浙江省宁波市五校联考高考数学适应性试卷 理（含解析）.doc

浙江省宁波市五校联考2015届高考数学适应性试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知命题“p：x0，lnxx”，则p为（）ax0，lnxxbx0，lnxxcx0，lnxxdx0，lnxx2（5分）已知互不相等的正数a，b，c，d，p，q满足a，c，b，d成等差数列，a，p，b，q成等比数列，则（）acp，dqbcp，dqccp，dqdcp，dq3（5分）已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，fn+1（x）=，则函数f2015（x）是（）a奇函数但不是偶函数b偶函数但不是奇函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数又不是偶函数5（5分）已知不存在整数x使不等式（axa24）（x4）0成立，则实数a的取值范围为（）a（0，+）b（0，2c1，2d1，46（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体的外接球的体积为（）acm3b36cm3ccm3d9cm37（5分）已知过双曲线c：=1（a0，b0）的中心的直线交双曲线于点a， b，在双曲线c上任取与点a，b不重合的点p，记直线pa，pb，ab的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2k恒成立，则离心率e的取值范围为（）a1eb1ecede8（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）a1，5b2，6c3，10d3，11二、填空题（本大题共7小题，912小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9（6分）已知直线l1：ax+2y1=0，直线l2：x+by3=0，且l1的倾斜角为，则a=；若l1l2，则b=；若l1l2，则两直线间的距离为10（6分）太阳光的入射角（光线与地面所成的角）为，要使长为m的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为，其最大影长为11（6分）已知为第二象限角，且=，则tan（+）=，sin（+）=12（6分）设函数f（x）=，则f（f（2）=，函数y=f（f（x）的零点个数为13（4分）已知实数x，y满足logax+2logxa+logxy=4，其中常数a1，当y取最大值2时，对应的x的值为14（4分）已知抛物线y2=4x过焦点f的弦ab，过弦ab的中点作准线l的垂线，垂足为m，则的值为15（4分）已知函数f（x）=sinx，任取tr，记函数f（x）在区间t，t+1上的最大值为mt，最小值为mt，h（t）=mtmt，则函数h（t）的值域为三、解答题（共5小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（15分）abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos2a=3cos（b+c）+1（）求角a的大小；（）若cosbcosc=，且abc的面积为2，求a17（15分）如图，四边形abcd为平行四边形，ab=5，ad=4，bd=3，将bcd沿着bd翻折到平面bc1d处（不与平面abcd重合），e，f分别为对边ab，c1d的中点，（）求证：efbd；（）若异面直线ef，bc1所成的角为30，求二面角c1abd的平面角的正切值18（15分）如图，已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，右焦点为f，右顶点为a，p为直线x=a上的任意一点，且（+）=2（）求椭圆c的方程；（）若过点p所作椭圆c的切线l与坐标轴不平行，切点为q，且交y轴于点t，试确定x轴上是否存在定点m，使得sinotq=2|costqm|若存在，请求出点m的坐标；若不存在，说明理由19（15分）已知数列an满足a13+a23+an3=，nn*（）求数列an的通项公式；（）证明：对任意的nn*，都有+420（14分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，cr（）若任意的x1，1，f（x）0，f（2+x）0，试求实数c的取值范围；（）若对任意的x1，x21，1，有|f（x1）f（x2）|4，试求实数b的取值范围浙江省宁波市五校联考2015届高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知命题“p：x0，lnxx”，则p为（）ax0，lnxxbx0，lnxxcx0，lnxxdx0，lnxx考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：x0，lnxx”，则p为x0，lnxx故选：b点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）已知互不相等的正数a，b，c，d，p，q满足a，c，b，d成等差数列，a，p，b，q成等比数列，则（）acp，dqbcp，dqccp，dqdcp，dq考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：设公差为n，公比为m，且n0、m0、m1，由等差、等比数列的通项公式分别求出c、b、d、p、q，建立n、m的关系式，利用作差法比较出c和p的大小，化简dq后构造函数f（m），求出此函数的导数，判断出函数的单调性、求出最大值，即可判断出d和q大小关系解答：解：设公差为n，公比为m，且n0、m0、m1，则c=a+n、b=a+2n、d=a+3n，p=am、b=am2、q=am3，所以a+2n=am2，得n=，所以cp=a+nam=a+am=0，则cp0，即cp，dq=a+3nam3=a+am2=，设f（m）=2m3+3m21，则f（m）=6m2+6m，因为m0、m1，所以当0m1时，f（m）0，当m1时，f（m）0，所以函数f（m）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则f（m） 的最大值是f（1）=0，即f（m）f（1）=0，综上可得，dq0，则dq，故选：c点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式，导数与函数的单调性、最值的关系，以及作差法、构造函数法的综合应用，考查化简、变形能力3（5分）已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据题意，分两步来判断：分析当时，ab是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，分析当ab时，是否成立，举出反例可得其是假命题，综合可得答案解答：解：根据题意，分两步来判断：当时，a，且，a，又b，ab，则ab是的必要条件，若ab，不一定，当=a时，又由a，则ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，则ab是的必要不充分条件，故选b点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质4（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，fn+1（x）=，则函数f2015（x）是（）a奇函数但不是偶函数b偶函数但不是奇函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数又不是偶函数考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可解答：解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，f2（x）=f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函数，f3（x）=f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函数，则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数，故选：a点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键5（5分）已知不存在整数x使不等式（axa24）（x4）0成立，则实数a的取值范围为（）a（0，+）b（0，2c1，2d1，4考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：设原不等式的解集为a，然后分a大于0且不等于2，a等于2，小于0和等于0四种情况考虑，分别求得a的范围，再把a的范围取并集，即得所求解答：解：设原不等式的解集为a，当a=0时，则x4，不合题意当a0且a2时，原不等式化为x（ a+）（x4）0，a+4，a=（4，a+），要使不存在整数x使不等式（kxk24）（x4）0成立，须a+5，解得：1k4；当a=2时，a=，合题意，当a0时，原不等式化为x（ a+）（x4）0，a=（，a+）（4，+），不合题意，故选：d点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题6（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体的外接球的体积为（）acm3b36cm3ccm3d9cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1，求出外接球的半径，可得几何体的外接球的体积解答：解：该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1则其外接球的半径为r=2=所以外接球的体积是s=r3=（cm3）故选：a点评：本题考查几何体的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键7（5分）已知过双曲线c：=1（a0，b0）的中心的直线交双曲线于点a，b，在双曲线c上任取与点a，b不重合的点p，记直线pa，pb，ab的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2k恒成立，则离心率e的取值范围为（）a1eb1ecede考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设a（x1，y1），p（x2，y2），由双曲线的对称性得b（x1，y1），从而得到k1k2=，将a，p坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到解答：解：设a（x1，y1），p（x2，y2），由题意知点a，b为过原点的直线与双曲线=1的交点，由双曲线的对称性得a，b关于原点对称，b（x1，y1），k1k2=，点a，c都在双曲线上，=1，=1，两式相减，可得：=，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=x，则k趋近于，k1k2k恒成立，则，即有ba，即b2a2，即有c22a2，则e=故选d点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用8（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）a1，5b2，6c3，10d3，11考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过a（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过b（0，0）时l0最小，k也最小为3即可解答：解：根据约束条件画出可行域，设k=1+，整理得（k1）x2y+k3=0，由图得，k1设直线l0=（k1）x2y+k3，当直线l0过a（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过b（0，0）时l0最小，k也最小为3故选 d点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题二、填空题（本大题共7小题，912小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9（6分）已知直线l1：ax+2y1=0，直线l2：x+by3=0，且l1的倾斜角为，则a=2；若l1l2，则b=1；若l1l2，则两直线间的距离为考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：由条件根据两条直线平行的条件求出a的值，利用两条直线垂直的条件求出b的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得两直线间的距离解答：解：由题意可得l1的斜率为tan=1=，a=2，直线l1：2x+2y1=0若l1l2，则1（ ）=1，b=1若l1l2，则它们的斜率相等，即=1，b=1，故 l1：2x+2y1=0，直线l2：xy3=0，即 l1：2x+2y1=0，直线l2：2x+2y+6=0，两直线间的距离为 =，故答案为：2；1；点评：本题主要考查两条直线平行、垂直的条件，两条平行直线间的距离公式，属于基础题10（6分）太阳光的入射角（光线与地面所成的角）为，要使长为m的木棒在地面上的影子最长，则木棒与地面所成的角应为60，其最大影长为考点：解三角形 专题：计算题；解三角形分析：由最小角定理，即可得解解答：解：因为太阳光线与地面成角为一定值，要使一根长m的竹竿影子也及为面外一定长的斜线段的影子最长，由最小角定理，刚好是使该斜线与光线所成角互余时才会使影子最长，则木棒与地面所成的角应为60，最大影长为 故答案为：60，点评：本题考查最小角定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础11（6分）已知为第二象限角，且=，则tan（+）=3，sin（+）=考点：半角的三角函数；两角和与差的正切函数 专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin和cos的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（+）和cos（+）的值，利用半径公式求得 tan（+）的值再求的sin 和cos的值，可得sin（+）的值解答：解：a为第二象限角，且=，tan=，又 sin2+cos2=1，sin=，cos=，sin（+）=sincos+cossin=，cos（+）=coscossinsin=tan（+）=3sin=，cos=，sin（+）=sincos+cossin=故答案为：3；点评：本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题12（6分）设函数f（x）=，则f（f（2）=0，函数y=f（f（x）的零点个数为5考点：函数零点的判定定理；函数的值 专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用分析：由题意先求f（2）=22+2=2，再求f（f（2）=f（2）即可；解f（x）=0得x=2，x=0或x=1；故f（f（x）=0可化为f（x）=2，f（x）=0或f（x）=1；从而确定函数零点的个数解答：解：f（2）=22+2=2，f（f（2）=f（2）=|2+1|1=0；当x0时，由f（x）=|x+1|1=0解得，x=2；当x0时，由f（x）=x2+x=0解得，x=0或x=1；则f（f（x）=0可化为f（x）=2，f（x）=0或f（x）=1；由f（x）=2得，|x+1|1=2或x2+x=2，解得，x=2；由f（x）=0解得，x=2，x=0或x=1；由f（x）=1得，|x+1|1=1或x2+x=1；解得，x=3；综上所述，函数y=f（f（x）的零点个数为5；故答案为：0，5点评：本题考查了分段函数的应用，属于中档题13（ 4分）已知实数x，y满足logax+2logxa+logxy=4，其中常数a1，当y取最大值2时，对应的x的值为2考点：基本不等式；对数的运算性质 专题：不等式的解法及应用分析：设logax=t，由已知化为logay=（t2）2+22，可得2=a2，解得a，因此，解得x即可解答：解：设logax=t，logax+2logxa+logxy=4，其中常数a1，logay=（t2）2+22，当且仅当t=2时取等号ya2，2=a2，解得a=，解得x=2故答案为：2点评：本题考查了“换元法”、对数的换底公式、二次函数的单调性、考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（4分）已知抛物线y2=4x过焦点f的弦ab，过弦ab的中点作准线l的垂线，垂足为m，则的值为0考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分a、b所在直线与x轴垂直与不垂直两种情况讨论，利用向量数量积运算及韦达定理计算即得结论解答：解：由题可知：f（1，0），准线l：x=1当a、b所在直线与x轴垂直时，易知a（1，2），b（1，2），m（1，0），=（2，2）（2，2）=0；当a、b所在直线不与x轴垂直时，设其方程为：y=k（x1），联立，消去y可得：k2x2（4+2k2）x+k2=0，记a（x1，y1），b（x2，y2），由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=1，弦ab中点坐标为d（，），m（1，），=（x1+1，）（x2+1，y2）=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2（y1+y2）+=x1x2+（x1+x2）+1+k2（x11）（x21）k（x1+x22）+=（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+5+k2+=（1+k2）+（1k2）+5+k2+=（1+k2）+（1k2）（+2）+5+k2+=0；综上所述，=0，故答案为：0点评：本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题15（4分）已知函数f（x）=sinx，任取tr，记函数f（x）在区间t，t+1上的最大值为mt，最小值为mt，h（t）=mtmt，则函数h（t）的值域为1，考点：正弦函数的单调性；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：利用正弦函数的周期公式可得其周期t=4，区间t，t+1的长度为t，利用正弦函数的图象与性质，可求得函数h（t）=mtmt，的值域解答：解：f（x）=sinx，其周期t=4，区间t，t+1的长度为t，又f（x）在区间t，t+1上的最大值为mt，最小值为mt，由正弦函数的图象与性质可知，当x4k+，4k+时，h（t）=mtmt，取得最小值1；当x4k+，4k+时，h（t）=mtmt取得最大值（）=；函数h（t）的值域为1，故答案为：1，点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性与最值，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题三、解答题（共5小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16（15分）abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos2a=3cos（b+c）+1（）求角a的大小；（）若cosbcosc=，且abc的面积为2，求a考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（）根据余弦函数的倍角公式，进行化简即可求角a的大小；（）根据余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解即可解答：解：（）由cos2a=3cos（b+c）+1得，2cos2a+3cosa2=0，即（2cosa1）（cosa+2）=0，所以，cosa=或cosa=2（舍去），因为a为三角形内角，所以a=（）由（）知cosa=cos（b+c）=，则cosbcoscsinbsinc=；由cosbcosc=，得cosbcosc=，由正弦定理，有，即b=，c=，由三角形的面积公式，得s=，即=2，解得a=4点评：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键17（15分）如图，四边形abcd为平行四边形，ab=5，ad=4，bd=3，将bcd沿着bd翻折到平面bc1d处（不与平面abcd重合），e，f分别为对边ab，c1d的中点，（）求证：efbd；（）若异面直线ef，bc1所成的角为30，求二面角c1abd的平面角的正切值考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）连结cc1，并取cc1的中点m，连结fm，bm，证明bd平面bcc1，即可证明：efbd；（）取bc的中点n，过n作线段ab的垂线交ab的延长线于点h由（）知，异面直线ef，bc1所成的角为c1bm，故c1bm=30，证明c1hn为二面角c1abd的平面角，即可求二面角c1abd的平面角的正切值解答：（）证明：连结cc1，并取cc1的中点m，连结fm，bm因为f分别为c1d的中点，所以，fmdc且fm=dc；因为四边形abcd为平行四边形，所以，dcab，dc=ab；又e分别为ab的中点，所以，fmeb，fm=eb，即四边形fmde为平行四边形；（3分）所以，efmb因为ab=5，ad=4，bd=3，；所以，bdad，bdbc，bdbc1；所以，bd平面bcc1又因为bm平面bcc1，所以bdbm，bdef（6分）（）解：取bc的中点n，过n作线段ab的垂线交ab的延长线于点h由（）知，异面直线ef，bc1所成的角为c1bm，故c1bm=30；因为bc=bc1，m为cc1的中点，所以，c1bc=60，即c1bc为正三角形所以c1nbc（9分）又bd平面bcc1，所以，平面abcd平面bcc1；因为平面abcd平面bcc1=bc，所以c1n平面abcd，所以c1nab；所以，c1hn为二面角c1abd的平面角（12分）在rtc1nh中，c1n=bc=2，nh=nbsinnbh=bc=，所以，tanc1hn=，即二面角c1abd的平面角的正切值为（15分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（15分）如图，已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率e=，右焦点为f，右顶点为a，p为直线x=a上的任意一点，且（+）=2（）求椭圆c的方程；（）若过点p所作椭圆c的切线l与坐标轴不平行，切点为q，且交y轴于点t，试确定x轴上是否存在定点m，使得sinotq=2|costqm|若存在，请求出点m的坐标；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（） 设p（a，m），根据（+）=2，得（2c3a）（ca）=4，从而求出a，c，再求出b，进而求出椭圆的方程；（）设切点q，得到切线方程，与椭圆方程联立，由判别式=0，求出k的表达式，表示出sinotq=2|costqm|，从而求出m的值，得出答案解答：解：（） 由题意，知右顶点a（a，0），设p（a，m），右焦点f（c，0），则a=2c，由（+）=2，得（2c3a）（ca）=4，解得a=2，c=1，所以b2=a2c2=3，所以椭圆c的方程为：+=1（）设切点q（x0，y0），x0 y00，切线方程为yy0=k（xx0），与椭圆方程联立，得：（3+4k2）x2+8k（y0kx0）x+4（y0kx0）212=0有相等实根，=4（3+4k2）412=0，解得：k=，又3+4=12，所以，切线方程为3x0x+4y0y12=0，则切线与y轴的交点t（0，），且原点o到切线的距离d=，所以sinotq=，若x轴上存在定点m（m，0），使sinotq=2|costqm|，由=（x0，）=（x0，），=（mx0，y0），得：|costqm|=，=，对任意的|x0|（0，2）恒成立，化简，得m2=1，m=1所以，x轴上存在定点m（1，0）即椭圆c的两焦点使sinotq=2|costqm|点评：本题考察了椭圆的方程及性质，考察直线和椭圆的综合应用，（）问中求出k的表达式，表示出sinotq=2|costqm