浙江省台州市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省台州市高考 数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1已知向量=（1，2），=（x，y）则“x=2且y=4”是“”的（） a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件2在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c若a=，b=2，b=，则a的值为（） a b c d 3一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（） a 16 b 32 c 48 d 964现定义an=5n+（）n，其中n，1，则an取最小值时，n的值为（） a b c d 15若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（） a 2 b 1 c 0 d 26若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（） a 12 b 12 c 8 d 87设实数x，y满足则的取值范围为（） a ，1 b （，11，+） c 1，1 d 1，8在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，若e，f为bd1的两个三等分点，g为长方体abcda1b1c1d1表面上的动点，则egf的最大值是（） a 30 b 45 c 60 d 90二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中912题，每小题6分，1315题，每小题6分）9设集合p=xr|x216，m=xr|2x8，s=xr|log5x1，则pm=；ps=；crm=10设f1，f2为双曲线c：=1（a0）的左、右焦点，点p为双曲线c右支上一点，如果|pf1|pf2|=6，那么双曲线c的方程为；离心率为11已知圆c：x2+y2=25和两点a（3，4），b（1，2），则直线ab与圆c的位置关系为，若点p在圆c上，且sabp=，则满足条件的p点共有个12已知|an|是首项和公差均为1的等差数列，s3=a1+a2+a3，则a3=，s3的所有可能值的集合为13有三家工厂分别位于a、b、c三点，经测量，ab=bc=5km，ac=6km，为方便处理污水，现要在abc的三条边上选择一点p处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ap、bp、cp则ap+bp+cp的最小值为km14已知f（x）=则不等式f（x2x）5的解集为15如图，c、d在半径为1的圆o上，线段ab是圆o的直径，则的取值范围为三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16设abc的三内角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x），且f（a）=1（）求a的大小；（）若a=1，求的最小值17如图，在五边形abcde中，abbc，aebcfd，f为ab的中点，ab=fd=2bc=2ae，现把此五边形abcde沿fd折成一个60的二面角（）求证：直线ce平面abf；（）求二面角ecdf的平面角的余弦值18如图，已知椭圆c：+y2=1，过点p（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆c交于两个不同的点m、n（）设点a（0，2），k=1求amn的面积；（）设点b（t，0），记直线bm、bn的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k（k1+k2）k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由19设数列an的前n项和sn，sn=2an+n4（nn+，r），且数列an1为等比数列（）求实数的值，并写出数列an的通项公式；（）（i）判断数列（nn+）的单调性；（ii）设bn=，数列bn的前n项和为tn，证明：t2n20已知函数f（x）=ax2+x|xb|（）当b=1时，若不等式f（x）2x1恒成立求实数a的最小值；（）若a0，且对任意b1，2，总存在实数m，使得方程|f（x）m|=在3，3上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1已知向量=（1，2），=（x，y）则“x=2且y=4”是“”的（） a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=2，y=4”的关系即可解答： 解：若“”，则满足y=2x，由x=2，y=4能推出y=2x，是充分条件，由y=2x推不出x=2，y=4，不是必要条件，故选：b点评： 本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题2在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c若a=，b=2，b=，则a的值为（） a b c d 考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 由已知及正弦定理可解得sina=，结合a的范围，利用三角形中大边对大角即可求得a的值解答： 解：由已知及正弦定理可得：sina=，由于：0a，可解得：a=或，因为：a=b=2，利用三角形中大边对大角可知，ab，所以：a=故选：d点评： 本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角知识的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查3一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（） a 16 b 32 c 48 d 96考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积解答： 解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，ab=2，cd=4，ad=4，棱锥的高为vd=4，则该四棱锥的体积v=16，故选：a点评： 本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键4现定义an=5n+（）n，其中n，1，则an取最小值时，n的值为（） a b c d 1考点： 数列递推式分析： 对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列an=5n+（）n为递增数列，由此可得an取最小值时n的值解答： 解：an=5n+（）n，令f（n）=5n+（）n，（n0），数列an=5n+（）n为递增数列，则当n，1，且an取最小值时，n的值为故选：a点评： 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题5若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（） a 2 b 1 c 0 d 2考点： 函数零点的判定定理专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=a有且只有一个根，令f（x）=|x|+log2（x2+2），可判断f（x）是偶函数，f（x）f（0）=1，从而可得a=1解答： 解：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=a有且只有一个根，令f（x）=|x|+log2（x2+2），则f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，故f（x）f（0）=1；故方程|x|+log2（x2+2）=a有且只有一个根时，a=1；故a=1故选b点评： 本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，同时考查了函数的性质的判断，属于基础题6若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（） a 12 b 12 c 8 d 8考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为1，利用韦达定理求出abc的值解答： 解：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为1，故1+3=，13=，=1，即b=4a、c=3a，代入=1得a=1，b=4，c=3，abc=12，故选：b点评： 本题主要考查函数图象的应用，重点考查识图的能力关键是从图象的特点入手，找出函数所要满足的性质7设实数x，y满足则的取值范围为（） a ，1 b （，11，+） c 1，1 d 1，考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论解答： 解：=，设k=，则k的几何意义为区域内的点到d（2，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ad的斜率最大，由，解得，即a（4，3），此时ad的斜率最大，为k=，即k，则2或0，则11或11，01或10，即01或10，当y=2时，=0，当x=2，y=0，对应的=，综上11，故选：c点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键难度较大8在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，若e，f为bd1的两个三等分点，g为长方体abcda1b1c1d1表面上的动点，则egf的最大值是（） a 30 b 45 c 60 d 90考点： 棱柱的结构特征专题： 数形结合；空间角分析： 根据题意，画出图形，结合图形得出当动点g为长方体的上下两个面的中心时，efg最大，最大值为90解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，所以长方体的体对角线bd1=3；设bd1的中点为o，因为e，f是bd1的三等分点，所以oe=of=，且长方体的高为1；现以ef为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；因此，当g位于这两个公共点处时，efg最大，此时ef为直径，所以efg=90；若g在长方体表面的其它位置时，则g必在该球的外部，efg必小于90；所以efg的最大值为90故选：d点评： 本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中912题，每小题6分，1315题，每小题6分）9设集合p=xr|x216，m=xr|2x8，s=xr|log5x1，则pm=x|4x4；ps=x|0x5；crm=x|x4考点： 交集及其运算；并集及其运算专题： 集合分析： 求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可解答： 解：p=xr|x216=x|4x4，m=xr|2x8=x|x3，s=xr|log5x1=x|0x5，则pm=x|x4，ps=x|0x4，crm=x|x4，故答案为：x|4x4，x|0x5，x|x4点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础10设f1，f2为双曲线c：=1（a0）的左、右焦点，点p为双曲线c右支上一点，如果|pf1|pf2|=6，那么双曲线c的方程为3；离心率为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可解答： 解：f1，f2为双曲线c：=1（a0）的左、右焦点，点p为双曲线c右支上一点，如果|pf1|pf2|=6，可得a=3，双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=故答案为：3；点评： 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力11已知圆c：x2+y2=25和两点a（3，4），b（1，2），则直线ab与圆c的位置关系为相交，若点p在圆c上，且sabp=，则满足条件的p点共有4个考点： 直线和圆的方程的应用专题： 解三角形；直线与圆分析： 求出直线ab的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线ab的距离，与半径比较即可判断ab与圆c的关系；求出ab的长，运用三角形的面积公式，求得p到直线ab的距离，即可判断p的个数解答： 解：直线ab的斜率为k=，即有ab：y4=（x3），即为x2y+5=0，圆心c（0，0）到直线ab的距离为=5，则直线ab和圆c相交；由于|ab|=2，sabp=，则d=，即有d=，即p到直线ab的距离为，而c到直线ab的距离为，且5，即有在直线ab的两侧均有两点到直线ab的距离为，则满足条件的p点共有4个故答案为：相交；4点评： 本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题12已知|an|是首项和公差均为1的等差数列，s3=a1+a2+a3，则a3=3，s3的所有可能值的集合为6，4，2，0，2，4，6考点： 等差数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由题意，|a3|=3，所以a3=3，由a1=1，a2=2，s3=a1+a2+a3，可得s3的所有可能值解答： 解：由题意，|a3|=3，所以a3=3，因为a1=1，a2=2，s3=a1+a2+a3，所以s3的所有可能值为6，4，2，0，2，4，6，故答案为：3；6，4，2，0，2，4，6点评： 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础13有三家工厂分别位于a、b、c三点，经测量，ab=bc=5km，ac=6km，为方便处理污水，现要在abc的三条边上选择一点p处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ap、bp、cp则ap+bp+cp的最小值为kmkm考点： 解三角形的实际应用专题： 计算题；解三角形分析： 由题意，ab=bc=5km，ac=6km，所以ac上的高为4km，ab，ac上的高都为km，即可求出ap+bp+cp的最小值解答： 解：由题意，ab=bc=5km，ac=6km，所以ac上的高为4km，ab，ac上的高都为km，4+65+，ap+bp+cp的最小值为km故答案为：km点评： 本题考查ap+bp+cp的最小值，考查学生的计算能力，比较基础14已知f（x）=则不等式f（x2x）5的解集为（1，2）考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 讨论分段函数的单调性，可得f（x）在r上连续，且为递减函数，又f（2）=5，不等式f（x2x）5即为f（x2x）f（2），由单调性可去掉f，解二次不等式即可得到解集解答： 解：当x0时，f（x）=x24x+3=（x2）21为递减函数，当x0时，f（x）=x22x+3=（x+1）2+4为递减函数，且x=0时，f（0）=3，则f（x）在r上连续，且为递减函数，又f（2）=5，不等式f（x2x）5即为f（x2x）f（2），由f（x）为r上的单调递减函数，可得x2x2，解得1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）点评： 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性和运用：解不等式，同时考查二次不等式的解法，属于中档题15如图，c、d在半径为1的圆o上，线段ab是圆o的直径，则的取值范围为4，考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 建立直角坐标系，设出c的坐标，求出，然后化简，即可求解它的范围解答： 解：如图建立平面直角坐标系：设d（cos，sin），cab=，=（a，b），则tan=，a=2cos2，b=2cossin，=（a，b）（cos1，sin）=acos+bsina=sin（+）a，其中tan=，+=，从而+，=sin（+）a的最大值是：a，最小值是：a，最大值为：a=2cos2=2cos2cos2=2+，当=时，取最大值；最小值是：a=2cos2cos2=+，当=0时，取最小值4；故答案为：4，点评： 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16设abc的三内角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x），且f（a）=1（）求a的大小；（）若a=1，求的最小值考点： 基本不等式；正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用分析： （i）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=，f（a）=1，且a（0，），即可得出（ii）由余弦定理：a2=b2+c22bccosa，再利用基本不等式即可得出解答： 解：（i）函数f（x）=cosx+sin（x）=cosx+sinx=sinx+=，f（a）=1，且a（0，），解得a=（ii）由余弦定理：a2=b2+c22bccosa，1=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时取等号2，的最小值为2点评： 本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17如图，在五边形abcde中，abbc，aebcfd，f为ab的中点，ab=fd=2bc=2ae，现把此五边形abcde沿fd折成一个60的二面角（）求证：直线ce平面abf；（）求二面角ecdf的平面角的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）先证明四边形abce为平行四边形得到ceab，从而直线ce平面abf；（）取fd得中点g，如图作辅助线先证明df平面abf，从而df平面ecg，所以dfeh，又ehcd，所以ehcd，又hicd，所以cd平面ehi，从而cdei，从而eih为二面角ecdf的平面角代入数据计算即可解答： （）证明：aedf，bcfd，aebc，又bc=ae，四边形abce为平行四边形，ceab又ce平面abf，ab平面abf，所以直线ce平面abf；（）解：如图，取fd得中点g，连接eg、cg，在ceg中，作ehcg，垂足为h，在平面bcdf中，作hicd，垂足为i，连接eiae=fg=bc，aefgbc，afeg，bfcg又dfaf，dfbf，故df平面abf，所以df平面ecg，ehcg，dfeh，eh平面cgd，ehcd，又hicd，cd平面ehi，所以cdei，从而eih为二面角ecdf的平面角设bc=ae=1，则fg=gd=cg=ge=1，由于egc为二面角cfde的平面角，即egc=60，所以在ceg中，hg=ch=，eh=，hi=chsin45=，所以ei=，所以coseih=点评： 本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题18如图，已知椭圆c：+y2=1，过点p（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆c交于两个不同的点m、n（）设点a（0，2），k=1求amn的面积；（）设点b（t，0），记直线bm、bn的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k（k1+k2）k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）当k=1时，写成直线l的方程，再结合椭圆方程即得点n（0，1），m（，），从而可得samn=；（）设直线an的方程为y=k（x1），m（x1，y1），n（x2，y2），结合椭圆方程可得关于x的一元二次方程得（1+4k2）x28k2x+4k24=0，根据根的判别式及韦达定理及直线bm、bn的斜率分别为k1、k2，可得（k1+k2）k=，分2t8=0与2t80两种情况讨论即可解答： 解：（）当k=1时，直线l的方程为y=x1，由 得x1=0，即点n（0，1），m（，），所以|am|=3，samn=；（）设直线an的方程为y=k（x1），m（x1，y1），n（x2，y2），由 得（1+4k2）x28k2x+4k24=0，则=16（3k2+1）0，及，由，得（k1+k2）k=k（+）=k2（+）=若2t8=0，则t=4，（k1+k2）k=0为定值；当2t80，则t24=0，（k1+k2）k=为定值；所以，当t=4时，（k1+k2）k=0；当t=2时，（k1+k2）k=1；当t=2时，（k1+k2）k=点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，利用一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属难题19设数列an的前n项和sn，sn=2an+n4（nn+，r），且数列an1为等比数列（）求实数的值，并写出数列an的通项公式；（）（i）判断数列（nn+）的单调性；（ii）设bn=，数列bn的前n项和为tn，证明：t2n考点： 数列与不等式的综合；数列递推式专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （）由sn+1sn易得an+1=2an，所以an+11=2an1=，又数列an1为等比数列，得=1从而an1=2n，则an=1+2n；（）（i）作差=即得结论；（ii）由bn=，可知t2n=（）+（）+（），利用=，将其放缩即可解答： 解：（）由sn=2an+n4，得sn+1=2an+1+（n+1）4，两式相减得an+1=2an+12an+，即an+1=2an，所以an+11=2an1=，又数列an1为等比数列，所以，即=1所以a1=3，a11=2，所以an1=2n，故数列an的通项公式为：an=1+2n；（）（i）=，又2n，2n+1单调递增，数列（nn+）为单调递减数列；（ii）bn=，t2n=b1+b2+b2n=（）+（）+（），由（i）得，即，所以=，所以t2n（）+（+）=（）+=点评： 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属