数学人教版五年级下册《有趣而稀少的完美数》教学设计

有趣而稀少的完美数晋江第二实验小学 杜晓晴教学内容：人教版五年级下册第14页中“你知道吗？”教学目标：1、创设情境，让学生了解完美数，认识完美数的相关知识，在认知的过程中感受猜想和探究的重要性，让学生获得“乐学”的体验，树立“能学”的信心，促进学生思维品质的提升。2、使学生在学习完美数的过程中，进一步学会探索数学规律的方法。领略数学内在的神韵。感受到数学文化的熏陶和洗礼，激发学生对数学的兴趣，使学生发自内心的去欣赏数学、理解数学、热爱数学。教学过程：一、发现探索目标1、谈论引出课题，并引出本节课要研究学习的问题。二、经历探索过程：（一）认识完美数：1、通过寻找2至16这些数的因数认识真因数：对完美数的研究，还得从我们学过的因数知识开始：下面我们来看看2至18这些数的因数。课件出示：根据这些因数的特点，你们能不能给这些数分类呢？有的数的因数就只有一和它本身。这一类的数我们叫它什么数？质数有的数的因数，除了一和它本身以外还有别的数，我们称它为合数。嗯，根本因数的特点来分能分成质数和合数。下面我们去掉质数，剩下的都是合数。我们再来看看这些合数的因数，每个合数最小的因数都是几？最大的因数呢？是它本身。是的，任何自然数的因数中都有1和它本身，下面我们再把这些因数中与本身相等的因数也删去，余下的这些因数全都比原数更怎么样呢？数学家们把这些比本身更小的因数叫做这个数的真因数。出示：我们把小于一个自然数本身的因数叫做这个自然数的真因数想想看，这个真因数中的真与以前学过的真分数中的真有没有相似的意思？分子小于分母的分数我们叫它真分数，一个数里比它本身更小的因数我们把它叫做这个数的真因数。比如，4的真因数有，6的真因数有：好，整理出每个数的真因数后，下面你们动动笔把每个数的真因数相加一下，再把相加后的和与原数进行大小比较，看看有几种情况？学生动笔开始计算，汇报有哪几种情况，分别是哪些数？数学上，真因数之和小于本身的这样的数叫做亏数。真因数之和大于它本身的，这样的数叫做盈数，那么有没有既不盈余，又不亏欠的、也就是所有真因数之和等于它自己的数呢，（有，6）知道数学家们给这样的数取名什么数吗。说对了。所有真因数之和等于它本身的数呢，有个非常好听的名字叫做完美数。同学们，想想看，完美这个词我们平时都用来形容什么的？是呀，我们会用完美来形容很美好的人或事物，可是听到形容数还是第一次吧？在西方，完美数也被称为上帝之数。因为人们认为宇宙之所以这么完美是因为上帝创造它用了6天时间，而且人们认为6是属于美神唯纳斯的，象征着幸福美满。那么6是不是最小的完美数呢？把你的理由说说看。出示结论：6是最小的完美数。（二）了解完美数的稀少师：好，我们终于知道了什么叫完美数，请同学们估一下，一百以内还有完美数吗？会有几个？你认为呢？我先不说。下面呢，寻找第二个完美数任务呢就让同学们自己来完成？大家说说看，这次要从哪个数开始找起？我们刚才已经找到18啦，（19）你说呢？你们听得明白他话的意思吗？是呀，质数可以不用找了，因为去掉他本身以后，就只有一个真因数1了，是不可能符合完美数要求的。嗯，真是个细心的同学，我们做事情时就得这样认真思考。那现在就按照刚才同学提示，开始动手吧，看谁最快把下一个完美数发现出来！好象不少同学找出来了是吗？好的，一起回答，你们找到的第二个完美数是几？那我们来验证一下吧。根据学生情况推出第二个完美数28。验证28。恭喜你们，这么快就找到了二个完美数，但是呀，如果继续找下去，100以内也就只有这两个了。接下去第三个完美数是三位数，再猜猜看一千以内这样的完美数会有几个？答案给你们吧，就一个，它是，展示496，个位数是几？猜一猜，下一个完美数是几位数，个位数是几？生：下一个完美数一定是一个四位数，个位数是8。因为前面的数分别是一位数、二位数、三位数，个位数分别是6，8，6。（课件揭晓答案：8128。）生继续猜：接下来的是五位数，个位数为6。师：同学们请想想，如果照这样猜下去，一位数、两位数、三位数中都各有一个完美数，那完美数也还不算稀少呀？（看来，完美数的位数还真不是我们所想象的这样。）师：接下来的完美数有（课件依次出示以下完美数）：130816（六位数）、2096128（七位数）、33550336（八位数）、8589869056（十位数）、137438691328（十二位数）、2305843008139952128（十九位数）课件同时出示：在40000000里，数学家们只找到7个完美数。看一看，我们刚才已经有了四个呢，接下去的是哪三个呢？同学们，40000000这个数的范围大不大呀？可是找到的完美数就才7个。够稀罕了吧？之所以只写到这，是因为接下去的就37位数，再接下去是54位数，再接下去是65位数，再下去是314位，这么大的数写出来就很麻烦的，更能想象出当初数学家们寻找时有多么艰难。要从几十亿数中找出这些完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？ 生：好奇心 。是的，好奇心也有，对数学的迷恋，还有执着，促使着几千百年来的无数的数学家们在不断探寻。我们的科学和社会才会进步。这些完美数的位数变化有规律吗？再来看看这些完美数的个位数：看看是否有你们刚才猜想的特点？生：看了这组完美数，我有这样一个发现：把完美数按从小到大的顺序排列后，它们的位数并没有什么规律，但它们的个位数不是6就是8，而且个位数是8时，末两位一定是28。末位都是6或8，那说明这些完美数都是什么数？（偶数）师：“又一个了不起的发现，你们的想法和数学家的想法完全一样。下面我们来听一段完美数的知识介绍。”（三）探索完美数的有趣性：师：同学们，到此你们对问题“什么叫完美数”以及“为什么说完美数非常稀少？”应该明白了吧？师：“通过刚才的学习，我们初步掌握了完美数的有关知识。你们还能找出理由，来说明完美数有趣吗？”比如，6=1+2+3，1、2、3这3个数除了是6的真因数外，还有什么特点？”生：它们是6的真因数， 也是3个连续的自然数。师：那想一想28是否也能写成这样连续自然数的和呢？口算或是拿出计算器算一下吧；28=1+2+3+4+5+6+7 算完后的同学坐直，面向老师，你们认为28是否也能写成连续的自然数的和呢？嗯，真神奇呀。再试一个？496课件出示：496=1+2+3+2930+31为了节省时间能用计算器。好，汇报一下第三个完美数，496能不能？课件展示。第四个完美数也是这样：8128=1+2+3+125126+127 下边的省略号表示什么？师：我们可以得出一个什么结论呢？生：每个完美数都可以写成从1开始的几个连续自然数之和。这一点有趣吗？完美数还有哪些神奇之处呢？请看：完美数6的因数有：1、2、3、6，而1/（ ）+1/（ ）+1/（ ）=1；如果老师要让你们从四个因数中挑出三个填入旁边的算式里，你们认为应当挑哪三个，再算一算等式是否成立？和学生们一起用课件演示计算过程。完美数28的因数有1、2、4、7、14、28，接下来我们从28的因数中选出五个因数填入这个算式，让等式成立，应当填上几，试着算一下：1/（ ）+1/（ ）+1/（ ）+1/（ ）+1/（ ）=1；请同学们在本子上算一下好吗？和学生们一起用课件演示计算过程。完美数496的因数有1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，它也能写成这么一个算式：1/21/41/81/2481/496=1；师：你们从中又能发现完美数的什么神奇之处呢？生：从中我发现：每个完美数的所有因数的（除1之外）倒数之和等于1。这点也很神奇的。师：好，还有神奇之处呢，请看： 281333496133353738128133353133153我们最近也也学了立方数的算法，不信你就试试吧？师：观察上面的算式，算一算，验证一下等式成立吗？你们还能发现完美数的新的神奇之处吗？生1：完美数可以写成若干个连续奇数的立方的和。师：真的每个完美数都能这样吗？生2：不对，6不能。生3：我补充一下，除6以外，完美数都可写成连续奇数的立方和。三、交流探索感受，了解相关数学史料师：同学们，通过刚才的学习，你们对完美数有什么感受？生1：完美数太稀少了！（是呀，几千年下来多少数学家共同寻找也就才找到46个，板书46，而且在四千万的范围里也就仅仅7个）生2：完美数太神奇和有趣的！（板书，6=1+2+3）生3：完美数真的太完美了！想不想知道是谁最早发现了完美数的？出示毕达哥拉斯课件：师：毕达哥拉斯是第一个发现完美数的数学家，但是过后有许许多的数学家和爱好者都感兴趣，都致力于完美数的研究。数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西 ，看到内在的神奇和美。就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过：把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠。我们今天学的完美数也属于皇冠上的一颗明珠哦。因为关于这颗明珠还有许许多多的未解之谜，比