概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答....pdf

第五章第五章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识 5 1 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 习题习题 1 已知总体X服从 0 上的均匀分布 未 知 X1 X2 Xn为X的样本 则 A 1n i 1nXi 2是一个统计 量 B 1n i 1nXi E X 是一个统计量 C X1 X2是一个统计量 D 1n i 1nXi2 D X 是一个统计量 解答 解答 应选 C 由统计量的定义 样本的任一不含总体分布未知参数的函 数称为该样本的统计量 A B D 中均含未知参数 习题习题 2 观察一个连续型随机变量 抽到 100 株 豫农一号 玉米的 穗位 单位 cm 得到如下表中所列的数据 按区间 70 80 80 90 150 160 将 100 个数据分成 9 个组 列出分组数据计表 包括频率和累积频率 并画出频率累 积的直方图 解答 解答 分组数据统计表 组 序 号 1 2 3 4 5 组 限 组 中 值 组 频 率 组 频 率 累 计 频 率 70 80753 33 80 908599 12 90 10095131 325 100 110105161 661 110 120115262 667 组 序 号 6 7 8 9 组 限 组 中 值 组 频 率 组 频 率 累 计 频 率 120 1301252020 87 130 14013577 94 140 15014544 98 150 160155221 00 频率直方图见图 a 累积频率直方图见图 b 习题习题 3 测得 20 个毛坯重量 单位 g 列成如下简表 毛坯重量 185187192195200202205206 频数 11111211 毛坯重量 207208210214215216218227 频数 21112121 将其按区间 183 5 192 5 219 5 228 5 组 列出分组 统计表 并画出频率直方图 解答 解答 分组统计表见表 组 序号 12345 组 限 组 中值 组 频数 组频 率 183 5 192 5192 5 201 5201 5 210 5210 5 219 5219 5 228 518819720621522432861151040305 频率直方图见下图 习题习题 4 某地区抽样调查 200 个居民户的月人均收入 得如下统计 资料 月人均收入 百元 5 66 77 88 99 1010 1111 12 合计 户数 18357624191414 200 求样本容量n 样本均值X 样本方差S2 解答 解答 对于抽到的每个居民户调查均收入 可见n 200 这里 没有给出原始数据 而是给出了整理过的资料 频率分 布 我们首先计算各组的 组中值 然后计算X 和S2 的近似值 月人均收入 百元 5 66 77 88 99 1010 1111 12 合计 组中值ak 5 56 57 58 59 510 511 5 户数fk 18357624191414 200 X 1n kakfk 1200 5 5 18 11 5 14 7 945 S2 1n 1 k ak X 2fk 1n 1 kak2fk X 2 1199 5 52 18 11 52 14 7 9452 66 0402 63 123025 2 917175 习题习题 5 设总体X服从二项分布B 10 3100 X1 X2 Xn为来自 总体的简单随机样本 X 1n i 1nXi与Sn2 1n i 1n Xi X 2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩 试求 E X E S2 解答 解答 由X B 10 3100 得 E X 10 3100 310 D X 10 3100 97100 291100 0 所以 E X E X 310 E S2 n 1nD X 291 n 1 1000n 习题习题 6 设某商店 100 天销售电视机的情况有如下统计资料 日售出台数k 2 3 4 5 6 合计 天数fk 20 30 10 25 15 100 求样本容量n 经验分布函数Fn x 解答 解答 1 样本容量n 100 2 经验分布函数 Fn x 0 x 20 20 2 x 30 50 3 x 40 60 4 x 50 85 5 xx 1 P X1 x X2 x Xn x 1 P X1 x P X2 x P Xn x 1 1 P X1 x 1 P X2 x 1 P Xn x 1 1 F x n F 1 x f1 x n 1 F x n 1f x 习题习题 8 设总体X服从指数分布e X1 X2是容量为2的样本 求X 1 X 2 的概率密度 解答 解答 f x e x x 00 其它 F x 1 e x x 00 x 0 X 2 的概率密度为 f 2 x 2F x f x 2 e x 1 e x x 00 其它 又X 1 的概率密度为 f 1 x 2 1 F x f x 2 e 2 x x 00 其它 习题习题 9 设电子元件的寿命时间X 单位 h 服从参数 0 0015 的指数分布 今独立测试n 6元件 记录它们的失效时 间 求 1 没有元件在 800h之前失效的概率 2 没有元件最后超过 3000h的概率 解答 解答 1 总体X的概率密度f x 0 0015 e 0 0015x x 00 其它 分布函数F x 1 e 0 0015x x 00 其它 没有元件在 800h前失效 最小顺序统计量 X 1 800 有 P X 1 800 P X 800 6 1 F 800 6 exp 0 0015 800 6 exp 7 2 0 000747 2 没有元件最后超过3000h 最大顺序统计量 X 6 3000 P X 6 3000 P X 3000 6 F 3000 6 1 exp 0 0015 3000 6 1 exp 4 5 6 0 93517 习题习题 10 设总体X任意 期望为 方差为 2 若至少要以95 的 概率保证 X 0 1 问样本容量n应取多大 解答 解答 因当n很大时 X N 2n 于是 P X 0 1 P 0 1 X 0 1 0 1 n 0 1 n 2 0 1n 1 0 95 则 0 1n 0 975 查表得 1 96 0 975 因 x 非 减 故0 1n 1 96 n 384 16 故样本容量至少取385才 能满足要求 5 2 常用统计分布常用统计分布 习题习题 1 对于给定的正数a 0 aF1 a n1 n2 P 1F1F1 a n1 n2 由于1F F n2 n1 所以 P 1F 1F1 a n1 n2 P 1F Fa n2 n1 a 即F1 a n1 n2 1Fa n2 n1 故 D 也是对的 习题习题 2 1 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问 下列各统计量服从什么分布 1 X1 X2X32 X42 解答 解答 因为Xi N 0 1 i 1 2 n 所以 X1 X2 N 0 2 X1 X22 N 0 1 X32 X42 2 2 故X1 X2X32 X42 X1 X2 2X32 X422 t 2 习题习题 2 2 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问 下列各统计量服从什么分布 2 n 1X1X22 X32 Xn2 解答 解答 因为Xi N 0 1 i 2nXi2 2 n 1 所以 n 1X1X22 X32 Xn2 X1 i 2nXi2 n 1 t n 1 习题习题 2 3 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问 下列各统计量服从什么分布 3 n3 1 i 13Xi2 i 4nXi2 解答 解答 因为 i 13Xi2 2 3 i 4nXi2 2 n 3 所以 n3 1 i 13Xi2 i 4nXi2 i 13Xi2 3 i 4nXi2 n 3 F 3 n 3 习题习题 3 设X1 X2 X3 X4是取自正态总体X N 0 22 的简单随 机样本 且 Y a X1 2X2 2 b 3X3 4X4 2 则a b 时 统计量Y服从 2分布 其自由度是多少 解答 解答 解法一 Y a X1 2X2 2 b 3X3 4X4 2 令Y1 a X1 2X2 Y2 b 3X3 4X4 则 Y Y12 Y22 为使Y 2 2 必有Y1 N 0 1 Y2 N 0 1 因而 E Y1 0 D Y1 1 E Y2 0 D Y2 1 注意到D X1 D X2 D X3 D X4 4 由 D Y1 D a X1 2X2 aD X1 X2 a D X1 22D X2 a 4 4 4 20a 1 D Y2 D b 3X3 4X4 bD 3X3 4X4 b 9D X3 16D X4 b 4 9 16 4 100b 1 分别得a 120 b 1100 这时Y 2 2 自由度为n 2 解法二 因Xi N 0 22 且相互独立 知 X1 2X2 X1 2 X2 N 0 20 3X3 4X4 3X3 4 X4 N 0 100 故X1 2X220 N 0 1 3X3 4X4100 N 0 1 为使 Y X1 2X21 a 2 3X3 4X41 b 2 2 2 必有X1 2X21 a N 0 1 3X3 4X41 b N 0 1 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a 20 1b 100 即a 120 b 1100 习题习题 4 设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布 N 0 32 X1 X2 X9和Y1 Y2 Y9是分别取自总体 X和Y的简单随机样本 试证统计量 T X1 X2 X9Y12 Y22 Y92 服从自由度为9的t分布 解答 解答 首先将Xi Yi分别除以3 使之化为标准正态 令X i Xi3 Y i Yi3 i 1 2 9 则 X i N 0 1 Y i N 0 1 再令X X 1 X 2 X 9 则X N 0 9 X 3 N 0 1 Y 2 Y 12 Y 22 Y 92 Y 2 2 9 因此 T X1 X2 X9Y12 Y22 Y92 X1 X2 X9 Y 12 Y 22 Y 92 X Y 2 X 3Y 2 9 t 9 注意到X Y 2相互独立 习题习题 5 设总体X N 0 4 而X1 X2 X15为取自该总体的样 本 问随机变量 Y X12 X22 X1022 X112 X122 X152 服从什么分布 参数为多少 解答 解答 因为Xi2 N 0 1 故Xi24 2 1 i 1 2 15 而X1 X2 X15独立 故 X12 X22 X1024 2 10 X112 X122 X1524 2 5 所以 X12 X22 X1024 10X112 X122 X1524 5 X 12 X22 X1022 X112 X122 X152 Y 习题习题 6 证明 若随机变量X服从F n1 n2 的分布 则 1 Y 1X服从F n2 n1 分布 2 并由此证明 F1 n1 n2 1F n2 n1 解答 解答 1 因随机变量X服从F n1 n2 故可设 X U n1V n2 其中U服从 2 n1 V服从 2 n2 且U 与V相互独立 设1X V n2U n1 由F分布之定义知 Y 1x V n2U n1 服从F n2 n1 2 由上侧 分位数和定义知 P X F1 n1 n2 1 P 1X 1F1 n1 n2 1 即 P Y 1F1 n1 n2 1 1 P Y 1F1 n1 n2 1 故 P Y 1F1 n1 n2 而P Y F n2 n1 又Y为连续型随机变量 故P Y 1F1 n1 n2 从而 F n2 n1 1F1 n1 n2 即F1 n1 n2 1F n2 n1 习题习题 7 查表求标准正态分布的上侧分位数 u0 4 u0 2 u0 1与 u0 05 解答 解答 u0 4 0 253 u0 2 0 8416 u0 1 1 28 u0 05 1 65 习题习题 8 查表求 2分布的上侧分位数 0 952 5 0 052 5 0 992 10 与 0 012 10 解答 解答 1 145 11 071 2 558 23 209 习题习题 9 查表求F分布的上侧分位数 F0 95 4 6 F0 975 3 7 与 F0 99 5 5 解答 解答 0 1623 0 0684 0 0912 习题习题 10 查表求t分布的下侧分位数 t0 05 3 t0 01 5 t0 10 7 与t0 005 10 解答 解答 2 353 3 365 1 415 3 169 5 3 抽样分布抽样分布 习题习题 1 已知离散型均匀总体X 其分布律为 X 246 pi 1 31 31 3 取大小为n 54的样本 求 1 样本平均数X 落于4 1到4 4之间的概率 2 样本均值X 超过4 5的概率 解答 解答 E X 13 2 4 6 4 2 E X2 E X 2 13 22 42 66 42 83 所以 X 4 X 2 2n 8 354 481 X 29 令Z X 42 9 则n充分大时 Z 近似 N 0 1 1 P 4 1 X 4 4 P 4 1 42 9 Z4 5 P Z 4 5 42 9 1 P Z 2 25 1 2 25 1 0 9878 0 0122 习题习题 2 设总体X服从正态分布N 10 32 X1 X2 X6是它的一 组样本 设 X 16 i 16Xi 1 写出X 所服从的分布 2 求X 11的概率 解答 解答 1 X N 10 326 即X N 10 32 2 P X 11 1 P X 11 1 11 1032 1 0 8165 1 0 82 0 2061 习题习题 3 设X1 X2 Xn是总体X的样本 X 1n i 1nXi 分 别按总体服从下列指定分布求E X D X 1 X服从0 1分布b 1 p 2 X服从二项分布 b m p 3 X服从泊松分布P 4 X服从均匀分布 U a b 5 X服从指数分布e 解答 解答 1 由题意 X的分布律为 P X k Pk 1 P 1 k k 0 1 E X p D X p 1 p 所以 E X E 1n i 1nXi 1n i 1nE Xi 1n np p D X D 1n i 1nXi 1n2 i 1nD X1 1n2 np 1 p 1np 1 p 2 由题意 X的分布律为 P X k CmkPk 1 p m k k 0 1 2 m 同 1 可得 E X mp D X 1nmp 1 p 3 由题意 X的分布律为 P X k kk e 0 k 0 1 2 E X D X 同 1 可得 E X D X 1n 4 由E X a b2 D X b a 212 同 1 可得 E X a b2 D X b a 212n 5 由E X 1 D X 1 2 同 1 可得 D X 1 D X 1n 2 习题习题 4 某厂生产的搅拌机平均寿命为 5 年 标准差为 1 年 假 设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布 求 1 容量为 9 的随机样本平均寿命落在 4 4 年和 5 2 年之 间的概率 2 容量为 9 的随机样本平均寿命小于 6 年的概率 解答 解答 1 由题意知X N 5 1n n 9 则标准化变量 Z X 51 9 X 51 3 N 0 1 而 P 4 4 X 5 2 P 4 4 51 3 X 51 3 5 2 51 3 P 1 8 Z 0 6 0 6 1 8 0 7257 0 0359 0 6898 2 P X 6 P X 51 3 6 51 3 P Z1 解答 解答 X N 0 1616 Y N 1 925 X Y N 1 1 925 即 X Y N 1 3425 标准化变量X Y 令Z X Y 34 5 N 0 1 所以 P X Y 1 1 P X Y 1 1 P 1 X Y 1 1 P 0 X Y 134 5 234 5 1 1 715 0 1 0 9569 0 5 0 5431 习题习题 6 假设总体X服从正态分布N 20 32 样本X1 X25来 自总体X 计算 P i 116Xi i 1725Xi 182 解答 解答 令Y1 i 116Xi Y2 i 1725Xi 由于X1 X25相 互独立同正态分布N 20 32 因此有Y1与Y2相互独 立 且Y1 N 320 122 Y2 N 180 92 Y1 Y2 N 140 152 P i 116Xi i 1725Xi 182 P Y1 Y2 182 P Y1 Y2 14015 2 8 2 8 0 997 习题习题 7 从一正态总体中抽取容量为n 16的样本 假定样本均值 与总体均值之差的绝对值大于 2 的概率为0 01 试求总体 的标准差 解答 解答 设总体X N 2 样本均值为X 则有 X n X 4 N 0 1 因为 P X 2 P X 4 8 2P Z 8 2 1 8 0 01 所以 8 0 995 查标准正态分布表 得8 2 575 从而 82 575 3 11 习题习题 8 设在总体N 2 中抽取一容量为16的样本 这里 2 均为未知 1 求P S2 2 2 041 其中S2为样本方差 2 求D S2 解答 解答 1 因为是正态总体 根据正态总体下的统计量分布可知 n 1 S2 2 2 n 1 这里n 16 于是 P S2 2 2 041 P 15S2 2 15 2 041 1 P 15S2 2 30 615 查 2分布表可得 1 0 01 0 99 2 因为 n 1 S2 2 2 n 1 又知 D n 1 S2 2 2 n 1 所以 D S2 4 n 1 2D n 1 S2 2 4 n 1 2 2 n 1 2n 1 4 215 4 因为n 16 习题习题 9 设总体X N 16 X1 X2 X10为取自该总体的样 本 已知P S2 a 0 1 求常数a 解答 解答 因为 n 1 S2 2 2 n 1 n 10 4 所以 P S2 a P 9S216 916a 0 1 查自由度为9的 2分布表得 916a 14 684 所以 a 26 105 习题习题 10 设X1 X2 Xn和Y1 Y2 Yn分别取自正态总体 X N 1 2 和Y N 2 2 且相互独立 问以下统计量服从什么分布 1 n 1 S12 S22 2 2 n X Y 2 2 2S12 S22 解答 解答 1 由 n 1 S12 2 2 n 1 n 1 S22 2 2 n 1 由 2 n 的可加性 n 1 S12 S22 2 2 n 1 2 X Y N 1 2 2 2n 标准化后 X Y 1 2 2n N 0 1 故有 X Y 1 2 22 2n 2 1 又由 n 1 S12 S22 2 2 2n 2 注意F分布定义 X Y 1 2 21n2 2 1 n 1 S12 S22 2 2 n 1 n X Y 1 2 2S1 习题习题 11 分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为 8 和 10 的两个样本 求第一个样本方差不小于第二个样本方差的 两倍的概率 解答 解答 用S12和S22分别表示两个样本方差 由定理知 F S12 12S22 22 S12 20S22 35 1 75S12S22 F 8 1 10 1 F 7 9 又设事件A S12 2S22 下面求P S12 2S22 因 P S12 2S22 P S12S22 2 P S12 20S22 35 2 35 20 P F 3 5 查F分布表得到自由度为n1 7 n2 9的F分布上 分布 点F n1 7 n2 9 有如下数值 F0 05 7 9 3 29 F0 025 7 9 4 20 因而F0 05 7 9 3 29 3 5 F0 025 7 9 4 20 即事件 A的概率介于0 025和0 05之间 故 0 025 P S12 2S22 0 05 总习题解答总习题解答 习题习题 1 设总体X服从泊松分布 一个容量为 10 的样本值为 1 2 4 3 3 4 5 6 4 8 计算样本均值 样本方差和经验分布 函数 解答 解答 样本的频率分布为x 4 s2 3 6 经验分布函数为 F10 x 0 x 11 10 1 x 22 10 2 x 34 10 3 x 47 1 0 4 x 58 10 5 x 69 10 6 x00 x 0 未知 样本X1 X2 Xn是n件某种电器的使用寿命 抽到的n 件电器的使用寿命是样本的一组观察值 样本 X1 X2 Xn相互独立 来自同一总体X 所以样本的联 合密度为 f x1 x2 xn ne x1 x2 xn x1 x2 xn 00 其它 习题习题 3 设总体 X 在区间 a b 上服从均匀分布 求 1 来自 X 的简单随机样本 X1 X2 Xn 的密度 f x1 x2 xn 2 Y max X1 X2 Xn 的密度 fY x Z min X1 X2 Xn 的密度 fZ x 解答 解答 1 X的密度为f x 1b a x a b 0 其它 由于X1 X2 Xn 独立且与 X 同分布 所以有 f x1 x2 xn i 1nf xi 1 b a n a x1 xn b0 其 它 2 由题设 X 在 a b 上服从均匀分布 其分布函数为 F x 0 xb 由 Y max X1 X2 Xn 及 Z min X1 X2 Xn 分布函数 的定义 FY x F x n FZ x 1 1 F x n 于是有 fY x nFn 1 x f x n x a n 1 b a n x a b fZ x n 1 Fn 1 x n 1 f x n b x n 1 b a n x a b 习题习题 4 在天平上重复称一重量为a的物品 假设各次称量的结果 相互独立 且服从正态分布N a 0 2 若以X 表示n次 称量结果的算术平均值 求使P X a 0 1 0 95 成立的称量次数n的最小值 解答 解答 因为X 1n i 1nXi N a 0 2 2n 所以 X a0 2 n N 0 1 故 P X a 0 1 P X a0 2 n 0 3 解答 解答 因为X1 X2 X10和Y1 Y2 Y15独立同分布 所以 X N 20 310 Y N 20 0 2 于是X Y N 0 0 5 P X Y 0 3 P X Y 0 5 0 3 0 5 1 P X Y 0 5 0 3 0 5 2 1 0 3 0 5 2 1 0 6628 0 6744 查正态分布表 习题习题 6 设总体X N 2 假如要以0 9606的概率保证偏差 X 0 1 试问 当 2 0 25时 样本容量n应取 多大 解答 解答 P X 0 1 0 9606 即 P X 0 1 P X 0 25 n 0 10 25 n 2 0 1n0 25 1 0 9606 0 1n0 25 0 9803 n5 2 06 n 106 P X 0 1 0 9606 即 P X 0 1 P X 0 25 n P X1 X2 2 n n2 2 n2 2 1 n2 0 975 查正态分布表n2 1 96 所以 n 7 68 即取n 8 习题习题 8 设总体X f x x x 0 02 解答 解答 E X 11x x dx 0 2 D X E X2 E X 2 E X2 11x2 x dx 12 1 X 1n i 1nXi n 50 E X E 1n i 1nXi 1n i 1nE Xi 0 D X 2n 12n 1100 2 E S2 1n 1 i 1n Xi X 2 1n 1E i 1n Xi X 2 1n 1E i 1nXi2 nX 2 1n 1 i 1nD X1 n D X 1n 1 n 12 n 12n 12 3 P X 0 02 1 P X 0 02 1 P X D X 0 02 D X 1 P X1 10 0 2 2 1 0 2 0 8414 习题习题 9 从一正态总体中抽取容量为10的样本 设样本均值与总 体均值之差的绝对值在4以上的概率为0 02 求总体的标 准差 解答 解答 由于X N 2n 故有 0 02 P X 4 P X n 4 n 2 1 4 n 2 1 12 65 12 65 0 99 即有12 65 u0 01 2 33 解得 5 43 习题习题 10 设X1 Xn是取自总体X的样本 X S2分别为样本均 值与样本方差 假定 E X 2 D X 均存在 试求 E X D X E S2 解答 解答 E X 1n i 1nE Xi 1n i 1nE X D X 1n2 i 1nD Xi 1n2 i 1nD X 2n E S2 E 1n 1 i 1nXi2 nX 2 1n 1 i 1nE Xi2 nE X 2 1n 1 i 1nE X2 nE X 2 1n 1 i 1n 2 2 n 2 2n 2 注 本题证明了对于任何存在均值 与方差 2的总体分 布 均有 E X E S2 2 习题习题 11 设总体X服从正态分布N 2 0 从总体中抽取简 单随机样本X1 X2n n 2 其样本均值为 X 12n i 12nXi 求统计量 Y i 1n Xi Xn i 2X 2的数学期望 解答 解答 注意到Xi Xn i相互独立 同分布N 2 2 2 则它们 可认为是取自同一正态总体N 2 2 2 的样本 其样本均 值为 1n i 1n Xi Xn i 1n i 12nXi 2X 如果记Zi Xi Xn i i 1 n 即Zi i 1 n 是取自 N 2 2 2 的样本 且 Yn 1 1n 1 i 1n Xi Xn i 2X 2 S2 Z 则有E S2 Z 1n 1E Y 2 2 所以E Y 2 n 1 2 习题习题 12 设有k个正态总体Xi N i 2 从第i个总体中抽取容 量为ni的样本Xi1 Xi2 Xini 且各组样本间相互独立 记 Xi 1n j 1niXij i 1 2 k n n1 n2 nk 求W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2的分布 解答 解答 因为 j 1ni Xij Xi 2 2 ni 1 Si2 2 2 ni 1 且 ni 1 Si2 2 i 1 2 k 相互独立 故 W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2 i 1k ni 1 Si2 2 2 i 1k ni 1 而 i 1k ni 1 i 1kni k n k 故 W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2 2 n k 习题习题 13 已知X t n 求证X2 F 1 n 解答 解答 设X U Yn 其中U N 0 1 Y 2 n 且U与Y相互 独立 于是 U2 2 1 且U2与Y也相互独立 所以 X2 U2 Yn 根据F变量的构成模式知 X2应服从F 1 n 分布 习题习题 14 设X1 X2 X9是取自正态总体X N 2 的样本 且 Y1 16 X1 X2 X6 Y2 13 X7 X8 X9 S2 12 i 79 Xi Y2 2 求证Z 2 Y1 Y2 S t 2 解答 解答 易知 Y1 16 X1 X2 X6 N 26 Y2 13 X7 X8 X9 N 23 且Y1与Y2独立 故Y1 Y2 N 0 22 又 2S2 2 i 79 Xi Y2 2 2 2 2 Y1 Y2与2S2 2 独立 从而 Y1 Y2 22S2 2 2 2 Y1 Y2 S Z t 2 习题习题 15 设X1 Xn Xn 1是取自正态总体X N 2 的样本 Xn 1n i 1nXi Sn 1n 1 i 1n Xi Xn 2 试确定统计量nn 1 Xn 1 Xn Sn的分布 解答 解答 将统计量改写成下列形式 nn 1 Xn 1 Xn Sn Xn 1 Xn 1 1n n 1 Sn2 2 n 1 由于Xn 1与Xi i 1 n 相互独立 Xn 1n i 1nXi N 2n Xn 1 N 2 所以Xn 1 Xn N 0 1 1n 2 从而 Xn 1 Xn 1 1n N 0 1 注意到Xn 与Sn2相互独立 Xn 1也与Sn2相互独立 且 n 1 Sn2 2 2 n 1 故由 式即得 nn 1 Xn 1 Xn Sn t n 1 习题习题 16 假设X1 X2 X9是来自总体X N 0 22 的简单随机样 本 求系数a b c 使 Q a X1 X2 2 b X3 X4 X5 2 c X6 X7 X8 X9 2 服从 2分布 并求其自由度 解答 解答 由于X1 X2 X9相互独立且取自总体X N 0 22 由 正态分布