数学物理方程公式总结.pdf

无限长弦的一般强迫振动定解问题 2 0 0 0 ttxx t tt ua uf x txR t ux ux 解 0 111 222 x attx a t x atx a t u x txatxatdfdd aa 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 2222 2 2222 00 01 t t uuu ax y txyz ux y z u x y z t 0zt 在球坐标变换 sincos sinsin 0 02 0 cos xr yrr zr 2 1 1 44 MM atr SS M u M tdSdS a trar M r at 22 1 1 44 MM atat SS MM u M tdSdS attat 无界三维空间自由振动的泊松公式 sincos sinsin 02 0 cos xxat yyat zzat 2 sindSatd d 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 222 2 222 00 tt uuu ax y txy u ux yx y t 0t 22 2 222 220000 1 cos sin 1 cos sin 22 atat xryrxryr u x y trdrdrdrd ata a tra tr 傅立叶变换 1 2 i x f xfe d i x ff x edx 基本性质 121 FffF fF f 2 1212 F ffF f F f 1212 1 2 F f fF fF f F fi F f kk F fiF f d F fFixf d 1 d ixfFf d 0 0 i x F f xxeF f x 0 0 ix F ef xf 1 x FfdF f x i 0 i xi x x Fxxedxe 1 i xi Fxxedxe 1 F f axf aa 若 F f xg 则 2 F g xf 12 F 2 2 2 4 2 ax a F ee cos 2 sin 2 iaia iaia ee a ee a i a a cossin cossin ia ia eai eai 2 x edx 拉普拉斯变换 0 sx f sf x e dx ReRe ax c L cepa pa 2 1 L x s 2 1 x L ex s 22 sin k Lkt sk 22 cos s Lkt sk 22 2 axax eea L shaxL sa ReResa 22 2 axax ees L chaxL sa ReResa 基本性质 121 LffL fL f 2 1 2 11 121 LffLfLf 0 s L f xeL f x 0 Re ax L ef xf sasa 1 0 s L f cxfc cc 12 1 0 0 0 nnnnn L fs L fsfsff 0 1 x LfdL f x s n n n d L fLxf ds p f x f sdsL x 1212 L ffL f F f 0 1 sx Lxx edx 三个格林公式 高斯公式 设空间区域 V 是由分片光滑的闭曲面 S 所围成 函数 P Q R 在 V 上具有一阶连续偏导数 则 VS PQR dVPdydzQdzdxRdxdy xyz 或 cos cos cos VS PQR dVPn xQn yRn zd xyz S 第一格林公式 设u x y z V x y z 在S SV上有一阶连续偏导数 它们在V中有二阶偏导 则 SVV u v dSuvdVu vdV 第二格林公式 设u x y z V x y z 在S SV上有一阶连续偏导数 它们在V中有二阶偏导 则 SV u vv udSu vv u dV 第三格林公式 设M0 M是V中的点 v M 1 rMM0 u x y z 满足第一格林公式条件 则有 000 0 11111 44 MMMMMMSV u u MudSu dV rnn rr 定理 1 泊松方程洛平问题 xxyyzzS SS uuuuf x y zx y zV u ux y zx y z n 连续 连续 的解为 0 11111 44 SV u MMMdSf MdV rn rr 推论 1 拉氏方程洛平问题 0 xxyyzzS SS uuuux y zV u ux y zx y z n 连续 连续 的解为 0 111 4 S u MMMdS rn r 调和函数 1 定义 如果函数 u x y z 满足 1 在V具有二阶连续偏导数 2 S 0u 称 u 为 V 上 的调和函数 2 调和函数的性质 性质 1 设 u x y z 是区域 V 上的调和函数 则有 0 S u dS n 推论 2 拉氏牛曼问题 牛曼问题解不稳定没有得到公式解 0 xxyyzz S uuuu u n 有解的充分必要条件是 0 S dS 性质 2 设 u x y z 是区域 V 上的调和函数 则有 0 111 4 S u u MudS rnn r 性质 3 设 u x y z 是区域 V 上的调和函数 则在球心的值等于它在球面上的算术平均值 即 0 2 1 4 R S u Mu M dS R 其中SR是以M0为球心 R为半径的球面 三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为 xxyyzz S uuuuf x y zx y zV ux y z 连续 S 0 00 SV G M Mu u MG M MudSG M MfdV nn 0 其中 0 0 1 4 MM G M Mv x y z r 如果G M M0 满足 0 0 S G M M 则可得泊松方程狄氏解定理 定理 泊松方程狄氏解为 0 00 SV G M M u MMdSG M Mf M dV n 其中G M M0 满足 00 0 0 0 S S G M MMM M MV G M M 0 0 MM 1 G M M 4 r 推论 拉氏方程狄氏解为 0 0 S G M M u MMdS n 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 且 f x y 在 D 上有二阶连续偏导数 n 为曲线的外法线方 向 则 22 22 DL fff dxdyds xyn 1 第一格林公式 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 且 u x y v x y 在 D 上有二阶连续偏导数 n 为曲线的 外法线方向 则 DL v uvu v dxdyuds n i 2 第二格林公式 l D u vv u dSu vv u dxdy i 3 第三格林公式 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 且 u x y 在 D 上有二阶连续偏导数 n 为曲线的外法线 方向 令 0 11 ln 2 MM v x y r 00 0 111111 lnlnln 222 MMMMLD u u MudSud rnnrr 定理 平面泊松方程洛平问题 LL uf x yx yD u ux yx n y 的解为 00 0 111111 lnlnln 222 MMMMLD u MdSf x y d rnrr 推论 平面拉氏方程洛平问题 0 LL ux yD u ux yx n y 的解为 00 0 1111 lnln 22 MMMML u MdS rnr 定理 平面泊松方程狄氏问题的解为 0 LD G u MdSGf x y d n 推论 平面拉氏方程狄氏解为 0 L G u MdS n 平面狄氏格林函数 00 0 0 0 S L G M MMM M MD G M M 0 0M 1 G M M lnr 2 M 特殊区域上狄氏问题格林函数 1 球形域内狄氏问题格林函数 00 2222 0 0 0 S G M MMM xyzRMV G M M 格林函数为 0 001 1111 44 R G M M rrrrr 其中 2 0 1 00 rR r rr i 球域内狄式问题的解 0 00 22 0 03 22 2 00 1 4 2cos SV SV G M M u MMdSG M Mf M dV n Rr MdSG M Mf M dV R RrRr i 其中 22 0 3 22 2 00 1 4 2cos SS RrGG nrR RrRr i 球域上狄氏问题的解的球坐标表达式 sincos sinsin 0 02 0 cos xr yrr zr 0 01 012 22 22 00000 111111 44 MMMM G M Muu rr xxyyzzxxyyzz 2 2 0 01 000 333 2 22 00 11 44 MMMM zzzzzGG nzrr xxyyz 0 所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为 0 00 0 0 3 22 22 000 1 2 SV V G M M u MdSG M MfdV n x y z dxdyf x y z G M Mdxdydz xxyyz 上半空间拉氏方程狄氏问题的解为 0 0003 22 22 000 1 2 x y z u xyzdxdy xxyyz 3 上半平面狄氏问题的 Green 函数 01 0 1111 22 MMM G M MLnLn rr M GG ny 0 0 22 2222 00 0000 1111 2 Ly yG LnLn nyxx xxyyxxyy y 上半平面上泊松方程狄氏解 0 0 22 00 1 LDD yG u MdSGf x y dxdxGf x y d nxxy 上半平面上拉氏方程狄氏解 0 0 22 00 1 y u Mxdx xxy 4 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的 GREEN 函数 0 222 0 0 L GM M M MD xyR G 1 010 0 0 111111 lnlnlnl 2222 MM M MMMM M r n R G M M rrrr 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解 0 22 0 22 00 1 22cos LD LD G u MdSGf x y d n Rr dSGf x y d R RRrr 5 第一象限上狄氏问题的 Green 函数 012 0 2222 0000 2222 0000 11111111 lnlnlnln 2222 1 ln 4 MMMMMMMM G M M rrr xxyyxxyy xxyyxxyy 3 r z 三种典型方程的基本解问题 1 泊松方程的基本解 方程 ux y 的解称为泊松方程 uf x y z 的基本解 三维空间泊松方程的基本解 1 0 4 Ur r 平面泊松方程基本解为 11 ln 0 2 Ur r 特解应该为基本解与函数 f 的卷积 2 热传导方程柯西问题基本解 定解问题 2 0 0 txx t ua uxR t ux 的解 称为 2 0 0 txx t ua uxR t ux 定解问题的基本解 基本解为 2 2 4 1 2 x a t U x te at 定解为基本解与初始函数 x 的卷积 3 热传导方程混合问题基本解 定解问题 2 00 0 0 0 0 xx u a uxxtt t utu l t u x 的解称为 2 0 0 0 0 0 0 0 txx t ua uf x txl t utu l t u 定解 问题的基本解 222 0 2 0 00 1 2 sinsin na t t L n n xn x U x t x te ll l 定解与基本解的关系为 000000 00 tL u x tU x t x tf x t dx dt 4 波动方程柯西问题基本解 定解问题 2 2 00 2 0 0 0 0 xx t u a uxxttxt t u xu x 0 的解 称为 2 2 2 0 0 0 0 0 xx t u a uf x tx y zt t u xu x 定解问题的基本解 基本解为 0000 1 21 sin sinsin n n an an x U x t x tttx anlll 定解与基本解的关系为 000000 00 tL u x tU x t x tf x t dx dt 贝塞尔函数 222 0 0 0 PPnP P RP 2 0 1 2 y edy 1nn 1 nn n cos sin n n JxJx Y xLim 第二类 Bessel 函数 Bessel 函数的母函数 1 2 x z n z n n G x zeJx z 当 x 为实数时可得 cos 0 1 2 cos ixn n n eJxi Jx n 02 1 cos cos 2 1 cos2 m m m xJxJxm Bessel 函数的积分表达式 1 2 1 1 2 x n n C e Jxd i 当 n 为整数时 1 cos sin 0 1 2 2 n Jxxndn 贝塞尔函数的递推公式 1 1 nn nn x Jxx Jx 1 2 nn nn xJxxJx 11 2 3 nnn JxJxnJx x 11 4 2 nnn JxJxJx 10 JxJx n 阶整数阶贝塞尔函数有 1 cos n nn JxJxn Jx n 1 2 2 sinJxx x 1 2 2 cosJxx x 贝塞尔函数的正交性 贝塞尔函数系 1 n m n Jr R 22 22 0 11 0 11 22 nn R mk nn nn nmnm mk rJrJr dr RR R JR J mk 定义 定积分 2 0 n R m n rJrdr R 称为贝塞尔函数 n m n J R r 的模 贝塞尔级数展开定理 定理 设 f rfr 在区间 0 R 上至多有有限个跳跃间断点 则 f x 在 0 R 连续点处的贝塞尔 级数收敛与该点的函数值 在间断点处收敛于该点左右极限的平均值 1 n m mn m f rA J R r 其中 2 0 2 1 1 2 n R m mn n nm Arf r Jr dr RR J 勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题 222 222 1 0 1 xxyyzz xyz uuuxyz uf x y z 在球坐标系下 2 2 2222 1 111 sin0 sinsin 01 0 02 r uu r rrrrr ufr 2 u 勒让德方程 22 22 cot 1 0 sin ddm n n dd 令cosx y 取 m 0 时得 2 2 2 1 2 1 0 d ydy xxn ny dxdx 勒让德多项式 当 n 为正偶数时 2 2 1 0 22 1 2 2 n mn n m nm yx m nmnm m 当 n 为正奇数时 1 2 2 2 0 22 1 2 2 n mn n m nm yx m nmnm m n 次第一类勒让德多项式 2 0 22 1 2 2 2 M mnm n n m nmn P xxM m nmnm 0 1P x 1 P xx 2 2 1 31 2 P xx 3 3 1 53 2 P xxx 42 4 1 35303 8 P xxx 53 5 1 637015 8 P xxxx 1 1 n P 1 1 n n P 勒让德多项式的罗得利克公式 2 1 1 2 n n n nn d P xx n dx 勒让德多项式的积分表达式 2 1 1 22 n n nn C n P zd iz 勒让德多项式的母函数 2 0 1 1 1 1 2 n n n G x zP x zzx xzz n 勒让德多项式的递推公式 重点 n 1 2 3 11 1 21 1 nnn nxP xnPxnPx 1 2 nn PxxP xnP x 11 3 nnn P xxPxnPx 1 1 n P 1 1 n n P n