数学建模论文B卷-产品项目开发以及生产顺序.pdf

1 产品研发力量分配与产品开发顺序问题 摘要 某公司从事电子产品的研发与生产 具有一支实力较强的产品设计与研发队伍 同 时需要制定对主打产品与新产品的研发顺序及研发力量的方案 事实上 产品研发力量 分配与产品开发顺序问题是一最优规划的求解问题 本文首先建立了总收益最大的确定性模型将问题一转化为求最大值的整数规划问 题 然后利用 Matlab 数学软件编程计算给出了在总收益最大的情况下研发力量分配及 产品开发顺序的情况 求得最大利润下 相应的产品研发顺序为产品 4 产品 5 产 品 1 产品 7 产品 2 产品 6 产品 3 产品 8 同时对 1 号产品的价格波动及各 核心技术团队的加班加班时间对最优解影响及对年度总收益影响做出了灵敏度分析 求解问题二时 首先建立了销售数量最大的确定性模型 同时求得在销售数量最大 的情况下研发力量分配及产品开发顺序的情况 随后 建立了最大利润与销售数量的双 目标规划 建立了加权模型 求解出了最优的研发力量分配及产品开发顺序的情况 相 应的产品开发顺序为 产品 4 产品 1 产品 5 产品 2 产品 7 产品 3 产品 6 产品 8 并对总收益关于销售数量的变动进行了灵敏度分析 针对问题三 是主打产品与新产品的共同开发问题 由于需要研发的产品有 16 种 之多 我们提出了一种启发式算法 从而有效的求出了最优的分配方案 如下表所示 产品研发顺序 总利润 亿元 1 2 3 12 16 14 15 6 4 5 8 7 9 10 13160 文章的最后分析了模型的优缺点 并给出了模型的若干解决方案 关键字 总收益最大模型 随机规划 双规划 启发式算法 2 1 问题的背景及重述 1 1 问题的背景 某公司从事电子产品的研发与生产 具有一支实力较强的产品设计与研发队伍 公 司考虑在下一个年度中 进一步提升主打产品 1 至 8 号的品质与功能 以稳固市场占有 率和品牌地位 并试图在新的领域进一步打开民用产品市场 新产品 9 至 16 号如果开 发成功将为公司带来广阔的发展前景 其中 9 号及 10 号产品是普通民用产品 市场发 展空间较大 11 号 12 号与 13 号产品是同类特色产品 利润高但有较高技术难度 14 号 15 号和 16 号是公司的中期战略目标 如果一年内 11 13 系产品中任一款开发成功 14 号产品将在第二年末为公司带来新的利润增长点 如果 12 号产品在年内开发成功 则 14 到 16 号产品都能在第二年末成功开发并投入生产与销售 公司的盈利将得到翻倍 的增长 1 2 问题重述 设公司有 A B C D E F G 及 H 共 8 个技术分工不同的核心技术研发团队 每 种产品所需的研发时间 占团队年工作量的百分比表示 期望收益如表 1 表 3 所示 试建立期望收益最大化的年度研发计划及研发顺序数学模型并给出最优策略与研发进 程 表 1 主打产品系研发所需时间与年末收益 产品编号 1 2 3 4 5 6 7 8 技术团队 A 研发工作量 10 10 10 10 10 10 10 20 技术团队 B 研发工作量 10 10 10 10 10 10 10 20 技术团队 C 研发工作量 10 10 10 10 10 10 10 10 技术团队 D 研发工作量 0 0 0 0 0 0 10 40 技术团队 E 研发工作量 10 10 10 10 10 10 10 30 技术团队 F 研发工作量 0 0 0 10 10 10 20 30 技术团队 G 研发工作量 10 10 10 0 0 0 10 20 期望销售量 万件 4 000 1 000 800 6 000 1 200 1 000 300 500 期望利润 万元 件 0 12 0 15 0 3 0 3 0 5 0 8 1 2 研发期限 天 60 60 180 60 60 180 90 270 延迟收益损失 3 3 5 5 5 10 12 12 注 表 1 中研发工作量为单个产品的研发工作量 其中 1 2 3 号为同系列产品 4 5 6 也为同系列产品 若开发两个及以上同系列产品 则第二个和第三个产品的各 项研发工作量只需要单个产品工作量的 30 产品 7 和 8 为高端产品 如果都开发 则 两个产品同一技术团队的研发工作总量相当于其中工作量大的单个产品的研发工作量 3 表 2 新产品 9 13 系研发所需时间与年末收益 产品编号 9 10 11 12 13 技术团队 A 研发工作量 10 10 10 10 10 技术团队 B 研发工作量 10 10 10 10 10 技术团队 C 研发工作量 10 10 10 10 10 技术团队 D 研发工作量 0 0 50 10 0 技术团队 F 研发工作量 10 10 10 40 0 技术团队 G 研发工作量 15 15 0 30 10 技术团队 H 研发工作量 10 10 10 10 50 期望销售量 万件 6 000 4 000 3 000 1 000 1 000 利润 万元 件 0 06 0 08 0 10 0 20 0 14 研发期限 天 300 200 200 200 270 延迟收益损失 3 3 5 2 5 注 表 2 中研发工作量为单个产品的研发工作量 其中 9 10 号为同系列产品 若两个及以上同系列产品同时开发 则第二个产品的各项研发工作量只需要单个产品工 作量的 30 11 12 13 为特色产品 开发两个及以上产品时 A B C 项研发工作 量第二个和第三个产品只需要单个产品工作量的 30 D F G H 项中 总研发工作量 最大工作量产品开始研发时刻 0 t之前其余产品研发工作量之和 最大工作量产品的单 个产品研发工作量 其余产品 0 t之后剩余研发工作量的 30 表 3 中期产品 14 16 系研发所需时间与第二年年末收益 产品编号 14 15 16 技术团队 B 研发工作量 10 10 10 技术团队 C 研发工作量 20 20 30 技术团队 D 研发工作量 0 0 0 1 技术团队 E 研发工作量 10 10 20 技术团队 F 研发工作量 20 20 40 技术团队 G 研发工作量 20 20 30 技术团队 H 研发工作量 20 20 40 期望销售量 万件 30 000 6 000 8 000 利润 万元 件 0 08 0 12 0 40 研发期限 天 365 365 365 延迟收益损失 3 3 5 注 1 表 3 中研发工作量为单个产品的研发工作量 任一技术团队多个产品的 研发工作总量按表 3 数据之和计算 注 2 研发期限已考虑产品生产所需的时间 不考虑生产能力限制 问题一 主打产品的开发问题 如果只考虑守住公司在主打产品领域的龙头地位 问应怎样组织研发力量分配及产品开发顺序 才能使总收益达到最大 如果 1 号产品因 市场竞争容易产生价格波动 试就 1 号产品的价格波动及各核心技术团队的加班时间对 最优解影响及对年度总收益影响做灵敏度分析 设每一个技术团队可以在某个时段集中 力量研发一个产品 也可以分工开发多个产品 4 问题二 主打产品的开发问题 如果产品销售总件数对知名度及将来的市场份额会 产生重大影响 希望收益最大化的同时也希望产品销售数量尽可能大 应怎样组织研发 力量分配及产品开发顺序 试对总收益关于销售数量的变动进行灵敏度分析 问题三 主打产品与新产品的共同开发问题 新产品 14 必须在 11 13 系中任一款开 发之后才能在第二年投产并在年末产生效益 新产品 15 16 号必须在 12 号产品开发之 后才能在第二年投产并在年末产生效益 但是 14 16 系必须在当前年完成表 3 中的研 发工作才能够在第二年投入生产并在年末产生效益 如果研发团队允许每年扩充 20 的 人力 试提出一个合理的目标制定当前的年度研发计划与研发顺序 分析研发能力约束 对效益的影响 5 2 符号说明及模型假设 2 1 符号说明 表示第 i 号产品研发出来所用的时间 表示第 i 号产品研发期限所用的时间 单位 天 表示第 i 号产品期望销售量 单位 万件 表示第 i 号产品期望利润 单位 万元 件 表示第 i 号产品延迟收益损失 单位 表示第 k 个研发团队生产 i 号产品所用的时间 单位 天 M 表示该公司在做某些产品的时候需要参与的团队总数 N 表示该公司在不同问题中研发产品的数量 表示研发团队研发产品的顺序 其中j 1 2 N N 表示所有研发团队的力量分配矩阵 表示第 k 个团队做完第 i 号产品的时候一共花费的时间 单位 天 表示第 i 号产品每天卖出的数量 单位 万件 Y 表示获得利润函数 X 表示获得销量函数 Y 表示归一化利润函数 X 表示归一化销量函数 表示第 i 1 13 号产品能否在一年内完成 0 表示不能 1 表示能 表示该产品是否在问题三中被生产 e 表示加班效益 2 2 模型假设 1 假设所有的时间起点都以当年的第一天算起 2 假设每个产品在研发期限内生产出来以后在余下的时间内可以预期卖完 并且每天卖出的 数量是均匀的 在第一问中 超出研发期限的产品在当年带来的销量不会发生变化 只是会增加延 期收益损失 3 假设该公司主打产品都要研发出来 新产品则看情况研发 4 假设该公司加班只单纯的增加团队的研发能力 不会带来其他额外的费用 5 假设 12 号产品必须在 14 15 系列产品之前研发出来 6 3 问题的分析与模型建立求解 3 1 问题一分析 如果只是考虑守住公司在主打产品领域的龙头地位 已知该公司的主打产品为 1 至 8 号产品 首先设置总收益最大的目标函数 本文通过设置相应的约束条件 去做最优 化处理 从而得到收益最大化时对应的产品研究力量分配以及产品开发顺序方案 由于 1 号产品因市场竞争容易产生价格波动 我们分别就 1 号产品的价格和各核心技术团队 的加班时间对最优解的影响进行了分析 以及做出相应的灵敏度分析 假设一年内的期 望销售量不会发生变化 3 1 1 模型的提出 建立相应的目标函数为 Y Bi max Vi N i 1 Mi i max 0 ti Ti Vi N i 1 Mi 其中 N 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 k 1 0 3 1 当 的顺序满足备注的时候 1 2 3 4 5 6 当 8 n 7 的时候 1 1 ti max C1i C2i C M 1 i CMi 0 ti 365 3 1 2 模型的求解 利用matlab 软件对上述模型进行仿真实现 可以得到相应最大利润为 3487 6亿元 相应的研发力量以及产品开发顺序如表 1 1 所示 表 1 1 最大利润下研发力量分配以及产品开发顺序 研发顺序 技术团队 产品 4 产品 5 产品 1 产品 7 产品 2 产品 6 产品 3 产品 8 技术团队 A 研发工作量 10 3 10 10 3 3 3 10 技术团队 B 研发工作量 10 3 10 10 3 3 3 10 技术团队 C 研发工作量 10 3 10 10 3 3 3 0 技术团队 D 研发工作量 0 0 0 10 0 0 0 30 技术团队 E 研发工作量 10 3 10 10 3 3 3 20 技术团队 F 研发工作量 10 3 0 20 0 3 0 10 技术团队 G 研发工作量 0 0 10 10 3 0 3 10 由表 1 1 可知 总收益达到最大时 相应的产品研发顺序为产品 4 产品 5 产 品 1 产品 7 产品 2 产品 6 产品 3 产品 8 同时 可以得到相应的研发力量 7 分配情况如下 技术团队 A 用了团队年工作量的 52 用于主打产品的研究 技术团队 B 用了团队年工作量的 52 用于主打产品的研究 技术团队 C 用了团队年工作量的 42 用 于主打产品的研究 技术团队 D 用了团队年工作量的 40 用于主打产品的研究 技术团 队 E 用了团队年工作量的 62 用于主打产品的研究 技术团队 F 用了团队年工作量的 39 用于主打产品的研究 技术团队 G 用了团队年工作量的 36 用于主打产品的研究 同时 我们也得出了 6 组次优总收益的生产顺序的方案 如表 1 2 所示 表 1 2 产品生产顺序对利润的影响 生产顺序 获得利润 销量 最优 4 5 1 7 2 6 3 8 3487 6 14219 次优 4 5 1 7 2 3 6 8 3487 5 14218 5 4 1 7 2 6 3 8 3487 5 14218 5 4 1 7 2 3 6 8 3487 5 14218 4 5 1 7 6 2 3 8 3438 3 14183 4 5 1 7 3 2 6 8 3438 3 14183 5 4 1 7 6 2 3 8 3438 3 14183 由表 1 2 可知 表中所列的 7 种方案 所获得的利润相差并不大 同时发现 在这 7 种方案中 产品 4 产品 5 和产品 1 都是最先生产的 3 个产品 从而得到的结论是先 做产品 4 产品 5 和产品 1 对获得的最大利润起到了决定性的作用 由于 1 号产品因市场竞争容易产生价格波动 但是对于电子产品来说 随着新的技 术的出现 以及生产成本的降低 其售价会随着时间的推移而慢慢降低 设期望利润为 变量 在 matlab 中进行仿真 得到 1 号产品的价格与最优利润的关系曲线图 如下图 所示 图 1 1 1 号产品的价格与最优利润的关系 由图 1 1 1 号产品的价格与最优利润的关系可知 但 1 号产品的期望利润为 0 024 万元 件时 其对应的最佳利润最低 当 1 号产品的价格从 0 024 万元 件不断增加时 相应的最佳利润不断上升 出现这种现象的原因主要是随着 1 号产品的价格的波动 但 是相应的 8 种主打产品的开发顺序并没有发生改变 而 1 号产品的价格有所上升 因此 相应的最佳利润也不断变大 当 1 号产品的价格从 0 024 万元 件不断减小时 相应的 8 最佳利润反而不断增大 究其原因 随着 1 号产品的售价不断减小 其在 8 种主打产品 中的优势逐渐消失 各核心技术团队会先将研发力量放在其他产品上 再对 1 号产品进 行研究 或者不对其进行研究 为了讨论 1 号产品各个团队加班情况与最优利润的关系 设加班情况为变量 在 matlab 中进行仿真 得到图 1 2 1 号产品各个团队加班与最优利润的关系图 图 1 2 1 号产品各个团队加班与最优利润的关系 由图 1 2 各个团队对于 1 号产品的的加班量与最优利润关系的曲线可知 该曲线大 致分为三个不同的斜率 其中 0 2 到 0 4 这一段的斜率要明显大于其他两段的斜率 因 此在这一段百分比中 加班的性价比最高 为了同时查看各个团队对于 1 号产品的加班量和 1号产品的价格变动与最优利润之 间的关系 通过仿真 可以得到表 1 3 表 1 3 各个团队对于 1 号产品的加班量和 1 号产品的价格变动与最优利润之间的关系表 加班百分比 1 号产品的价格 元 件 24 300 360 420 480 0 02 3479 3457 3 3435 6 3444 8 3454 1 0 025 3479 9 3468 2 3478 3 3488 3 3498 3 0 03 3506 4 3517 1 3527 8 3538 5 3549 2 0 035 3551 3562 3 3573 6 3585 3596 3 0 04 3592 5 3604 3 3616 2 3628 1 3640 从上表可知 当 1 号商品的价格较高时 各团队组织力量加班研究 1 号产品 从而 得到的利润会很高 同时也保证了相应的效益 3 1 2 问题一模型分析 通过求解问题一 得到了在该模型下的最优解 不过该模型采用穷举法求最大值得 到了 没有采用比较先进的算法 增加了算法的复杂度 当产品数量较大的时候采用这 种算法未必能够得到最优解 所以可以对模式做适当的改进 以此来完善问题一 在分析的时候假设主打产品都生产 并没有对只生产某几件产品进行比较 不能合 理的说明在该模式下 公司可以获得最优利润 9 3 2 问题二分析 考虑到产品销售总件数对知名度及将来的市场份额会产生重大影响 希望收益最大 化的同时也希望产品销售数量尽可能大 本文首先设置销售数量为目标函数 进行最优 解的求取 然后对销售数量和总收益进行归一化相乘结合 得到相应的目标函数 求取 相应的目标函数进行分析 3 2 1 模型的提出 设 每个产品在研发期限内生产出来以后在余下的时间内可以预期卖完 并且每天 卖出的数量是均匀的 方案一 只分析当销量最大的时候产品的开发顺序以及最大销量 目标函数为 X Bi max Mi m i max 0 ti Ti N i 1 其中 N 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 当 的顺序满足备注的时候 1 2 3 4 5 6 当 8 n 7 的时候 1 1 m i Mi 365 Ti ti max C1i C2i C M 1 i CMi 0 ti 365 10 方案二 同时考虑销量和利润的关系 并且使得收益最大化的同时销量尽可能大 目标函数为 Z Bi max Y Bi X Bi 其中 N 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 当 的顺序满足备注的时候 1 2 3 4 5 6 当 8 n 7 的时候 1 1 m i Mi 365 Ti X Bi max Mi m i max 0 ti Ti N i 1 Y Bi max Vi N i 1 Mi i max 0 ti Ti Vi N i 1 Mi Y Bi Y Bi max Y Bi X Bi X Bi max ti max C1i C2i C M 1 i CMi 0 ti 365 因为销量和利润之间的单位存在不唯一的情况 故此需要先对销量和利润进行归一 化处理 此处采用销量和利润除以各自最大值进行归一化处理 其中 Y 表示 Y 的 归一化处理 X 表示 X 的归一化处理 3 2 2 模型的求解 利用matlab 软件对上述模型进行仿真实现 可以得到相应最大利润为 3487 6亿元 相应的研发力量以及产品开发顺序如表 2 1 所示 表 2 1 最大产品销售数量下研发力量分配以及产品开发顺序 研发顺序 技术团队 产品 4 产品 1 产品 5 产品 2 产品 7 产品6 产品 3 产品 8 技术团队 A 研发工作量 10 10 3 3 10 3 3 10 技术团队 B 研发工作量 10 10 3 3 10 3 3 10 技术团队 C 研发工作量 10 10 3 3 10 3 3 0 技术团队 D 研发工作量 0 0 0 0 10 0 0 30 技术团队 E 研发工作量 10 10 3 3 10 3 3 20 技术团队 F 研发工作量 10 0 3 0 20 3 0 10 技术团队 G 研发工作量 0 10 10 3 10 0 3 10 由表2 1 可知 产品销售数量达到最大时 相应的产品研发顺序为产品 4 产品1 11 产品 5 产品 2 产品 7 产品 6 产品 3 产品 8 同时 可以得到相应的研发力 量分配情况如下 技术团队 A 用了团队年工作量的 52 用于主打产品的研究 技术团队 B 用了团队年工作量的 52 用于主打产品的研究 技术团队 C 用了团队年工作量的 42 用于主打产品的研究 技术团队 D 用了团队年工作量的 40 用于主打产品的研究 技术 团队 E 用了团队年工作量的 62 用于主打产品的研究 技术团队 F 用了团队年工作量的 39 用于主打产品的研究 技术团队 G 用了团队年工作量的 36 用于主打产品的研究 同时 对于次优销售量的情况也列出了 7 种不同的生产顺序 如表 2 2 所示 表 2 2 产品生产顺序对销售量的影响 产品生产顺序 销售量 获得利 润 最优 4 1 5 2 7 6 3 8 14376 2840 6 次优 4 1 5 2 7 3 6 8 14376 2840 6 4 1 2 5 7 6 3 8 14369 2627 4 1 2 5 7 3 6 8 14369 2627 4 1 5 2 6 7 3 8 14364 2446 3 4 1 5 2 3 7 6 8 14364 2446 3 4 1 2 5 6 7 3 8 14357 2232 8 由表 1 2 可知 表中所列的 7 种方案 其中有一种的销售量与最优销售量一样 其 相应的产品生产顺序为产品 4 产品 1 产品 5 产品 2 产品 7 产品 3 产品 6 产品 8 其余产品生产顺序之间所获得的销售量相差并不大 同时发现 在这 7 种 方案中 产品 4 和产品 1 都是最先生产的 2 个产品 从而得到的结论是先做产品 4 和产 品 1 对获得的最大利润起到了决定性的作用 所以 要提高企业的知名度 需要重视对 产品 4 和产品 1 的开发 对于一个企业来说知名度固然重要 但是利润是一个企业必须追求的目标 由此 我们分别设置总收益最大和销售数量最大这两个目标函数进行讨论 进行matlab仿真 在总收益最大为目标函数时 得到了前 20 组利润最大时 以及对应的销量的数据 同 时 在以销量为目标函数时 得到了前 20 组销量最大时 对应的利润 具体如表 2 3 所示 由表 2 3 可知 当总收益最大为 3487 亿元时 相应的销量为 14218 万件 当销量 最大为 14375 万件时 相应的总收益为 2840 亿元 因此 可以得出一个结论是当总收 益与销量并不能同时取到最大值 一个企业的发展不能一味的追求最大收益 为了可持 续发展 企业还需要提升自身在群众中的知名度 因此本文通过收益最大化的同时也希 望产品销售数量尽可能大 通过同时考虑销量和利润的关系 并且使得收益最大化的同 时销量尽可能大 得到如表 2 3 所示 12 表 2 3 不同目标时利润与销量的情况 总收益最大 销量最大 总收益 销量 总收益 销量 3487 14218 2840 14375 3487 14218 2840 14375 3487 14218 2627 14368 3487 14218 2627 14368 3438 14182 2446 14363 3438 14182 2446 14363 3438 14182 2232 14356 3438 14182 2232 14356 3389 14146 2052 14351 3389 14146 2052 14351 3389 14146 1838 14344 3389 14146 1838 14344 3257 14326 2397 14327 3257 14326 2397 14327 3257 14326 3257 14326 3257 14326 3257 14326 3149 14218 3257 14326 3149 14218 3257 14326 3149 14218 2002 14315 3149 14218 2002 14315 表 2 4 同时考虑最大收益与销售量时的最佳生产顺序 研发顺 序 技术团队 产品 4 产品 5 产品 1 产品 7 产品 2 产品 6 产品 3 产品 8 销量 利润 技术团队 A 研 发工作量 10 3 10 10 3 3 3 10 14218 3487 62 技术团队 B 研 发工作量 10 3 10 10 3 3 3 10 技术团队 C 研 发工作量 10 3 10 10 3 3 3 0 技术团队 D 研 发工作量 0 0 0 10 0 0 0 30 技术团队 E 研 发工作量 10 3 10 10 3 3 3 20 技术团队 F 研 发工作量 10 3 0 20 0 3 0 10 技术团队 G 研 发工作量 0 0 10 10 3 0 3 10 13 由表 2 4 可知 当产品生产顺序为产品 4 产品 1 产品 5 产品 2 产品 7 产品 3 产品 6 产品 8 时 可以得到利润最大化同时产品销售数量也尽可能大的效 果 表 2 5 同时考虑最大收益与销售量时的最佳生产顺序表 利润与销量归 一化值 最大顺序排 列 生产顺序 利润 销量 1 0 989071 4 5 1 7 2 6 3 8 3487 62 14218 2 0 989071 4 5 1 7 2 3 6 8 3487 62 14218 3 0 989071 5 4 1 7 2 6 3 8 3487 62 14218 4 0 989071 5 4 1 7 2 3 6 8 3487 62 14218 5 0 972635 4 5 1 7 6 2 3 8 3438 34 14182 6 0 972635 4 5 1 7 3 2 6 8 3438 34 14182 7 0 972635 5 4 1 7 6 2 3 8 3438 34 14182 8 0 972635 5 4 1 7 3 2 6 8 3438 34 14182 9 0 956269 4 5 1 7 6 3 2 8 3389 07 14146 10 0 956269 4 5 1 7 3 6 2 8 3389 07 14146 经过 MATLAB 仿真 得出归一化利润和销量之间的最大值为 0 9891 相应的产品 生产顺序为产品4 产品1 产品5 产品2 产品7 产品3 产品6 产品8 其他归一化利润和销量之间的最大值以及相应的产品生产顺序如表 2 5 所示 通过 matlab 仿真 可以得到图 2 1 销售数量与总收益的关系曲线 图 2 1 销售数量与总收益的关系曲线 由图 2 1 所知 销售数量的变动对总收益产生了不规则的影响 且最佳收益是在产 品销量在 1420 万件到 1425 万件这个区间内取得 主要原因是 这 8 个主打产品中 有 些产品的期望销售件数虽多 但是相应的期望利润并不是很高 14 3 3 问题三分析 在分析数表的时候发现倘若 14 16 系产品在当前年没有完成研发工作的话 将不会 再以后的第二年投入生产并且产生利润 故此需要在考虑最大利润的时候需要考虑 14 16 号产品尽可能的在第一年完成 并且发现 12 号产品所占的比重相比较而言在 11 13 号产品比重较大 故此可以增加一定的约束条件进行模型求解 3 3 1 模型的提出 方案一 考虑到 14 16 号产品都生产的情况 目标函数为 W Bi max di 2ci Vi N i 1 Mi i max 0 ti Ti Vi N i 1 Mi 其中 N 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 当 的顺序满足备注的时候 1 2 3 4 5 6 当 8 n 7 的时候 ci ti 365 0 1 di 0 ti 0 ti 365 2 1 1 ci 1 1 ti max C1i C2i C M 1 i CMi 0 ti 365 2 经过 MATLAB 仿真获得最佳利润为 13160 亿元 方案二 考虑到只生产 14 16 中的某一类产品 其中目标函数同上所示 经过 MATLAB 仿真获得最佳利润为 11928 亿元 开发顺序如下表 3 1 所示 表 3 1 方案二的产品开发顺序 产品研发顺序 总利润 4 5 1 2 7 3 6 12 14 15 8 9 10 11928 3 3 2 模型的求解 利用 matlab 软件对上述方案一模型进行仿真实现 可以得到相应最大利润为 13160 亿元 相应的研发力量以及产品开发顺序如表 3 1 所示 15 表 3 1 方案一最大利润下研发力量分配以及主打产品和新产品的开发顺序 研发团 队 产品生产顺序 总利 润 亿 元 4 5 1 2 3 12 14 15 8 16 6 7 9 10 技术团 队 A 研发 工作量 8 2 4 8 2 4 2 4 8 0 0 16 0 2 4 8 8 2 4 13160 技术团 队 B 研发 工作量 8 2 4 8 2 4 2 4 8 8 8 16 8 2 4 8 8 2 4 技术团 队 C 研发 工作量 8 2 4 8 2 4 2 4 8 16 16 8 24 2 4 8 8 2 4 技术团 队 D 研发 工作量 0 0 0 0 0 8 0 0 32 0 08 0 8 0 0 技术团 队 E 研发 工作量 8 2 4 8 2 4 2 4 0 8 8 14 16 2 4 8 0 0 技术团 队 F 研发 工作量 8 2 4 0 0 0 32 16 16 14 32 2 4 10 24 7 1 32 技术团 队 G 研发 工作量 0 0 8 2 4 2 4 24 16 16 16 24 0 8 13 2 6 技术团 队 H 研发 工作量 0 0 0 0 0 8 16 16 0 32 0 0 8 2 4 利用 matlab 软件对上述方案二模型进行仿真实现 可以得到相应最大利润为 11928 亿元 相应的产品开发顺序如表 3 2 所示 表 3 2方案一最大利润下主打产品和新产品的开发顺序 产品研发顺序 总利润 4 5 1 2 7 3 6 12 14 15 8 9 10 11928 由表 3 1 和表 3 2 可知 主打产品与新产品总收益达到最大时 相应的产品研发顺 序为产品 4 产品 5 产品 1 产品 2 产品 3 产品 12 产品 14 产品 15 产品 8 产品 16 产品 6 产品 7 产品 9 产品 10 同时 可以得到相应的研发 力量分配情况如下 技术团队 A 用了团队年工作量的 68 用于主打产品与新产品的研究 技术团队 B 用了团队年工作量的 92 用于主打产品与新产品的研究 技术团队 C 用了团 队年工作量的 116 用于主打产品与新产品的研究 技术团队 D 用了团队年工作量的 48 08 用于主打产品与新产品的研究 技术团队 E 用了团队年工作量的 62 用于主打产 16 品与新产品的研究 技术团队 F 用了团队年工作量的 141 36 用于主打产品与新产品的 研究 技术团队 G 用了团队年工作量的 132 4 用于主打产品与新产品的研究 技术团队 G 用了团队年工作量的 82 4 用于主打产品与新产品的研究 当主打产品与新产品的共同开发时 即研发周期为两年时 得到的最大收益要明显 大于两年只研发主打产品的情况 说明 新产品市场前景很好 并且能够给该公司带来 富足的利润 同时 由表 3 1 和表 3 2 可知 开发的产品越多 相应的获得利润就比较多 市场 前景越大 并且很好的实现了各个团队的力量分配 为了讨论 1 号产品各个团队加班情况与最优利润的关系 设研发能力增加百分比为 变量 在 matlab 中进行仿真 得到图 3 1 研发能力约束对效益的影响图 图 3 1 研发能力增加百分比对效益的影响曲线 由图 3 1 各个团队研发能力的增加百分比对效益的影响曲线可知 该曲线呈现逐渐 增加的趋势 但增加的趋势逐渐减缓 直到趋于平缓 从而可以得到随着各团队的研发 能力的增加 相应的最大利润不断升高 但是 当各团队研发能力增加 25 时 其相应 的利润增加幅度很小 说明此时各研发团队不用再一味的提高研发能力 3 3 3 问题三模型分析 通过求解问题三 得到了在该模型下的最优解 不过该模型采用穷举法求最大值得 到了 没有采用比较先进的算法 增加了算法的复杂度 当产品数量较大的时候采用这 种算法未必能够得到最优解 所以可以对模式做适当的改进 以此来完善问题三 在分析的时候假设主打产品都生产 新产品在开发的时候发现开发的产品越多可以 带来更多的利润 故此在考虑问题的时候可以在假设的基础上增加一定的判断 倘若在 开发完规定的产品以后总时间小于 2 年所用的时间 则可以试着去开发另外一个没有开 发的产品 这样在满足条件下可以增加一定的收益 从而得到更加合理的利润 17 3 4 模型的改进 对于本文上述 3 个模型的求解 我们都是采用穷举的方法来求取最优解 虽然这种 方法的优点是求得的最优解必定是全局最优解 但是随着待开发的产品数量的增大 相 应的时间复杂度会急剧增大 在这些解中 有些解可能会造成项目执行的死锁 使项目 无法执行 要从全部排列方式中找出并去掉这部分解 计算量也很大 因此本文考虑了一种启发式算法 目前 在解决多资源约束下多项目的资源排序问题方面 不论目标函数如何建立 多采用启发式算法 其主要原因是求解的复杂性和庞大的计算量很难适合工程实际 因 此 必须找到一种算法降低计算量和复杂度 代价是有可能失去最优解 本文已经通过 全排列已经求得了最优解 所以在这部分需要建立相应的启发式算法去简化计算复杂度 同时验证该启发式算法的可行性 倘若考虑所有的排列组合需要花费太多的时间 故此可以综合考虑一些问题 在考 虑到收益已经研发期限的时候 可以把相近的那些考虑到一块去 这样就带来了新的启 发式思维方式 更加有利于最优解的寻找 和模型的分析 比如在问题一和二中 1 号和 2 号产品 4 号和 5 号产品内在关联很明显 故此可以在新的算法中进行 利用 matlab 软件对上述模型进行启发式算法仿真实现 可以得到相应最大利润为 13160 亿元 相应的研发力量以及产品开发顺序如表 3 3 所示 通过观察表 3 1 和表 3