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（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布 11.4 二项分布及其应用教师用书1相互独立事件(1)设a，b为两个事件，若p(ab)p(a)p(b)，则称事件a与事件b相互独立(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(a)p(b|a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与也都相互独立2二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验(2)一般地，在n次独立重复试验中，用x表示事件a发生的次数，设每次试验中事件a发生的概率为p，则p(xk)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量x服从二项分布，记为xb(n，p)，并称p为成功概率3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量x服从两点分布，则e(x)p，d(x)p(1p)(2)若xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()1甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()a. b. c. d.答案b解析设事件a：甲实习生加工的零件为一等品；事件b：乙实习生加工的零件为一等品，则p(a)，p(b)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)(1)(1).2(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()a. b. c. d.答案a解析所求概率pc()1(1)31.3(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件a，“乙去北京旅游”为事件b，又p( )p()p()1p(a)1p(b)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1p( )1.4(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_答案解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1，用x表示10次试验中成功的次数，则xb(10，)，e(x)10.题型一相互独立事件的概率例1(2016青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22千米的地铁票价如下表：乘坐里程x(单位：km)0x66x1212x22票价(单位：元)345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率解由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率p1，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率p1p11.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()a. b.c. d.答案d解析设ai (i1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜；b事件表示甲队获得冠军，则ba1a2，p(b)p(a1)p(a2).题型二独立重复试验例2甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立分别求甲队以30,31,32胜利的概率解设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件a，b，c，则p(a)，p(b)c2，p(c)c22.思维升华在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()a0.648 b0.432c0.36 d0.312答案a解析所求概率为c0.620.40.630.648.题型三二项分布的均值、方差例3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布列及均值e()解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p()1p，解得p.(2)由题意，得随机变量可能的取值为0,1,2,3，则p(0)3，p(1)c2，p(2)c2，p(3)3.随机变量的分布列为0123p故随机变量的均值e()0123.(或b(3，)，e()3.)思维升华在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率，列出分布列某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的均值为()a100 b200 c300 d400答案b解析记不发芽的种子数为y，则yb(1 000,0.1)，e(y)1 0000.1100.又x2y，e(x)e(2y)2e(y)200.16独立事件与互斥事件典例(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是_错解展示解析(1)设“甲夺得冠军”为事件a，“乙夺得冠军”为事件b，则p(a)，p(b)，由a、b是相互独立事件，得所求概率为p(a)p(b)p(ab).(2)所求概率pc()3()2.答案(1)(2)现场纠错解析(1)设“甲夺得冠军”为事件a，“乙夺得冠军”为事件b，则p(a)，p(b).a、b是互斥事件，p(ab)p(a)p(b).(2)设“第i次射击击中目标”为事件ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件a，则p(a)p(a1a2a345)p(1a2a3a45)p(12a3a4a5)32323.答案(1)(2)纠错心得(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”(2)区分独立事件与n次独立重复试验.1(2016宁波模拟)一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为()a. b. c. d.答案c解析设此射手未命中目标的概率为p，则1p4，所以p，故1p.2已知a，b是两个相互独立事件，p(a)，p(b)分别表示它们发生的概率，则1p(a)p(b)是下列哪个事件的概率()a事件a，b同时发生b事件a，b至少有一个发生c事件a，b至多有一个发生d事件a，b都不发生答案c解析p(a)p(b)是指a，b同时发生的概率，1p(a)p(b)是a，b不同时发生的概率，即事件a，b至多有一个发生的概率3甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()a. b.c. d.答案a解析设“甲命中目标”为事件a，“乙命中目标”为事件b，“丙命中目标”为事件c，则击中目标表示事件a，b，c中至少有一个发生又p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目标被击中的概率p1p( ).4(2016长春模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了x次球，则p(x12)等于()ac()10()2 bc()9()2cc()9()2 dc()10()2答案d解析“x12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此p(x12)c()9()2c()10()2.5(2017南昌质检)设随机变量x服从二项分布xb(5，)，则函数f(x)x24xx存在零点的概率是()a. b. c. d.答案c解析函数f(x)x24xx存在零点，164x0，x4.x服从xb(5，)，p(x4)1p(x5)1.6已知随机变量x服从二项分布，且e(x)2.4，d(x)1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为()a4,0.6 b6,0.4c8,0.3 d24,0.1答案b解析由二项分布xb(n，p)及e(x)np，d(x)np(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故选b.7如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案解析灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路设“a闭合”为事件a，“b闭合”为事件b，“c闭合”为事件c，则甲灯亮应为事件ac，且a，b，c之间彼此独立，且p(a)p(b)p(c)，由独立事件概率公式知p(ac)p(a)p()p(c).8设随机变量xb(2，p)，随机变量yb(3，p)，若p(x1)，则p(y1)_.答案解析xb(2，p)，p(x1)1p(x0)1c(1p)2，解得p.又yb(3，p)，p(y1)1p(y0)1c(1p)3.9(2016台州模拟)设事件a在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件a至少发生一次的概率为，则事件a恰好发生一次的概率为_答案解析设事件a发生的概率为p，由题意知(1p)31，解得p，则事件a恰好发生一次的概率为c()2.10国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_答案解析用a、b、c分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为p( )p()p()p().故至少有一人去北京旅游的概率为1.11(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数x的均值是_答案解析由题意可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为p1，2次独立试验成功次数x满足二项分布xb，则e(x)2.12某同学手里有三个球，依次投向编号为的三个盒子，每次投一个球假定该同学将球投进号盒子的概率为，投进号和号盒子的概率均为p(0p1)，且三个球是否投进是相互独立的记为该同学将球投进盒子的个数若p(0)，则随机变量的均值e()_，方差d()_.答案解析由p(0)(1)(1p)(1p)，0p1，得p，从而p(1)()2(1)c()2，p(2)c()2(1)()2，p(3)()2，所以e()0123，d()(0)2(1)2(2)2(3)2.13(2016西安模拟)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”，b表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知p(a)0.5，p(b)0.4，因为利润产量市场价格成本所以x所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.50.40.2，故x的分布列为x4 0002 00