk 情形 I求订货策略的边界 12 1 1 2 0 m miiiiii i y yyyS im kGSGy 徐州空军学院 王智勇 冯达 段建国 2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖13 12 1 2 imiijj y yyys ySij i jm II确定最优订货策略为 若 即 根据单个商品的讨论 易知仅需订货 12 mi x xxA iiii xsxS其他 商品 且订货量 其他商品无需订货 i ii Sx 若 即 因此第种商品需同时 12 mijk x xxA iijjkk xs xsxs ijk 订货 且订货量分别为 iijjkk Sx SxSx 若 则不订货 12 m x xxA 2 费用变化模型 有数量折扣的模型要复杂一些 某种商品的订货量较大时 此时第 种商品总费 i Qi 用虽然较低 但保管这些器材的费用又要增加 这就有可能使总费用被抵消一部分 因 此 这就有理由提出数量折扣问题 图 5 表示总费用 订货费 保管费之间的关系 假 设数量折扣不影响订货费