2025学年湖北省宜昌市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析

2025学年湖北省宜昌市高一下期末考试数学模拟试卷及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{x|(x+1)(x2)\lt0,x\inZ\}\)，则\(A\cupB=(\quad)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{1,2\}\)C.\(\{0,1,2,3\}\)D.\(\{1,0,1,2,3\}\)答案：C解析：解不等式\((x+1)(x2)\lt0\)，令\((x+1)(x2)=0\)，则\(x=1\)或\(x=2\)，二次函数\(y=(x+1)(x2)=x^{2}x2\)开口向上，所以不等式的解集为\(1\ltx\lt2\)，又因为\(x\inZ\)，所以\(B=\{0,1\}\)。已知\(A=\{1,2,3\}\)，根据并集的定义\(A\cupB=\{x|x\inA或x\inB\}\)，可得\(A\cupB=\{0,1,2,3\}\)。2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}|=(\quad)\)A.\(5\sqrt{3}\)B.\(3\sqrt{5}\)C.\(2\sqrt{5}\)D.\(2\sqrt{2}\)答案：B解析：因为\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，根据两向量平行的坐标关系：若\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)则\(x_1y_2x_2y_1=0\)，所以\(1\times4(2)x=0\)，即\(4+2x=0\)，解得\(x=2\)，则\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(1(2),24)=(3,6)\)。根据向量模长公式：若\(\overrightarrow{m}=(x,y)\)，则\(|\overrightarrow{m}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)。3.已知\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos\alpha=(\quad)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：A解析：根据三角函数的平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=1\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)，所以\(\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\)。因为\(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中，余弦值为负，所以\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=24\)，则\(S_9=(\quad)\)A.36B.72C.144D.288答案：B解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，根据等差数列的性质：若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_7=2a_5\)，已知\(a_3+a_5+a_7=24\)，即\(2a_5+a_5=3a_5=24\)，解得\(a_5=8\)。根据等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)，又因为\(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=9\times8=72\)。5.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象可由函数\(y=\sin2x\)的图象\((\quad)\)A.向左平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位长度得到B.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)个单位长度得到C.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度得到D.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度得到答案：C解析：根据函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”。设\(y=f(x)=\sin2x\)，则\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})\right]=f(x+\frac{\pi}{6})\)。所以函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象可由函数\(y=\sin2x\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度得到。6.在\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(A=30^{\circ}\)，则\(B=(\quad)\)A.\(60^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)C.\(30^{\circ}\)D.\(30^{\circ}\)或\(150^{\circ}\)答案：B解析：根据正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，已知\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(A=30^{\circ}\)，则\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\sqrt{3}\times\sin30^{\circ}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\times\frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因为\(b\gta\)，根据大边对大角，所以\(B\gtA\)，又因为\(0^{\circ}\ltB\lt180^{\circ}\)，所以\(B=60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)。7.已知函数\(f(x)=x^33x+1\)，则\(f(x)\)的单调递减区间是\((\quad)\)A.\((1,1)\)B.\((1,2)\)C.\((\infty,1)\)D.\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)答案：A解析：对函数\(f(x)=x^33x+1\)求导，根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n1}\)，可得\(f^\prime(x)=3x^23\)。令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x^23\lt0\)，化简得\(x^21\lt0\)，因式分解为\((x+1)(x1)\lt0\)，令\((x+1)(x1)=0\)，则\(x=1\)或\(x=1\)，二次函数\(y=(x+1)(x1)=x^{2}1\)开口向上，所以不等式的解集为\(1\ltx\lt1\)，即\(f(x)\)的单调递减区间是\((1,1)\)。8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，则\(x+y\)的最小值为\((\quad)\)A.12B.16C.20D.24答案：B解析：因为\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，所以\(x+y=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)\)\(=1+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}+9\)\(=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\)。根据基本不等式：对于正实数\(a\)，\(b\)，有\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a=b\)时等号成立。所以\(\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2\sqrt{\frac{9x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\sqrt{9}=6\)，当且仅当\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)时等号成立。则\(x+y=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant10+6=16\)，联立\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\\\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\end{cases}\)，由\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)得\(y=3x\)，代入\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)得\(\frac{1}{x}+\frac{9}{3x}=1\)，即\(\frac{1}{x}+\frac{3}{x}=1\)，\(\frac{4}{x}=1\)，解得\(x=4\)，则\(y=12\)。所以\(x+y\)的最小值为\(16\)。二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是\((\quad)\)A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)B.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)C.若\(a\gtb\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，则\(ac\gtbd\)答案：CD解析：选项A：当\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)时，\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，但\(ac=1\times0=0\)，\(bd=(1)\times(2)=2\)，此时\(ac\ltbd\)，所以A错误。选项B：当\(a=1\)，\(b=2\)时，\(a\gtb\)，但\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，\(a^2\ltb^2\)，所以B错误。选项C：因为\(a\gtb\gt0\)，所以\(ab\gt0\)，不等式\(a\gtb\)两边同时除以\(ab\)，不等号方向不变，得到\(\frac{a}{ab}\gt\frac{b}{ab}\)，即\(\frac{1}{b}\gt\frac{1}{a}\)，也就是\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)，所以C正确。选项D：因为\(c\ltd\)，所以\(c\gtd\)，又因为\(a\gtb\)，根据不等式的可加性，\(a+(c)\gtb+(d)\)，即\(ac\gtbd\)，所以D正确。10.已知函数\(f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)，则下列说法正确的是\((\quad)\)A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称C.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上单调递减D.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称答案：AD解析：选项A：对于函数\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，在\(f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，A正确。选项B：若函数\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)关于直线\(x=x_0\)对称，则\(\omegax_0+\varphi=k\pi\)，\(k\inZ\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)，当\(k=1\)时，\(x=\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)，当\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(2\times\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\neqk\pi\)，所以\(f(x)\)的图象不关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称，B错误。选项C：令\(2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，当\(k=0\)时，单调递减区间为\([\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)，\([0,\frac{\pi}{2}]\)并不完全在单调递减区间内，所以C错误。选项D：若函数\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)关于点\((x_0,0)\)对称，则\(\omegax_0+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)，\(k\inZ\)，当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{12}\)，所以\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称，D正确。11.已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，公比为\(q\)，前\(n\)项和为\(S_n\)，则下列说法正确的是\((\quad)\)A.若\(q\gt1\)，则\(\{a_n\}\)单调递增B.若\(S_3=3\)，则\(a_2=\pm1\)C.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt0\)，\(b_n=\lna_n\)，则\(\{b_n\}\)是等差数列D.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt0\)，\(T_n\)为\(\{a_n\}\)的前\(n\)项积，则当且仅当\(a_{n+1}\geqslant1\)时，\(T_n\geqslantT_{n1}\)答案：BC解析：选项A：当\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)时，\(a_{n+1}a_n=a_1q^na_1q^{n1}=a_1q^{n1}(q1)\lt0\)，此时\(\{a_n\}\)单调递减，所以A错误。选项B：若\(S_3=3\)，当\(q=1\)时，\(S_3=3a_1=3\)，则\(a_1=1\)，\(a_2=1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_3=\frac{a_1(1q^3)}{1q}=a_1(1+q+q^2)=3\)，又\(a_2=a_1q\)，\(a_1=\frac{a_2}{q}\)，则\(\frac{a_2}{q}(1+q+q^2)=3\)，\(a_2(1+\frac{1}{q}+q)=3\)，由\(a_1(1+q+q^2)=3\)，当\(q=2\)时，\(a_1=3\)，\(a_2=6\)不满足，当\(q=\frac{1}{2}\)时，\(a_1=4\)，\(a_2=2\)不满足，根据等比数列性质\(S_3=a_1+a_2+a_3=a_2(\frac{1}{q}+1+q)=3\)，\(a_2^2=a_1a_3\)，\(S_3=\frac{a_2}{q}+a_2+a_2q=3\)，整理得\(a_2^23a_2q+q^2a_2=0\)，当\(q=1\)时\(a_2=1\)，当\(q=1\)时\(a_2=\pm1\)，所以\(a_2=\pm1\)，B正确。选项C：已知\(a_n=a_1q^{n1}\)，\(b_n=\lna_n=\ln(a_1q^{n1})=\lna_1+(n1)\lnq\)，\(b_{n+1}b_n=\left[\lna_1+n\lnq\right]\left[\lna_1+(n1)\lnq\right]=\lnq\)（常数），所以\(\{b_n\}\)是等差数列，C正确。选项D：\(T_n=a_1a_2\cdotsa_n\)，\(T_{n1}=a_1a_2\cdotsa_{n1}\)，\(T_n\geqslantT_{n1}\)即\(a_n\geqslant1\)，而不是\(a_{n+1}\geqslant1\)，所以D错误。12.已知函数\(f(x)=x^22x+2\)，\(g(x)=kx1\)，若对任意的\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)，使得\(f(x_1)\geqslantg(x_2)\)成立，则实数\(k\)的取值范围是\((\quad)\)A.\([2,2]\)B.\((\infty,2]\)C.\([2,+\infty)\)D.\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)答案：BD解析：对任意的\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)，使得\(f(x_1)\geqslantg(x_2)\)成立，等价于\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。先求\(f(x)=x^22x+2=(x1)^2+1\)，\(x\in[0,2]\)的最小值，当\(x=1\)时，\(f(x)_{\min}=1\)。再求\(g(x)=kx1\)，\(x\in[0,2]\)的最小值：当\(k=0\)时，\(g(x)=1\)，\(g(x)_{\min}=1\)，满足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。当\(k\gt0\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上单调递增，\(g(x)_{\min}=g(0)=1\)，满足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)。当\(k\lt0\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上单调递减，\(g(x)_{\min}=g(2)=2k1\)，由\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)，即\(1\geqslant2k1\)，移项得\(2\geqslant2k\)，解得\(k\leqslant1\)，又\(k\lt0\)，所以\(k\lt0\)。综合可得\(k\)的取值范围是\((\infty,2]\)；另一种情况，若从\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)严格推导：\(f(x)=(x1)^2+1\)，\(x\in[0,2]\)，\(f(x)_{\min}=1\)。\(g(x)=kx1\)，当\(k\geqslant0\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值\(g(0)=1\)，满足\(f(x)_{\min}\geqslantg(x)_{\min}\)；当\(k\lt0\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值\(g(2)=2k1\)，由\(1\geqslant2k1\)，得\(k\leqslant1\)，结合\(k\lt0\)；当考虑边界情况，若\(g(x)\)在\([0,2]\)上最小值要满足条件，当\(k\gt0\)时，令\(g(0)=1\)，当\(k\lt0\)时，令\(g(2)=2k1\leqslant1\)，解得\(k\leqslant1\)，若要保证对任意\(x_1\in[0,2]\)，存在\(x_2\in[0,2]\)满足条件，由\(f(x)_{\min}=1\)，\(g(x)=kx1\)，当\(k\geqslant2\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上\(g(x)_{\min}=g(0)=1\)满足；当\(k\leqslant2\)时，\(g(x)\)在\([0,2]\)上\(g(x)_{\min}=g(2)=2k1\leqslant5\)满足，所以\(k\)的取值范围是\((\infty,2]\cup[2,+\infty)\)。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,3)\)，若向量\(\overrightarrow{c}\)满足\((\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\parallel\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\perp(\overrightarro