（全面突破）高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 8.5直线、平面垂直的判定及其性质学案.doc

8.5直线、平面垂直的判定及其性质考情分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。基础知识1判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；垂直于同一平面的两条直线平行。2线面垂直： 定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面垂直记作：l。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。3面面垂直：两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。注意事项1.垂直问题的转化关系2. (1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】下列命题中错误的是()a. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c. 如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案：d解析：对于命题a，在平面内存在直线l平行于平面与平面的交线，则l平行于平面，故命题a正确对于命题b，若平面内存在直线垂直于平面，则平面与平面垂直，故命题b正确对于命题c，设m，n，在平面内取一点p不在l上，过p作直线a，b，使am，bn.，am，则a，al，同理有bl.又abp，a，b，l.故命题c正确对于命题d，设l，则l，但l.故在内存在直线不垂直于平面，即命题d错误，故选d.【变式1】 如图，已知bd平面abc，mc綉bd，acbc，n是棱ab的中点求证：cnad.证明bd平面abc，cn平面abc，bdcn.又acbc，n是ab的中点cnab.又bdabb，cn平面abd.而ad平面abd，cnad.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在三棱锥dabc中，若abbc，adcd，e是ac的中点，则平面adc与平面bde的关系是_答案：垂直解析：deac且beac.故ac平面bde.故平面adc平面bde.【变式2】 如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中点证明：平面abm平面a1b1m.证明a1b1平面b1c1cb，bm平面b1c1cb，a1b1bm，由已知易得b1m，又bm，b1b2，b1m2bm2b1b2，b1mbm.又a1b1b1mb1，bm平面a1b1m.而bm平面abm，平面abm平面a1b1m.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】已知平面，和直线m，给出下列条件：m；m；m；.(1)当满足条件_时，有m；(2)当满足条件_时，有m(填所选条件的序号)答案：(1)(2)解析：(1)，m，m.(2)，m，m.【变式3】 如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde. 证明(1)设ac与bd交于点g.因为efag，且ef1，agac1.所以四边形agef为平行四边形，所以afeg.因为eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)如图，连接fg.因为efcg，efcg1，且ce1，所以四边形cefg为菱形所以cfeg.因为四边形abcd为正方形，所以bdac.又因为平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef. 所以cfbd.又bdegg.所以cf平面bde.考向四线面角【例4】如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上(1)求证：平面aec平面pdb；(2)当pdab，且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小 (1)证明四边形abcd是正方形，acbd.pd底面abcd，pdac.又pdbdd，ac平面pdb.又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)解设acbdo，连接oe.由(1)知，ac平面pdb于点o，aeo为ae与平面pdb所成的角点o、e分别为db、pb的中点，oepd，且oepd.又pd底面abcd，oe底面abcd，oeao.在rtaoe中，oepdabao，aeo45.即ae与平面pdb所成的角为45. 求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解【训练4】如图，已知dc平面abc，ebdc，acbceb2dc2，acb120，p，q分别为ae，ab的中点(1)证明：pq平面acd；(2)求ad与平面abe所成角的正弦值(1)证明因为p，q分别为ae，ab的中点，所以pqeb.又dceb，因此pqdc，pq平面acd，dc平面acd，从而pq平面acd.(2)解如图，连接cq，dp.因为q为ab的中点，且acbc，所以cqab.因为dc平面abc，ebdc，所以eb平面abc.因此cqeb，又abebb，故cq平面abe.由(1)有pqdc，又pqebdc，所以四边形cqpd为平行四边形，故dpcq，因此dp平面abe，dap为ad和平面abe所成的角，在rtdpa中，ad，dp1，sindap.因此ad和平面abe所成角的正弦值为.重难点突破【例4】如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60，e，f分别是ap，ad的中点求证：(1)直线ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.解析(1)在pad中，因为e，f分别为ap，ad的中点，所以efpd.又因为ef平面pcd，pd平面pcd，所以直线ef平面pcd.(2)如图，连结bd.因为abad，bad60，所以abd为正三角形因为f是ad的中点，所以bfad.因为平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bf平面pad.又因为bf平面bef，所以平面bef平面pad. 巩固提高1.已知m是平面的一条斜线，点a，l为过点a的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()a. lm，lb. lm，lc. lm，ld. lm，l答案：c解析：设m在平面内的射影为n，当ln且与无公共点时，lm，l.2.设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()a. 若，n，mn，则mb. 若m，n，mn，则nc. 若n，n，m，则md. 若m，n，mn，则答案：c解析：与、两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与平行，故a错；对于b，存在n情况，故b错；d，存在情况，故d错由n，n，可知，又m，所以m，故c正确，选c.3.平面平面的一个充分条件是()a. 存在一条直线l，l，lb. 存在一个平面，c. 存在一个平面，d. 存在一条直线l，l，l答案：d解析：由a项可推出；由b项可推出；由c项可推出或，均不是的充分条件故应选d.4.如图，已知六棱锥pabcdef的底面是正六边形，pa平面abcdef，pa2ab，则下列结论正确的是()a. paadb. 平面abcdef平面pbcc. 直线bc平面paed. 直线pd与平面abcdef所成的角为30答案：a解析：因为pa平面abcdef，所以paad，故a正确；b项中两个平面不垂直；c项中，ad与平面pae相交，bcad，故c错；d项中，pd与平面abcdef所成的角为45，故d错故选a.5.如图，以等腰直角三角形abc斜边bc上的高ad为折痕，把abd和ac