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1 眼科病床的合理安排模型眼科病床的合理安排模型 摘要 本文根据题目的要求 在合理的假设下 采用规划的理论和方法建立数学模 型 并针对实际问题给出了最优的病床安排方案 问题一 从缩短患者的平均等待队长出发 结合排队论系统 对模型给出了 综合评价的三项数量指标 队长与等待队长 患者在医院的逗留时间和等待时间 病床周转率 问题二 从提高医院的病床周转率入手 构造了系统平均服务率矩阵 以迹 最大为目标 建立了系统服务率最优模型 利用此模型 我们给出了 08 年 8 月 17 日到 8 月 30 日两周时间的各类眼科疾病患者入院安排方案 新的方案 节省了 14 张病床 见表 1 显著地提高了医院病床的利用率 缩短了患者的等 待队长 从而说明了此规划模型的合理性和最优性 问题三 以问题二的模型为基础 详细解答了各类眼病患者的入院时间的期 望 并给出了一般病床安排模型下的患者入院时间的讨论方案 问题四 建立了休假系统病床安排模型 通过比较新的系统平均服务率矩阵 和原系统平均服务率矩阵 得出结论 两个问题的最优解相同 所以医院的 手术时间安排可以不必调整 问题五 分析数据 知各类眼科疾病就诊患者人数服从 Poisson 分布 确立 了患者逗留时间最短的病床比例分配模型 最后 对模型的优缺点进行了分析 提出了改进的方法 关键词 等待队长 病床周转率 系统平均服务率矩阵 系统服务率最优模型 2 1 问题的提出 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象 我们考虑某医院眼科病床的合理安 排的问题 该医院眼科门诊每天开放 住院部共有病床 79 张 眼科手术主要分四大类 白内障 视网膜疾病 青光眼和外伤 白内障手术较简单 而且没有急症 目前 每周一 三做白内障手术 此类病人的术前准备时间只需 1 2 天 做两只眼的 病人比做一只眼的要多一些 大约占到 60 外伤疾病通常属于急症 病床有空时立即安排住院 住院后第二天便会安排 手术 其他眼科疾病比较复杂 有各种不同情况 但大致住院以后 2 3 天内就可 以接受手术 主要是术后的观察时间较长 这类疾病手术时间可根据需要安排 一般不安排在周一 周三 由于急症数量较少 建模时这些眼科疾病可不考虑急 症 该医院眼科手术条件比较充分 在考虑病床安排时不考虑手术条件的限制 但考虑到手术医生的安排问题 通常情况下白内障手术与其他眼科手术 急症除 外 不安排在同一天做 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS First come First serve 规则安排住院 但等待住院病人队列却越来越长 我们希望能通过 数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题 以提高对医院资源的有效利 用 故提出以下问题 问题一 试分析确定合理的评价指标体系 用以评价该问题的病床安排模型 的优劣 问题二 试就该住院部当前的情况 建立合理的病床安排模型 以根据已知 的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院 并利用问题一中的 指标体系作出评价 问题三 能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况 在病人门诊时 即告知其大致入住时间区间 问题四 若该住院部周六 周日不安排手术 重新回答问题二 医院的手术 时间安排是否应作出相应调整 问题五 有人从便于管理的角度提出建议 在一般情形下 医院病床安排可 采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案 试就此方案 建立使得所有病 人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最短的病床比例分配模型 2 问题的分析 本文中病人在医院入院排队问题有如下特征 1 该医院眼科门诊每天开放 住院部共有病床 79 张 手术条件和医生条件 比较充分 在考虑病床安排时不考虑手术条件的限制 不考虑医生工作强度的限 制 故 79 张病床可同时全部使用 即病床的使用率达到 100 2 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS First come First serve 规则安排住院 数据表明系统交通强度大于 1 根据生灭过程的极限定理知此时 等待队长将无限增大 也就是等待入院的患者人数将无限增大 3 白内障患者只能在星期一和星期三做手术 该病的术前准备时间只有 1 2 天 过早入院将会造成对病床资源的浪费 青光眼和视网膜疾病患者的术前准备 时间是 2 到 3 天 手术不安排在星期一和星期三进行 入院时间对患者的整个治 疗时间影响微小 青光眼和视网膜疾病患者的术前准备时间和术后恢复期均较 3 白内障患者的更长 因此 服务于青光眼和视网膜疾病患者的病床周转期更长 4 各类眼疾患者的到达是相互独立 相继到达的时间间隔是随机的 一定 时间的到达服从 Poisson 分布 见图 1 图 1 各类眼疾病患者就诊人数分布的概率 5 由于白内障患者只能在星期一和星期三做手术 且术后恢复时间固定 因此白内障患者出院时间没有随机性 因此医院每天的出院人数分布曲线近似的 带有周期性 见图 2 4 图 2 出院人数分布曲线 对于问题一 要求给出定合理的评价指标体系 用以评价病床安排模型的优 劣 注意到白内障患者只能在星期一和星期三做手术 该病的术前准备时间只有 1 2 天 过早入院将会造成对病床资源的浪费 所以可以将病床的周转率作为一 项评价指标来限制病床资源的浪费 对于问题二 我们从提高病床周转次数 即病床服务率 和缩短患者在系统 内的平均逗留时间两方面考虑 来解决当前医院的等待队长无限增大的问题 由 前面的分析可知 青光眼和视网膜疾病患者的入院时间对解决上述问题帮助甚 微 因此 我们主要考虑白内障患者的入院时间 由于白内障患者的治疗周期短 我们可以通过提高此类患者入院的优先权限来提高病床的周转次数 即病床服务 率 此外 由于白内障患者的手术日期和治疗时间基本固定 因此我们可以考虑 规定白内障患者的入院日期 以免造成病床资源的浪费 问题四是在原有的手术日期安排上又加上了一个限制条件 可以看做是一个 休假系统的病床安排模型 如果用排队论系统来考虑问题五 它可以看作是三个 排队系统 其中服务台数 也是一个随机变量 并且任意两个排队 系统的服务台数的相关系数都是 1 3 模型假设 1 假设不考虑手术条件的限制 不考虑医生工作强度的限制 即 79 张病床 可同时全部使用 病床的使用率达到 100 2 由于急症数量较少 随机性强 不存在等待时间 建模时我们不考虑急 症 3 对白内障 双眼 患者 规定必须周一先做一只 周三再做另一只 在同一周内完成 5 4 青光眼和视网膜疾病患者不安排在星期一和星期三手术 4 符号说明 每天眼科的就诊人数 由数据分析知 服从泊松分布 第 天眼科就诊的人数 第 类眼科疾病患者每天就诊的人数 服从参数为的泊松分布 见图 1 星期 第 类眼科疾病患者的治疗时间 从入院开始到出院 不包含出院当 天 注 星期 0 代表星期天 每天出院的患者数 的分布见图 2 每天在医院逗留的患者 含等待入院及当天入院的患者 数 第 天在医院逗留的患者数 第 类眼科疾病患者每天在医院逗留的人数 第 类眼科疾病患者第 天在医院逗留的人数 每张病床在星期 接受第 类眼病患者的平均服务率 第 类病患者每天在医院逗留的时间 第 类眼科疾病患者 5 模型的建立及求解 5 1 综合评价体系的数量指标 根据前面对问题的分析 我们综合考虑各种眼科疾病的术前准备时间和治疗 时间的差异 结合排队论系统 给出以下三个评价指标 1 队长与等待队长 6 队长是指在医院系统中的患者 含等待入院及当天入院的患者 数 即 等待队长是指等待入院的患者数 它们都是随机变量 2 患者在医院的逗留时间和等待时间 患者在医院的等待时间是指患者从就诊到入院的这段时间 而逗留时间是指患者 从就诊到出院的这段时间 患者的等待时间和住院时间是相互独立的 3 病床周转率 病床周转率是指单位时间内病床周转次数 它反映了系统服务效率 显然 对于患者来说 逗留时间和等待时间越短越好 对于医院来说 病床 周转率越高 病床的利用率就越高 医院的资源就越节省 而不论是对于患者还 是对于医院 队长和等待队长都是他们十分关心的数量指标 希望有较小的队长 的等待队长 一个好的病床安排模型应满足 表示一周内出院患者人数 总和 表示每天就诊患者人数均值 注意到提高病床周转率可以增加单位时间 内的出院人数 从而降低平均等待队长和缩短患者的平均等待时间 所以我们评 价一个病床安排模型的优劣主要考虑病床周转率的高低 当前医院的病床安排分析 目前医院实行的是先到达先治疗的规则 过早入 院的白内障患者对病床资源造成浪费 降低了病床周转率 上述评价指标体系表 明当前医院的病床安排是不合理的 5 2 病床安排模型 病床使用情况是反映医院工作质量的主要内容之一 为了有效地利用医院的 资源我们需要合理配置床位 提高病床利用率 定义 1 设表示在第个星期中星期 入院的第 类眼病患者数 其 中 我们称 为病床安排矩阵 定义 2 设表示每张病床在星期 接受第 类眼病患者的平均服务率 其中 我们称 为系统平均服务率矩阵 7 易知 表示星期 入院的第 类眼病患者的平均治疗时间 定义 3 设矩阵 称为方阵 的迹 由于患者就诊人数 服从泊松分布 一周的就诊人数就与周次无关 出院人 数 的分布也不受影响 而系统平均服务率矩阵是常量矩阵 因此我们建立模 型时不考虑的约束 并简记为 简记为 系统服务率最优模型系统服务率最优模型 目标函数 约束条件 根据附表 1 计算得 系统平均服务率矩阵 模型中是周病床周转次数 它反映了系统服务率 模型的求解就是 寻求一个病床安排方案使得病床利用率达到最高 计算机模拟流程图如下 8 图 3 最优解 9 利用系统服务率最优模型得到的最优解重新安排了 08 年 8 月 17 日到 8 月 30 日这两周的各类患者入院时间 和原来的病床安排方案比较 节省了 14 张病 床 见表 1 表 1 白内障 白内障 双 青光眼和视网膜 疾病 出院 总人数 剩余床 位 2008 8 17 1 2 2 6 1 2008 8 18 4 0 0 3 0 2008 8 19 2 0 5 7 0 2008 8 20 0 0 9 9 0 2008 8 21 0 0 1 4 3 2008 8 22 0 0 1 8 10 2008 8 23 0 14 3 16 10 2008 8 24 5 2 5 9 7 2008 8 25 3 0 3 5 6 2008 8 26 2 0 2 2 4 2008 8 27 0 0 3 6 7 2008 8 28 0 0 5 10 12 2008 8 29 0 0 4 10 18 2008 8 30 0 5 11 2 14 19 5 3 以问题二中求得病床安排方案为例 患者的平均等待入院时间是小于 7 设 表示第 类眼科病患到来之前等待入院的同类病患人数 由于第一 二类患者的 入院时间和出院时间基本固定 因此 根据当时住院的同类病人的入院时间分布 即可找到出院的同类患者人数序列 比较的部分和大小即可确定患 者的入院日期 对于一般的病床安排方案 只有 系统才不会陷入无限排队状 态 此时以一个星期为时间段 医院就诊患者人数可看做是一个排 队系统 平均等待时间等于平均等待队长与的比值 5 4 休假系统病床安排模型 10 在住院部星期六和星期日不安排手术的情况下 系统平均服务率矩阵 比较和 只有和数值减少了 0 01 其它的元素均相同 于是 对任给的 总有 因此 本问题的最优解和问题二的最优解相同 即医院的手术时间安排可以 不必调整 模型解释 由于白内障患者的手术时间是在星期一和星期三 所以住院部星 期六和星期日不安排手术对白内障患者的治疗时间不产生影响 对于青光眼和视 网膜疾病患者 由于此类患者的治疗周期很长 12 天左右 而星期六和星期日 不安排手术最多只给治疗周期增加 2 天 不会使治疗周期发生较大波动 即不会 使病床服务率发生较大变化 5 5 病床比例分配模型 由前面的分析 第 类眼科疾病患者的到达服从参数 的 Poisson 流 由 附表 1 计算得 设为三类患者占用病床的比例 为 其中 由于每天的就诊人数和出院人数与周次无关 且出院人数的分布近似以 7 天为周期 因此我们以一周为基础 根据出院人数和 就诊人数及逗留时间的关系 得到下面规划 目标函数 约束条件 6 模型推广 这种有形现象不仅在医院系统中存在 电话局的占线问题 车站 码头等交 通枢纽的车船堵塞和疏导 故障机器的停机待修 水库的存贮调节等都是有形或 无形的排队现象 由于顾客到达和服务时间的随机性 可以说排队现象几乎是不 可避免的 多服务台休假排队的研究 不仅为经典排队论提供了新的活力与生机 还将进一步推动随机过程的理论研究和实际的应用 对于拥有多服务器的网络系统 可采取反馈优先策略 适当调节反馈概率 缩短信元从进入系统到最终离开系统的时间 从而能更好的满足信元的服务要 求 提高系统的服务质量 因此 该模型在网络信息时代具有一定的实用价值 7 模型的优缺点 由于急症数量较少 随机性强 不存在等待时间 我们认为每天就诊的急 11 症患者与出院的急诊患者人数相等 建模中没有考虑急症 故模型有一定的局限 性 参考文献 1 钱颂迪 运筹学 清华大学出版社 1996 2 唐应辉 唐小我 排队论 科学出版社 2006 12 附表 1 每天就诊人数数据分析 时间 白内障 白内障 双眼 青光眼 视网膜疾病 总和 7 月 13 日 1 1 1 3 6 7 月 14 日 1 3 1 4 9 7 月 15 日 3 2 2 3 10 7 月 16 日 1 2 1 2 6 7 月 17 日 1 6 1 3 11 7 月 18 日 2 4 1 3 10 7 月 19 日 3 1 2 3 9 7 月 20 日 3 1 0 3 7 7 月 21 日 2 5 0 0 7 7 月 22 日 3 0 1 1 5 7 月 23 日 5 2 2 5 14 7 月 24 日 2 0 1 4 7 7 月 25 日 1 2 0 2 5 7 月 26 日 2 0 2 0 4 7 月 27 日 2 2 1 2 7 7 月 28 日 0 1 4 5 10 7 月 29 日 1 1 2 1 5 7 月 30 日 2 1 0 1 4 7 月 31 日 0 1 4 4 9 8 月 1 日 0 4 1 3 8 8 月 2 日 1 1 0 4 6 8 月 3 日 1 3 2 5 11 8 月 4 日 1 3 0 1 5 8 月 5 日 2 0 1 2 5 8 月 6 日 4 5 0 4 13 8 月 7 日 4 4 1 4 13 8 月 8 日 0 1 1 5 7 8 月 9 日 1 1 0 2 4 8 月 10 日 2 2 1 1 6 8 月 11 日 0 1 1 4 6 8 月 12 日 3 3 0 1 7 8 月 13 日 1 5 1 6 13 8 月 14 日 0 3 1 1 5 8 月 15 日 1 2 2 5 10 8 月 16 日 1 3 0 2 6 8 月 17 日 1 2 0 2 5 8 月 18 日 4 4 1 1 10 8 月 19 日 2 4 1 7 14 8 月 20 日 2 1 0 4 7 13 时间 白内障 白内障 双眼 青光眼 视网膜疾病 总和 8 月 21 日 1 0 0 1 2 8 月 22 日 1 2 0 1 4 8 月 23 日 1 3 2 1 7 8 月 24 日 0 2 2 3 7 8 月 25 日 3 2 1 2 8 8 月 26 日 2 1 0 2 5 8 月 27 日 1 1 0 3 5 8 月 28 日 1 3 1 4 9 8 月 29 日 2 3 2 2 9 8 月 30 日 1 2 1 5 9 8 月 31 日 2 1 2 3 8 9 月 1 日 1 3 1 5 10 9 月 2 日 3 1 0 1 5 9 月 3 日 2 1 0 5 8 9 月 4 日 1 3 4 5 13 9 月 5 日 1 7 1 1 10 9 月 6 日 0 2 1 1 4 9 月 7 日 0 1 0 2 3 9 月 8 日 4 1 0 3 8 9 月 9 日 2 0 2 1 5 9 月 10 日 4 3 1 1 9 9 月 11 日 1 4 2 5 12 均值 1 64 2 18 1 03 2 79 7 64 方差 1 47 2 42 1 00 2 74 8 43 14 附表 2 每三天就诊人数数据分析 白内障 白内障 双眼 青光眼 视网膜疾病 7 13 7 15 5 6 4 10 7 16 7 18 4 12 3 8 7 19 7 21 8 7 2 6 7 22 7 24 10 2 4 10 7 25 7 27 5 4 3 4 7 28 7 30 3 3 6 7 7 31 8 2 1 6 5 11 8 3 8 5 4 6 3 8 8 6 8 8 8 10 2 13 8 9 8 11 3 4 2 7 8 12 8 14 4 11 2 8 8 15 8 17 3 7 2 9 8 18 8 20 8 9 2 12 8 21 8 23 3 5 2 3 8 24 8 26 5 5 3 7 8 27 8 29 4 7 3 9 8 30 9 1 4 6 4 13 9 2 9 4 6 5 4 11 9 5 9 7 1 10 2 4 9 8 9 10 10 4 3 5 9 11 1 4 2 5 方差 7 2905 7 333333333 1 3 8 79047619 均值 4 7619 6 3333 3 8 0952 15 附表 3 每周就诊人数的数据分析 白内障 白内障 双眼 青光眼 视网膜疾病 总数 第一周 7 13 7 19 12 19 9 21 61 第二周 7 20 7 26 18 10 6 15 49 第三周 7 27 8 2 6 11 6 15 38 第四周 8 3 8 9 13 17 5 23 58 第五周 8 10 8 16 8 17 6 18 49 第六周 8 17 8 23 12 16 4 17 49 第七周 8 24 8 30 10 14 7 21 52 第八周 8 31 9 6 10 18 9 10 47 第九周 9 7 9 11 11 9 5 0 25 均值 11 13 14 71 6 14 17 00 48 86 方差 12 98 10 79 3 14 17 71 49 13 附表 4 每天就诊人数分布的概率 0 1 2 3 4 5 6 7 白内障 0 1475 0 39340 24590 11480 08200 0164 白内障 双眼 0 0984 0 31150 21310 19670 09840 0492 0 0164 0 0164 青光眼 0 3279 0 40980 2131 0 0492 视网膜 0 0328 0 26230 18030 18030 14750 1639 0 0164 0 0164 16 附表 5 每天出院人数数据分析 时间 白内障 白内障双 青光眼视网膜疾病 出院总人数 7 30 4 4 7 31 1 1 8 1 1 1 8 2 4 4 8 3 2 2 8 4 1 1 2 8 5 2 2 8 6 3 1 2 6 8 7 4 2 6 8 8 3 5 1 5 14 8 9 4 12 2 18 8 10 2 2 4 8 8 11 1 4 5 8 12 1 1 8 13 3 2 5 8 14 6 2 8 8 15 3 4 7 8 16 6 5 1 12 8 17 1 2 3 6 8 18 2 1 3 8 19 4 3 7 8 20 3 2 4 9 8 21 4 4 8 22 1 1 2 4 8 8 23 1 9 3 3 16 8 24 3 1 5 9 8 25 1 4 5 8 26 2 2 8 27 3 3 6 8 28 7 3 10 8 29 1 2 7 10 8 30 12 2 14 8 31 1 1 2 9 1 4 4 9 2 2 2 9 3 2 2 9 4 5 2 1 8 9 5 2 3 1