浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第2讲等差数列及其前n项和(1).doc

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义等差数列如何定义的？提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列定义中的常数叫什么？提示：公差温馨提示：(1)要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从第3项或第4项起是一个等差数列)；(2)概念中的“同一个常数”十分重要如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列(2)等差中项什么是等差中项？提示：由三个数a，a，b组成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项，即a.2通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么通项公式为ana1(n1)d，nn*.3等差数列的前n项和已知条件首项a1，公差d首项a1，末项an选用公式snna1dsn温馨提示：在d0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0.4等差数列的性质已知数列an是等差数列，sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列sm，s2msm，s3ms2m，构成等差数列1(2014海淀区高三年级第二学期期中练习)等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6的值为()a14b18c21 d27解析：选a.依题意得，由此解得d1，a12，a6a15d7，a1a614，故选a.2(2013高考安徽卷)设sn为等差数列an的前n项和，s84a3，a72，则a9()a6 b4c2 d2解析：选a.由等差数列性质及前n项和公式，得s84(a3a6)4a3，所以a60.又a72，所以公差d2，所以a9a72d6.3(2014深圳市高三年级第一次调研考试)等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和sn的最大值为()as7 bs6cs5 ds4解析：选c.，sn的最大值为s5.4(2013高考重庆卷)已知an是等差数列，a11，公差d0，sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则s8_.解析：a1，a2，a5成等比数列，aa1a5，(1d)21(4d1)，d22d0.d0，d2.s881264.答案：645在等差数列40,37,34，中，第一个负数项是_解析：a140，d37403，an40(n1)(3)3n43，令an0，即3n43，故第一个负数项是第15项，即a15315432.答案：2等差数列的判断与证明(1)已知数列an的前n项和为sn，且满足an2snsn10(n2)，a1.求证：是等差数列(2)两个正项数列an，bn(nn*)中，已知an，b，an1成等差数列，b，an1，b成等比数列，证明：数列bn是等差数列证明(1)ansnsn1(n2)，又an2snsn1，sn1sn2snsn1，sn0.2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)由题意知又an，bn为正项数列，an1bnbn1，代入式得2bbn1bnbnbn1，2bnbn1bn1(n2)，数列bn是等差数列等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nn*)成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证snan2bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断1已知sn为等差数列an的前n项和，bn(nn*)求证：数列bn是等差数列证明：设等差数列an的公差为d，则snna1n(n1)d，bna1(n1)d.法一：bn1bna1nda1(n1)d(常数)，数列bn是等差数列法二：bn1a1nd，bn2a1(n1)d，bn2bna1(n1)da1(n1)d2a1nd2bn1.数列bn是等差数列等差数列基本量的计算(1)(2014江西南昌市模拟测试)在数列an中，若a12，且对任意的nn*有2an112an，则数列an前10项的和为()a5b10c. d.(2)(2013高考课标全国卷)设等差数列an的前n项和为sn，若sm12，sm0，sm13，则m()a3 b4c5 d6解析(1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，s1010(2).(2)an是等差数列，sm12，sm0，amsmsm12.sm13，am1sm1sm3，dam1am1.又sm0，a12，am2(m1)12，m5.答案(1)c(2)c(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法2已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)知an32n，sn2nn2.由sk35得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kn*，故k7.等差数列的性质及最值(1)(2014河北石家庄市质量检测)已知等差数列an满足a23，snsn351(n3)，sn100，则n的值为()a8 b9c10 d11(2)(2014湖北武汉市武昌区联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为sn，则使得sn达到最大的n是()a18 b19c20 d21解析(1)由snsn351，得an2an1an51，所以an117.又a23，sn100，解得n10，故选c.(2)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，snn240n，因此当sn取得最大值时，n20.答案(1)c(2)c(1)等差数列的性质：项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则as2nn(a1a2n)n(anan1)；bs2n1(2n1)an.(2)求等差数列前n项和sn最值的两种方法：函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：aa10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；b当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.3(1)(2014广东江门模拟)等差数列an前17项和s1751，则a5a7a9a11a13等于()a3 b6c17 d51(2)等差数列an的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为_解析：(1)由于s171717a951，所以a93.根据等差数列的性质a5a13a7a11，所以a5a7a9a11a13a93.(2)法一：由sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，可得2(s2msm)sms3ms2m，即s2m60.法二：由snna1d，得a1(n1)，所以是以a1为首项，为公差的等差数列，从而，成等差数列，2，s2msm303060.答案：(1)a(2)60函数与方程思想在数列中的应用(2013高考课标全国卷)等差数列an的前n项和为sn，已知s100，s1525，则nsn的最小值为_解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，解得a13，d，那么nsnn2a1d.由于函数f(x)在x处取得极小值，因而检验n6时，6s648，而n7时，7s749.答案49(1)本题运用了函数与方程思想，首先根据等差数列列出关于a1与d的方程组，再将nsn转化为函数f(x)，利用函数求极值，从而求得nsn的最小值(2)在等差数列中还可利用函数与方程思想，将sn转化为关于n的二次函数，利用函数图象研究数列的性质4数列an中，a123，an1an30.(1)求数列的前n项和sn；(2)求使得数列sn是递增数列的n的取值范围解：(