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基于改进迭代非局部平均滤波的图像去噪摘要: 针对图像去噪问题，本文提出了一种新的迭代非局部平均滤波的方法。对于提出的迭代非局部平均滤波的方法，权系数的计算以及加权平均所用的图像均是由迭代更新得到的图像所决定的。权系数是由每次迭代更新得到的图像的像素值的相似性所决定的，同时对每次迭代更新后得到的图像进行加权平均。我们还证明了该迭代方法满足极大极小原则。实验结果表明，该方法去噪的同时能较好的保持图像的边缘以及细小结构。关键词：非局部滤波；加权平均；扩散方程；图像去噪Image denoising based on improved iterative non-local means filterAbstract: In this paper, an iterative non-local means filter for image denoising is proposed. For this iterative non-local means filter, the updated image is used for the computation of the value of the weight function and the averaging of the image. The value of the weight function is based on the similarity of the grey pixel values of the updated image, and for each iteration the weighted averaging is over the updated image. The max-min principle is also guaranteed for the proposed iterative non-local means filter. Numerical examples illustrate that the proposed method well removes noise while preserves image edges and fine details.Keywords: non-local means filter; weighted averaging; diffusion equation; image desnoising图像处理中图像去噪是人们一直致力于研究的问题。通常，一个较好的去噪方法应该是在去除噪声的同时又能较好的保留图像的原有信息以及对比度的清晰。传统的图像去噪方法，如中值滤波、高斯滤波等，主要将图像的高频成份滤除，所以得到的重构图像细节以及纹理区域比较模糊了。偏微分方程（PDE）1, 2以及总变分3, 4的方法近些年来在数学图像处理中得到了广泛应用。最典型的为图像去噪的PM扩散模型以及有界变差模型。在变换域上的图像去噪模型，如维纳滤波5以及小波阈值6的方法也得到了很好的发展。2002年，Y. Meyer 7 研究了适合对图像恢复以及图像分解的一系列泛函空间并提出了相应的能量极小化模型。但是，这些模型基本上是基于图像周围点像素的信息，并且在求解这种能量极小化的问题通常是通过扩散方程来求解的。因而在某种程度上，图像的细节结构以及纹理特征会有所损失，重构得到的图像边缘比较模糊。近几年来，非局部平均滤波的方法是图像恢复的一个热点。非局部平均滤波8, 9是受邻域滤波5的方法所启发得到的，它的主要思想是定义一基于相似度的权系数来对图像的所有像素点进行加权平均而得到恢复图像。图像像素点间灰度值越相似，他们具有的权系数就越大。 最近提出了基于迭代非局部平均滤波对纹理图像去噪模型10。在模型中尽管权系数中相似度的度量是基于迭代更新得到的图像，但是最终的恢复结果中仍然带有一定噪声且图像的边缘比较模糊，这是由用观察的带噪污染图像进行加权平均的结果。本文中，我们对上述迭代非局部滤波进行了改进。权系数的计算以及加权平均所用的图像均是由迭代更新得到的图像所决定的。权系数是由每次迭代更新得到的图像的像素值的相似性所决定的，同时对每次迭代更新后得到的图像进行加权平均。这样就避免了权系数的计算以及加权平均所用的图像的不一致所带来的偏差。本文第一节简要介绍了非局部平均滤波以及迭代平均滤波，第二节是本文作者提出的改进的迭代非局部平均滤波图像去噪模型，第三节给出了数值实验结果，最后一节为结论部分。1 非局部平均滤波以及迭代非局部平均滤波非局部平均滤波由Buades et.al 8, 9提出。令带噪图像是由原始干净的图加入高斯均值为零方差为的噪声组成。对给定的像素点，它的估计值是对整个图像的灰度值的加权平均得到： （1）其中 （2） （3）是具有标准方差为的高斯函数，是归一化因子。权系数是基于相似度的一函数，而像素点与的相似度是通过灰度块与的相似性来定义的，也即式（3），是像素点的一邻域。这种相似度是加权欧拉距离的一种单降函数。相似度越高，权系数越大。由于这种相似度是考虑到了整体图像的象素点而不只是用到了图像的单个像素点，这样所用到的图像信息比较多，得到的重构图像较好的保留了图像的细节纹理特征。非局部平均滤波具有下面的离散形式： （4）其中，并且是像素点的一邻域且权系数满足：，。表示带权的欧拉距离，其中是高斯核的标准方差。对纹理图像去噪的迭代非局部平均滤波的算法10的提出是基于如下的变分原理： （5）上式不动点迭代法得到的迭代结果为： （6）其中权系数的计算是基于更新后的图像得到的而不是通过基于观察的带噪图得到的。这样通过每次迭代更新估计得到的权系数更加准确。但是，（6）式中每次迭代都只是对带噪污染的图像进行加权平均，而权系数是用迭代更新后的图像估计得到的值，这样就会给结果带来偏差而使得图像比较模糊。2 改进的迭代非局部平均滤波的图像去噪模型基于上面的方法，我们改进了迭代非局部平均滤波的图像去噪模型。本文提出的改进的非局部平均滤波图像去噪模型为： （7）其离散形式为： （8）其中，。该迭代过程中权系数的计算以及加权平均所用的像素灰度值均为基于迭代更新得到的图像的灰度值。该改进的迭代非局部平均滤波的模型与文献10提出的迭代非局部平均滤波模型的主要区别就在于：对于提出的改进的迭代非局部平均模型每次迭代得到的像素灰度值被用来进行加权平均，而文献10提出的方法加权平均所用的图像灰度值仍然是对带噪污染的图像来进行的。实际上文献10提出的方法只是对权系数进行迭代更新，而最终的加权平均还是对带噪图像进行的。本文提出的改进的迭代非局部平均滤波的方法不仅对权系数进行迭代更新而同时相应的加权平均所用的图像也是迭代更新后的图像。这样权系数以及加权平均所用的图像就对应起来了，从而避免了由文献10所带来的图像边缘模糊以及对比度不清晰的现象。结论1. 式（7）得到的序列满足极大-极小原理：也即，以及。证明：令以及表示的最小值和最大值。下面用归纳法进行推导结论。首先，并且我们有下面假设对所有的，则有那么 ()。类似的， ()。也即序列满足极小-极大值原理。3 数值实验下面用几个数值实验的例子来说明提出的改进的迭代非局部均值滤波的有效性。用NLM表示非局部平均滤波，I-NLM表示迭代非局部平均滤波模型（式(6)），II-NLM表示改进的迭代非局部平均滤波模型（式（7）。图1表示“Barbara”原图（图1-a）与“Plane”原图（图1-b）以及分别加噪声方差25的带噪图像（图1-c，d）。图2表示用NLM，I-NLM以及II-NLM方法得到的去噪结果，从左往右：NLM(图2-a, d)，I-NLM（图2-b, e）以及II-NLM (图2-c, f)。可以看出基于NLM与I-NLM的迭代非局部平均滤波的方法得到的图像较模糊且含有一定的噪声，边缘保持的也不够好。用II-NLM的方法得到的结果对比度比较清晰，边缘以及图像的纹理保持的较好。对于图2第一行“Barbara”图像来说用II-NLM的去噪方法得到的图像纹理更清晰一些含有的噪声更少一些；对于图2第二行分片光滑的“Plane”图像去噪，用II-NLM模型边缘保持的较好，对比度比较清晰。表1为用不同方法对图像进行去噪的峰值信噪比比较。从图2和表1可以看出，用笔者提出的改进的迭代非局部平均滤波的方法对图像去噪具有更好的效果。表1 不同方法图像的去噪结果峰值信噪比（db）NLMI-NLMII-NLMBarbara27.636927.972028.3396Plane27.144128.022728.2374House27.671428.336629.04084 结论本文提出了一种改进迭代非局部平均滤波的方法。该方法权系数的计算以及加权平均所用的图像均是由迭代更新得到的图像所决定的。改进的方法不仅对权系数进行迭代更新而同时相应的加权平均所用的图像也是迭代更新后的图像，这样权系数就对应于加权平均所用的图像。用本文提出的改进的迭代非局部平均滤波的方法对图像去噪具有更好的效果。图1. Barbara与Plane原图以及加噪声方差为25的带噪图像。图2. 用NLM，I-NLM以及II-NLM模型得到的去噪结果。参考文献1 P. Perona and J. Malik. Scale space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12(7):629639, 1990. 2 孙晓丽,宋国乡,姜东焕.基于形态学的自适应扩散滤波方法. 西安电子科技大学学报,2007,34(2):312-316.3 L. Rudin, S. Osher, and E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Phys. D, 60:259268, 1992. 4 李敏 冯象初，基于总变分和各向异性扩散方程的图像恢复模型，西安电子科技大学学报, 2006, 33(5): 759-762.5 L. P. Yaroslavsky. Digital picture processing an introduction. Springer, 1985.6 D. Donoho. De-noising by soft-thresholding. IEEE Transactions on Information Theory, 41:613627, 1995. 7 Y. Meyer. Oscillating patterns in image processing and nonlinear evolution equations. AMS University Lecture Series, 22, 2002. 8 A. Buades B. Coll and J. M. Morel. A non-local algorithm for image denoising, 2005. CVPR 2005. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 9 A. Baudes, B. Coll and J. M. Morel. O