（临门一脚 山东专用）高考数学 热点专题复习热点二 函数 理 (2).doc

热点二 函数【考点精要】考点一. 函数定义域. 考查函数的定义域实际上就是解不等式，要做到以下两点：1、函数值定义域常见要求；2、熟练掌握常见不等式的解法. 注意研究函数问题需要首先考虑其定义域，即定义域优先原则. 高考时常结合函数的概念、单调性等进行考查. 如求函数的定义域. 考点二. 函数的解析式. 通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质. 如：定义运算为：，如，则函数的值域为（ ）a.r b.（0， c.（0，1 d.1,+考点三. 函数的定义与函数的奇偶性. 利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质. 如设函数是定义在r上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则 . 考点四. 导数及函数的综合性质. 以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质. 如：已知函数的图像在点处的切线方程为，（）求函数的解析式；（）求函数的单调区间. 考点五. 函数的奇偶性、对称性. 以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查. （广东）设函数在上满足，且在闭区间上，只有. （）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论. 考点六. 函数与导数的综合应用. 以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力. （全国卷）若，则（ ）a. b. c. d.考点七. 导数、函数的单调性. 以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质. 如：已知函数，（）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围. 考点八. 函数或导数的模式构建. 以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力. 如：在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点. 对任意偶数n，用n表示向量的坐标. 巧点妙拨1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.2在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.3利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.【典题对应】例1. （2014山东理3）函数的定义域为 （ ）a. b. c. d. 命题意图：本题主要考查函数的定义域、对数函数的性质以及不等式的解集. 解析： 或 或. 答案选c. 名师坐堂：此类问题要注意分层考虑，逐层深入，注意挖掘隐含条件. 例2. （2014山东理8）已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是a. b. c. d. 命题意图：本题主要考查方程与函数的关系，数形结合的应用. 解析：画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致. 答案：b名师坐堂：学生应能较为熟练的画出基本初等函数的图象，并能进行简单的变通. 利用图象的最低点与斜率将问题进行化解. 例3. （2014山东理15）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是. 命题意图：本题主要考查数形结合思想，考查初等函数图象的对称性. 解析：根据图像分析得，当与在第二象限相切时，由恒成立得.答案：例4. （2014山东理20） 设函数（为常数，是自然对数的底数）（i）当时，求函数的单调区间；（ii）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围. 命题意图：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数与极值的关系求参数，借机考查分类讨论思想. 解析：当时，令，则. 当时，单调递减；当时，单调递增. （2）令，则，综上：的取值范围为. 名师坐堂：利用导函数求函数的单调性、极值、最值等是高考必考内容，解决的关键是正确求导，正确求出方程的解，注意在解方程时若含有参数应注意对参数进行讨论. 有时需要利用图象对方程的解得个数进行判断. 例5.（2013山东理21）设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.命题意图：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，求函数的最值以及求方程的根. 考查分类讨论思想. 解析：（1），令得，,当所以当时，函数取得最的最值（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大.故令f(1)=0得，所以当时，方程有两个根；当时，方程有一两个根；当时，方程有无两个根.名师坐堂：此类问题首先要正确求好函数的导数，正确运用导数的正负与函数的增减的关系. 例6.（2012山东理22）已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行. （）求k的值；（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x0，. 命题意图：本题主要考查导数的意义、求解及应用，函数的单调性的意义及应用，考查分类讨论思想以及转化思想. 解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，当时，；当时，. 于是在区间内为增函数；在内为减函数. 简证（），当时， ，.当时，要证. 只需证，然后构造函数即可证明. 名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合，旨在考查考生在数学方面阅读、理解、综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力. 【命题趋向】1. 近几年高考试题中，给出一个函数然后提供图像供选择已成定式，解决时应首先弄清楚函数的相关性质，尤其利用导数研究函数的性质简便易行. 此类题主要以选择题形式出现. 2. 不等式恒成立问题在高考也常涉及，解决的方法是常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围. 一般地，证明不等式通常转化为证明从而将问题转化为问题. 3. 考查指数、对数、幂函数的图象与性质时，往往以这些函数为载体考查分段函数、复合函数的图象与性质以及函数的零点等问题，以选择题、填空题为主，一般为中高档题. 4. 对于求函数闭区间上的最值应注意方法，在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值. 在生产建设和科学技术中，“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决. 解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解. 【直击高考】1. 若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间（ ）a(a，b)和(b，c)内 b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内 d(，a)和(c，)内2. 函数的大致图象为( )3. 已知函数在r上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）a b c d 4. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 25设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ）a-1，2 b0，2 c1，+） d0，+）6. 已知，则函数的零点的个数为_个.7. 已知函数（）当时，求在区间上的最值；（）讨论函数的单调性；（）当时，有恒成立，求的取值范围8. 已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.（）求函数的解析式；（）求实数的最小值；（）求证：（）9. 已知函数，(1)当时，求的单调区间；(2)对任意正数，证明：10. 已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围11. 已知函数为常数)是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数（）求实数的值；（）若在上恒成立，求实数的最大值；（）若关于的方程有且只有一个实数根，求的值12. 设函数.(1) 求的单调区间与极值；(2)是否存在实数，使得对任意的，当时恒有成立.若存在，求的范围，若不存在，请说明理由.13. 在实数集r上定义运算： （）求f(x)的解析式； （）若f(x)在r上是减函数，求实数a的取值范围；（）若a=3，在f(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.热点二 函数【