浙江省宁波市象山中学高二数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省宁波市象山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（） a b c d 2若点p到直线y=1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点p的轨迹方程为 （） a x2=12y b y2=12x c x2=4y d x2=6y3短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f1作直线交椭圆于a，b两点，则abf2的周长为（） a 24 b 12 c 6 d 34已知椭圆的左焦点是f1，右焦点是f2，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点在y轴上，那么|pf1|：|pf2|=（） a 5：3 b 3：5 c 3：8 d 5：85若直线l过点p（1，1）与双曲线x2=1只有一个公共点，则这样的直线有（） a 4条 b 3条 c 2条 d 1条6斜率为2的直线l过双曲线c：=1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（） a 2，+） b （1，） c d （，+）7设点p是椭圆上一点，f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，i为pf1f2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（） a b c d 8已知空间四边形oabc，其对角线ob、ac，m、n分别是边oa、cb的中点，点g在线段mn上，且使mg=2gn，用向量，表示向量 是（） a b c d 9若点o和点f分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最小值为（） a 2 b c 2+ d 110已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则|qf|=（） a b 3 c d 2二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11已知向量，且，则实数k的值为12若双曲线=1（b0）的渐近线方程式为y=，则b等于13在abc中，a=90，tanb=若以a、b为焦点的椭圆经过点c，则该椭圆的离心率e=14p点在椭圆+=1上运动，q，r分别在两圆（x+1）2+y2=1和（x1）2+y2=1上运动，则|pq|+|pr|的最大值为15设p是双曲线x2=1的右支上的动点，f为双曲线的右焦点，已知a（3，1），则|pa|+|pf|的最小值为16已知椭圆c：+y2=1的两焦点为f1，f2，点p（x0，y0）满足0+y021，则|pf1|+|pf2|的取值范围为17已知抛物线x2=2py（p0）的焦点为f，过f作倾斜角为30的直线，与抛物线交于a，b两点，若（0，1），则=三、解答题（共72分）18三棱柱abca1b1c1中，m、n分别是a1b、b1c1上的点，且bm=2a1m，c1n=2b1n设，（）试用表示向量；（）若bac=90，baa1=caa1=60，ab=ac=aa1=1，求mn的长19已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于p、q两点，且|pq|等于椭圆的短轴长，求m的值20已知动圆过定点，且与直线相切，其中p0（）求动圆圆心的轨迹c的方程；（）设a、b是轨迹c上异于原点o的两个不同点，直线oa和ob的倾斜角分别为和，当、变化且时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标21已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4（）求椭圆c的方程；（）设直线l：x=ky+m与椭圆c交手a、b两点，若以ab为直径的圆经过椭圆的右顶点d，求abd面积的最大值22已知椭圆c：的右顶点a（2，0），离心率为，o为坐标原点（）求椭圆c的方程；（）已知p（异于点a）为椭圆c上一个动点，过o作线段ap的垂线l交椭圆c于点e，d，求的取值范围2014-2015学年浙江省宁波市象山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（） a b c d 考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率解答： 解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=故选b点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质特别是椭圆定义的应用2若点p到直线y=1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点p的轨迹方程为 （） a x2=12y b y2=12x c x2=4y d x2=6y考点： 抛物线的定义专题： 计算题分析： 由题意得，点p到直线y=3的距离和它到点（0，3）的距离相等，故点p的轨迹是以点（0，3）为焦点，以直线y=3为准线的抛物线，p=6，写出抛物线的方程解答： 解：点p到直线y=1的距离比它到点（0，3）的距离小2，点p到直线y=3的距离和它到点（0，3）的距离相等，故点p的轨迹是以点（0，3）为焦点，以直线y=3为准线的抛物线，即p=6，则点p的轨迹方程为 x2=12y，故选a点评： 本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点p的轨迹是以点（0，3）为焦点，以直线y=3为准线的抛物线，是解题的关键3短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f1作直线交椭圆于a，b两点，则abf2的周长为（） a 24 b 12 c 6 d 3考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 由短轴长为，离心率为，可求得，所以可求abf2的周长解答： 解：由题意，从而得，故选c点评： 本题主要考查椭圆几何量之间的关系，利用了椭圆的定义，属于基础题4已知椭圆的左焦点是f1，右焦点是f2，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点在y轴上，那么|pf1|：|pf2|=（） a 5：3 b 3：5 c 3：8 d 5：8考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题分析： 先求椭圆的焦点坐标，再根据点p在椭圆上，线段pf1的中点在y轴上，求得点p的坐标，进而计算|pf1|，|pf2|，即可求得|pf1|：|pf2|的值解答： 解：椭圆的左焦点是f1，右焦点是f2，f1为（2，0），f2为（2，0），设p的坐标为（x，y），线段pf1的中点为（），因为段pf1的中点在y轴上，所以，x=2 y=3或3，任取一个p为（2，3），|pf1|=，|pf2|=|pf1|：|pf2|=5：3故选a点评： 本题重点考查椭圆的几何性质，考查距离公式的运用，属于基础题5若直线l过点p（1，1）与双曲线x2=1只有一个公共点，则这样的直线有（） a 4条 b 3条 c 2条 d 1条考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 双曲线x2=1的渐近线方程为：y=2x，结合双曲线的性质与图形可得过点（1，1）与双曲线公有一个公共点的直线的条数解答： 解：由题意可得：双曲线x2=1的渐近线方程为：y=2x，直线x=1与双曲线只有一个公共点；过点p （1，1）平行于渐近线y=2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，方程为y1=2（x1），即2xy1=0或2x+y3=0故直线l过点p（1，1）与双曲线x2=1只有一个公共点，则这样的直线有3条故选：b点评： 本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题突出考查了双曲线的几何性质6斜率为2的直线l过双曲线c：=1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（） a 2，+） b （1，） c d （，+）考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围解答： 解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线c：=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b2a，因此该双曲线的离心率e=故选d点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题7设点p是椭圆上一点，f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，i为pf1f2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（） a b c d 考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；压轴题分析： 先利用三角形内心的性质，将已知面积关系转化为焦点三角形pf1f2的边长间的关系，再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义，即可算得该椭圆的离心率解答： 解：设pf1f2的内切圆半径为r，则由+=2，得pf1r+pf2r=2f1f2r即pf1+pf2=2f1f2即2a=22c椭圆的离心率e=故选 a点评： 本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属基础题8已知空间四边形oabc，其对角线ob、ac，m、n分别是边oa、cb的中点，点g在线段mn上，且使mg=2gn，用向量，表示向量 是（） a b c d 考点： 空间向量的基本定理及其意义专题： 计算题分析： 根据所给的图形和一组基底，从起点o出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论解答： 解：=故选c点评： 本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程9若点o和点f分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最小值为（） a 2 b c 2+ d 1考点： 椭圆的简单性质专题： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设p（x，y），根据点的坐标求出=，所以求关于x的二次函数的最小值即可解答： 解：设p（x，y），f（1，0），=（x，y），=（x1，y）；=；的最小值为故选：b点评： 考查向量的坐标，椭圆的焦点，椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，二次函数的最值求法10已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若=4，则|qf|=（） a b 3 c d 2考点： 抛物线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求得直线pf的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|qf|=d可求解答： 解：设q到l的距离为d，则|qf|=d，=4，|pq|=3d，不妨设直线pf的斜率为2，f（2，0），直线pf的方程为y=2（x2），与y2=8x联立可得x=1，|qf|=d=1+2=3，故选：b点评： 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11已知向量，且，则实数k的值为考点： 向量的数量积判断向量的共线与垂直专题： 空间向量及应用分析： 由向量的线性运算可得和的坐标，由平行可得关于k的方程，解方程可得解答： 解：=（k+1，2k+2，k+2），=（1，2，3）又，=，解得k=故答案为：点评： 本题考查空间向量的平行的判定，涉及向量的线性运算，属基础题12若双曲线=1（b0）的渐近线方程式为y=，则b等于1考点： 双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法专题： 计算题分析：根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b解答： 解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=，又双曲线的渐近线方程式为y=，解得b=1故答案为1点评： 本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题13在abc中，a=90，tanb=若以a、b为焦点的椭圆经过点c，则该椭圆的离心率e=考点： 椭圆的定义专题： 计算题；压轴题分析： 令ab=4，椭圆的c可得，ac=3，bc=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得解答： 解：令ab=4，则ac=3，bc=5则2c=4，c=2，2a=3+5=8a=4，e=故答案为点评： 本题主要考查了椭圆的定义要熟练掌握椭圆的第一和第二定义14p点在椭圆+=1上运动，q，r分别在两圆（x+1）2+y2=1和（x1）2+y2=1上运动，则|pq|+|pr|的最大值为6考点： 圆与圆锥曲线的综合专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定椭圆焦点f1（1，0），f2（1，0）恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x1）2+y2=1的圆心，利用椭圆的定义，即可得出结论解答： 解：椭圆+=1中，c2=43=1，椭圆+=1两焦点f1（1，0），f2（1，0）恰为两圆（x+1）2+y2=1和（x1）2+y2=1的圆心，准线x=4，过p点作x轴平行线，分别交两准线于a，b两点，连接pf1，pf2，并延长，分别交两圆于q，r，则|pq|+|pr|pq|+|pr|=|pf1|+1+|pf2|+1=e|pa|+e|pb|+2=e|ab|+2=6故答案为：6点评： 本题考查椭圆和圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15设p是双曲线x2=1的右支上的动点，f为双曲线的右焦点，已知a（3，1），则|pa|+|pf|的最小值为2考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设双曲线左焦点为f2，根据双曲线的定义可知|pa|+|pf|=|pf2|2a+|pa|，进而可知当p、f2、a三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求f2的坐标，此时|pf2|+|pa|=|af2|，利用两点间的距离公式求得答案解答： 解：设双曲线左焦点为f2，由双曲线的定义可得|pf2|pf|=2a，即|pf|=|pf2|2a，则|pa|+|pf|=|pf2|+|pa|2a|f2a|2a，当p、f2、a三点共线时，|pf2|+|pa|有最小值，此时f2（2，0）、a（3，1），则|pf2|+|pa|=|af2|=，而对于这个双曲线，2a=2，所以最小值为2故答案为：2点评： 本题主要考查了双曲线的定义，考查了两点的距离公式，运用两点间线段最短是解题的关键16已知椭圆c：+y2=1的两焦点为f1，f2，点p（x0，y0）满足0+y021，则|pf1|+|pf2|的取值范围为2，2）考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；证明题分析： 先根据椭圆的定义得到|pf1|+|pf2|=2a，然后根据点p（x0，y0）满足0+y021，得出点p在椭圆内部，最后根据点p在椭圆上时|pf1|+|pf2|最大，可确定答案解答： 解：由题意可知|pf1|+|pf2|=2a点p（x0，y0）满足0+y021，得出点p在椭圆内部，且与原点不重合，当点p在椭圆上时|pf1|+|pf2|最大，最大值为2a=2，而点p在椭圆内部，|pf1|+|pf2|2当点p在线段f1f2上除原点时，|pf1|+|pf2|最小，最小值为2，|pf1|+|pf2|2则pf1+pf2的取值范围为2，2）故答案为2，2）点评： 本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单性质，解答的关键是在区域的边界上利用椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a定义法是解决此类的常用方法17已知抛物线x2=2py（p0）的焦点为f，过f作倾斜角为30的直线，与抛物线交于a，b两点，若（0，1），则=考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出a，b两点的纵坐标，利用抛物线的定义 =，求出的值解答： 解：设直线l的方程为：x=（y），再设a（x1，y1），b（x2，y2），12y220py+3p2=0，解得y1=，y2=，=故答案为：点评： 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义，=是解题的关键三、解答题（共72分）18三棱柱abca1b1c1中，m、n分别是a1b、b1c1上的点，且bm=2a1m，c1n=2b1n设，（）试用表示向量；（）若bac=90，baa1=caa1=60，ab=ac=aa1=1，求mn的长考点： 空间向量的夹角与距离求解公式专题： 计算题；数形结合；转化思想；数形结合法分析： （）由图形知=再用表示出来即可（）求mn的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得mn的长解答： 解：（）由图形知=（）由题设条件=，点评： 本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用理解并记忆熟练公式是解题的知识保证19已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于p、q两点，且|pq|等于椭圆的短轴长，求m的值考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程x2+4y2=4联立，得到5x2+2mx+m21=0，利用=0，即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点ab之间的距离，列出|ab|=2，从而可求得m的值解答： 解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m24=0，=（8m）245（4m24）=16m2+80=0解得：m=（2）设该直线与椭圆相交于两点a（x1，y1），b（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+8mx+4m24=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，|ab|=2；m=点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题20已知动圆过定点，且与直线相切，其中p0（）求动圆圆心的轨迹c的方程；（）设a、b是轨迹c上异于原点o的两个不同点，直线oa和ob的倾斜角分别为和，当、变化且时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义专题： 综合题分析： （）设动圆圆心为m（x，y），则，由此能导出所求动圆圆心的轨迹c的方程（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），设直线ab的方程为y=kx+b，把y=kx+b代入y2=2px：得ky22py+2pb=0，由韦达定理知，由得：，由此能求出直线ab恒过定点（2p，2p）解答： 解：（）设动圆圆心为m（x，y）（1分）则，化简，得：y2=2px（p0）（3分）所求动圆圆心的轨迹c的方程是：y2=2px（p0）（4分）（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），由题意得x1x2（否则+=），且x10，x20，所以直线ab的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然即，（6分）把y=kx+b代入y2=2px：得ky22py+2pb=0，由韦达定理知，（8分）由得：把代入上式，整理化简，得：1=，b=2p+2pk，（11分）此时，直线ab的方程可表示为：y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）（y2p）=0（13分）直线ab恒过定点（2p，2p）（14分）点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化21已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4（）求椭圆c的方程；（）设直线l：x=ky+m与椭圆c交手a、b两点，若以ab为直径的圆经过椭圆的右顶点d，求abd面积的最大值考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （i）根据椭圆的定义方程，得出=，2a，求解即可得出方程（ii）不妨设ab的方程为x=ky+m，与椭圆方程联立，根据以ab为直径的圆过点d，可得 =0，从而可求m的值，进而可表示三角形的面积，换元，即可求得abc面积的最大值解答： 解：（i）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，=，2a，a=3，c=2，b=1，即椭圆c的方程为=1，（ii）不妨设ab的方程为x=ky+m