数学建模在土木工程土方调配中的应用.pdf

a 文章编号 1001 7445 2003 增 0017 04 数学建模在土木工程土方调配中的应用 马南湘 广西建设职业技术学院 公共课教学部 广西 南宁 530003 摘要 土木工程大型土方工程施工时 可以借助运筹学中的线性规划知识建立数学模型 经过若干运算步骤后 最终确定运距最短的土方调配最优方案用以指导施工 以达到降低成本 取得较好经济效益的目的 关键词 线性规划 数学模型 表上作业法 土方调配 中图分类号 O122 文献标识码 A 土木建筑工程大型土方施工时 为了达到降低工程成本和造价的目的 常常需要在施工前 制订土 方调配方案以指导施工 而在现场 许多工程施工人员制订方案往往仅凭一些常识和经验来做抉择 当 然 凭经验有时也能得到一个较满意的方案 但当问题较复杂时 单凭经验和常识会遇到极大的困难 而 此时借助运筹学的线性规划知识则可以较方便地获得一个目标明确的最优方案 下面笔者结合实例建 立数学模型给出用线性规划知识来求土方调配最优方案的特殊方法 表上作业法 实际问题 某大型土方施工场地有 W1 W2 W3 W4四个挖方区 T1 T2 T3 T4四个填方区 其相应 挖 填方土方量和各对调配区运距如下图 1 所示 要求确定使得该场地运距最短效益最好的土方调配最 优方案 图 1 调配区运距图 图 2 土方调配图 第 28卷 增刊 2003 年 10月 广西大学学报 自然科学版 Journal of Guangxi University Nat Sci Ed Vol 28 Sup Oct 2003 a 收稿日期 20030620 修订日期 20030828 作者简介 马南湘 1965 湖南长沙人 广西建设职业技术学院高级讲师 工民建工程师 1 建立数学模型 1 编制土方调配表 土方调配表如表 1 表中 xij是待求土方调运量 其表示由第 i 个挖方区调运至第 j 个填方区的土方 量 如 x23是 W2挖方区调运至 T 3 填方区的土方量 格内右边的数值是相应调配区的运距 表 1 土方调配表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4 挖方区 m 3 W1x11150 x12200 x13180 x1424010000 W2x21 70 x22 140 x23 110 x24 1704000 W3x31150 x32320 x33120 x342004000 W4x41 100 x42 130 x43 80 x44 1601000 填方区 m 3 100070002000900019000 2 建立数学模型 目标函数 S 150 x11 200 x12 180 x13 240 x14 70 x21 140 x22 110 x23 170 x24 150 x31 220 x32 120 x33 200 x34 100 x41 130 x42 80 x43 160 x44 要求在满足如下约束条件情况下求出 S 的最小值 6 4 j 1 x1j 10000 6 4 j 1 x2j 4000 6 4 j 1 x3j 4000 6 4 j 1 x4j 1000 6 4 j 1 x1i 1000 6 4 j 1 x2i 7000 6 4 j 1 x3i 2000 6 4 j 1 xi4 9000 由所建立的数学模型知 该问题属于一个线性规划问题 它当然可以用单纯形法求解 但该问题若用单 纯形法求解 则需对每一个约束方程加一个人工变量而成为求解 4 4 个约束总共含有 4 4 4 4 个变量问题 这样的解题工作量相当大 现在我们细心观察一下模型 就会发现该模型很特殊 所有的 约 束方程都仅仅是各变量之和 即约束方程中各变量的系数不是 1 就是 0 因而这里可以不引用人 工变量 而采用一种较为特殊的表上作业法求解 2 编制初始调配方案 制订初始方案时 采用优先对运距最小的调配区调配的原则进行 可以使目标函数减少运算次数 1 由表 1 知 未知量 x21运距最小 由于 W2 4000m 3 T 1 1000m3 故从 W2中调 1000m 3 到 T1中 即 x 21 1000m 3 由于 T 1已得足土方 故 W1 W 3 W 4不再给土方 即 x11 x 31 x 41 0 相应的方格中填 0 2 再选一个运距最小的方格调配 在未调配的方格中 x43的运距最小 80m W4 1000m 3 T 3 2000m 3 于是x 43 1000m 3 从而 x 42 x 44 0 3 重复以上步骤 每次都对运距最小的方格进行调配 根据供需要求 尽可能满足该方格需要 依 次求出其他 xij值 即得初始调配方案如表 2 18 广西大学学报 自然科学版 第 28 卷 表 2 初始调配方案如表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4挖方区 m3 W1015050002000180500024010000 W2 1000702000140100011001704000 W301500220012040002004000 W40100013010008001601000 填方区 m3 100070002000900019000 初始调配方案的目标函数值 S 5000 200 240 5000 1000 70 140 2000 110 1000 200 4000 80 1000 3540000 3 调配方案的最优化检验 表 2 方案考虑了优先运距小的原则 所以 所得的目标函数值较小 但还不能保证最小 因而需要检 验 现制定一个假想运距 假想运距是假定方案最优时的虚拟运距 在假想运距条件下 方案任意调整 其目标函数值 S 不变 因此 当原运距均大于或等于其对应的假想运距 则目标函数值不能再降低 故方 案最优 反之 目标函数值仍能再降低 故方案非最优 1 编制假想运距表 先将表 2 中有解 xij 0 方格运距填入 然后按矩形对角线上运距之和两两相等的规律 从适当的 方格开始逐一求出 0解 xij 0 方格的假想运距 即得假想运距表 3 表 4 检验表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4 W1200100 W2000 10 W36060 100 W46020010 表 3 假想运距表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4 W1130200170240 W270140110180 W390160130200 W44011080150 2 编制检验表 用原运距减假想运距即得检验表 4 检验表出现负值 说明方案非最优 还需调整 4 方案调整 1 编制新的调配方案表 调整方案 必须降低目标函数 S 值 调整后还要进行重新平衡 检验表中 x33 x 24方格出现负值 10 说明若将土方调入该调配区 则目标函数值还可以降低 由初始方案表 2 可知 x14 5000m 3 其运 距 240m 最大 x33方格运距 120m 小于 x42方格运距 170m T3 2000m 3 故可将 x 14土调 2000m3 给 x 33 即 x33 2000m 3 x 14 3000m3 为保证各行各列平衡 其余方格 xij要随之相应调整 由此得到新的调配方案 表 5 表 5 新的调配方案表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4挖方区 m3 W1 015070002000180300024010000 W21000700140011030001704000 W301500220200012020002004000 W40100013008010001601000 填方区 m3 100070002000900019000 2 编制假想运距表 19 增刊马南湘 数学建模在土木工程土方调配中的应用 编制新的调配方案对应的假想运距表 6 方法同前 表 7 新方案的检验表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4 W1 100200 W2010200 W3506000 W4401000 表 6 新方案的假想运距表 挖 方 区 填 方 区 T1T2T3T4 W1 140200160240 W27013090170 W3100160120200 W46012080160 3 编制检验表 用原运距减假想运距得新调配方案对应的检验 表 7 检验表中的值全大于等于零 故新的调配方案为最优方案 其对应的目标函数值 S 200 7000 240 3000 70 1000 170 3000 120 2000 200 2000 160 1000 3500000 5 绘制土方调配图 依据最优方案绘成土方调配图 2 以指导现场施工 参考文献 1 方承训 郭立民 建筑施工 M 武汉 武汉工业大学出版社 Mathematical modeling used in earthwork blending in civil engineering M A Nan xiang Basic Course T eching Departement Guangxi Polytechnics of Construction Nanning530003 China Abstract T he knowledge of linear programing in operation search is used to set up a mathematical model in a large earthwork construction in civil engineering After several steps of calculating the optimum earthwork blending scheme of the shortest carrying distance is