1-6复变习题.pdf

1 第一章第一章 复习题复习题 1 设32zi 则arg z A 2 ar 3 ctg B 3 ar 2 ctg C 2 ar 3 ctg D 2 ar 3 ctg 2 设coscoszi 则z A 1 B cos C 2 D 2 cos 3 设 12 wz z wzz 则 1 argw 2 argRe0wz A B C D 4 设 5 0 1 2 3 4 i k k zrewzk 则arg k w A 5 B 2 5 k C 2 5 k D 2 2 0 1 5 k nn 5 若 12 ziz 则 1 oz与 2 oz的关系是 A 同向 B 反向 C 垂直 D 以上都不对 6 复平面上三点 1 34 0 34 i i 则 A 三点共圆 B 三点共线 C 三点是直角 顶点 D 三点是正 顶点 7 简单曲线 即约当曲线 是 曲线 A 连续 B 光滑 C 无重点的连续 D 无重点光滑 8 设函数wz 其定义域E为1z 则值域 M 为 A 1w B 0 1 C 1 1 D 01 0 xyixy 9 函数 1 w z 将 Z 平面上直线1x 变成 W 平面上 A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 10 4 1 i A 2 B 2 C 4 D 4 11 区域12z 的边界是1z 2z 它们的正方向 A 1z 2z 都是 逆时针 B 1z 顺时针 2z 逆时针 C 1z 2z 都是 顺时针 D 1z 逆时针 2z 顺时针 12 极限 0 lim zz f z 与z趋于 0 z的方式 2 A 无关 B 有关 C 不一定有关 D 与方向有关 13 函数 2 3 8 8 z f z z 的不连续点集为 A 2 13i B 2 C 2 13i D 2 13i 14 5 3 cossin cos3sin3 i i e i 则 A 2 B 4 C 4 D 14 15 扩充复平面上 无穷远点 的 邻域是指含于条件 的点集 A z C 1 z 二 多项选择题 1 若 12 ziz 则 12 oz z 是 A 锐角 B 钝角 C 直角 D 等腰 E 正 2 表示实轴的方程是 其中t是实参数 A Re0z B Im0z C 1 1 z t i D 1 2 z t E 3zt 3 函数 2 wz 将Z平面的曲线 变成W平面上的直线 zxiy wuiv A 3z B 22 4xy C 22 4xy D 4xy E 22 9yx 4 函数 1 1 f z z 在单位圆1z 内 A 连续 B 不连续 C 一致连续 D 非一致连续 E 解析 5 对无穷远点 规定 无意义 A 运算 B 运算 C 的实部 D 的虚部 E 的幅角 三 填充题 1 复数zxiy 当0 0 xy 2 将复数 1 cossini 0 化为指数形式 3 求函数 1 w z 将Z平面上曲线11z 变成W平面上的曲线 4 求复数 1 1 1 z wz z 的实部 虚部 模 5 求cos4 及sin4 用cos4 与sin4 表示的式子 五 证明题 综合题 1 设1z 试证 1 azb bza 2 设 13 n nn xiyi n x n y为实数 n为正整数 试证 1 11 4 3 n nnnn x yxy 3 试证 以 123 z zz为顶点的三角行和以 123 w w w为顶点的三角形同向相似的充要条件 为 4 11 22 33 1 10 1 zw zw zw 4 试证 四相异点 1234 z zz z共圆周或共直线的充要条件是 3414 1232 zzzz zzzz 为实数 5 函数 1 1 f z z 在单位圆1z 5 第二章第二章 复习题复习题 一 单项选择题 1 函数 wf z 在点 0 z 则称 f z在点 0 z解析 A 连续 B 可导 C 可微 D 某一邻域内可微 2 函数 f zu x yiv x y 在点 x y的CR 条件指 A uvuv xyyx B uvuv xyyx C vuvu xyyx D vuvu xyyx 3 函数 3 wz 把Z平面上单位圆在第二象限弧段变成W平面上单位圆的 象限弧段 A 第一 二 三 B 第二 三 四 C 第三 四 一 D 第四 一 二 4 函数 f zu x yiv x y 在区域D内有定义 则 1 u x y v x y在区域D满 足CR 条件 2 xyxy u u v v在D连续 是 f z在区域D可微的 条件 A 必要非充分 B 充分非必要 C 充分必要 D 以上都不对 5 指数函数 z e 的基本周期为 A 2 B 2i C i D 6 设 12 3 22 i zi z 则 1 lnz 2 lnz lnz表示主值 A B C D 无法比较大小 7 cos 2 i A 1 B 2 C 2 D 2 8 设zxiy 则 2 z e A 2 z e B 22 xy e C 22 xy e D 22 xy e 9 2 f zxiy 直线 1 2 L x 则 f z在 A Z平面上解析 B L上可微 C L上可析 D Z平面上可微 10 以 0 1 为支点的函数有 A 1z z B 2 3 1zz C 3 1z z D 2 3 1z z 11 设 2f zz z 0 C为单位圆 则 0 arg C f z 6 A B 2 C 4 3 D 2 3 12 函数 z we 把Z平面上实轴变换成W平面上 A 负实轴 B 正实轴 C 实轴 D 单位圆 13 一般幂函数 i wz 是 函数 A 单值 B 有限的多值 C 无限多值 D 以上都不对 14 若 u x yv x y在点 x y满足CR 条件 则 f zuiv 在点 x y A 可微 B 不可微 C 不一定可微 D 解析 15 复数 i zi 其幅角主值arg z A 2 B 2 C D 0 二 多项选择题 1 函数 f zz 在Z平面上处处 A 不连续 B 连续 C 不可微 D 可微 E 解析 2 函数 f zu x yiv x y 在点z可微 则 fz A uv i xx B uu i xy C uv i xy D vv i yx E vu i yy 3 在Z平面上任何一点不解析的函数有 A 2 f zz B Ref zz C 22 f zxyix y D 22 xiy E 33 23xiy 4 方程ln 2 i z 的解为 A zi B zi C 2 i ze D 2 i ze E ze 5 复数 3i zi 的幅角Argz可以是 A 0 B 2 C 2 D 2 E 2 二 填空题 1 若 f z在点 0 z 则称 0 z为 f z的奇点 2 函数 f zu x yiv x y 在区域D内解析的充要条件是 1 7 2 3 对任意复数z 若 z wz ee 则必有w 4 根式函数 n wz 5 具有这种性质的点 使当 则称此点为多值函数的支点 6 根式函数 n wza 只以 及 为支点 以 为支割线 且在 能分出n个单值解析分支 7 34Lni 8 对一般幂函数 a wz 1 当 a z是z的单值函数 2 当 a z 取 个不同的值 3 当 a z是无限多值的 9 函 数 1 1 m aa n m wf zA zzzz L 其 中 1 2m z zzL互 不 相 同 且 12m aaaN L 1 当且仅当 时 k z是 f z的支点 2 当且仅当 时 是 f z的支点 10 由已给单值解析分支的初值 1 f z 计算终值 2 f z 即 2 f z 其中 arg c f z 为 四 计算题 1 cossincossin xx f zexyyyieyyxy 是否在Z平面上解析 如果是 求其导函数 2 设zxiy 试求 1 Re z e 3 试求函数 cos 1 i 之值 4 试证 在将Z平面适当割开后 函数 2 3 1f zz z 能分出三个单值解析分支 并 求出在点2z 取负值的那个分支在zi 的值 5 方程 12tgzi 8 五 证明题 综合题 1 如果 f z在区域D内解析 试求 if z在区域D内也解析 2 若函数 f z与 f z在区域D内都解析 试证 f z在区域D内必为常数 3 设 2 1 z f z z 试证 Re0 fz z f z 1z 则 f z在点z可微且 ruv fzi zrr 5 设 3333 22 0 0 0 xyi xy z f z xy z 试证 f z在原点满足CR 条件 但却不 可微 6 试证 1f zzz 在割去线段0Re1 的Z平面上能分出两个单值解析分支 并求出割线0Re1 上岸取正值的那一支在1z 的值 9 第三章第三章 复习题复习题 一 单项选择题 1 如果曲线C为 则 27 C dz i z A 1z B 2z C 3z D 4z 2 函数 f z沿曲线C有界是 f z沿曲线C可积的 条件 A 充分 B 必要 C 充要 D 以上都不对 3 函数 f z沿曲线C连续 则 C f zdz A C f z dz B C f z dz C C f z ds ds 为弧微分 D 以上都不对 4 函数 f z沿曲线C连续是 f z沿曲线C可积的 条件 A 充分 B 必要 C 充要 D 以上都不是 5 对下列的定义的表达式正确的论断是 A 若 f zg z 则 CC f z dzg z dz B 若 12 cc 则 12 CC f z dzf z dz C CC f z dzf z dz D C为围线 则 0 C f z dz 6 设单位圆 1 Czf z 则 0 C f z dz A 1 cosz B 2 56 z e zz C 2 coszz D 1 41z 7 设C为上半单位圆 则 C zdz C为正方向 A 0 B i C 2 D 2i 8 设 区 域D的 边 界 是 围 线C f z在D内 解 析 在DDC 上 连 续 00 5 zD f z 则 0 C f d z A 5 B 2 2 5 i C 2 2 5 D 1 10i 10 9 设 2Cz 则 2 2 21 1 C zz dz z A 3 B 6i C 0 D 4i 10 设 1 1 2 Cz 则 2 sin 4 1 C z dz z A 2 2 i B 2 2 i C 2i D 2i 11 若方程 0f zz 有实根 1 且 f z是有界整函数 则 1 fi A 1 B 2 C 1i D 2i 12 设函数 f zuiv 在区域D内解析 则在区域D内 A u必为v的共轭调和函数 B u与v互为共轭调和函数 C v必为u的共轭调和函数 D A B C 皆不对 13 如果u v是区域D内任意的两个调和函数 则函数 f zuiv 在D内 A 解析 B 不解析 C 不一定解析 D 以上皆不对 14 在下列个式中可作为某区域D内解析函数 f zuiv 的实部 u x y有 A 2 ux B 22 uxy C 22 uxy D 2 uy 15 设 f z为有界整函数 C为1z 则 C f z dz z 2 C f z dz z A B C D 不能确定 二 多项选择题 1 设C是绕i一周的围线 则cosi A cos 2 C i d i B cos 2 C i d i C 3 1cos C d i i D 3 1cos C d i E 2 1cos 2 C d i i 2 设围线 1Cz 则当 f z 时 0 C f z dz A 1 cosz B 1 sin z C 2 1 26zz D 3 1 8z E 2 1 21z 3 下列论断中 有 是不正确的 其中D为围线C围成的区域 A f z在D内有奇点 则 0 C f z dz B f z在C上有奇点 则 0 C f z dz 11 C f z在D内解析 则 0 C f z dz D f z在D内解析 在DDC 上连续 则 0 C f z dz E f z在DDC 内解析 则 0 C f z dz 4 设函数 f z在D内解析 则 fz 在D内 A 存在但不一定连续 B 不一定存在 C 存在且连续 D 可微 E 解析 5 设 u v为调和函数 且u是v的共轭调和函数 则 A uv xy B uv xy C uv yx D uv yx E uv yy 三 填空题 1 若 f zu x yiv x y 沿曲线C连续 则 C f z dz 2 设a为围线C内部一点 n为整数 则 n C dz za 3 积分估值 沿曲线C f z连续 则 C f z dz 其中 4 设C是一条围线 D为C之间内部区域 f z在D内 在 DDC 上 则 C f z dz 5 设 f z在单连通区域D内解析 则函数 0 z z F zfd 在D内 且 6 设区域D的边界是围线C f z在D内解析 在DDC 上连接 则函数 f z在D 内有各阶导数且有 n fz 7 如果二元函数 H x y在区域D内有二阶连续偏导数 且满足 则称 H x y为区域D内的调和函数 8 设 是 u x y是 在 单 连 通 区 域D内 的 调 和 函 数 则 存 在 由 积 分 确 定 的 v x y 使 uvif z 是D内的解析函数 9 设 3Cz 2 371 C f zd z 则 1 fi 12 10 设 f z在D内解析 aD 圆周 raR 只要 则有 柯西不等式 n fa 其中 四 计算题 1 求 积 分 2 2 0 281 a zzdz 之 值 其 中 积 分 路 径 是 连 续 0 到2a 的 摆 线 sin 1 cos xaya 0 a f 2 计算积分 2 sin 4 1 C z dz z 其C为一条围线 讨论之 3 求满足下列条件的解析函数 22 1f zuiv uxxyyf ii 4 设 f z在1zp内 解 析 在 闭 圆1z 上 连 续 有 0 1f 求 积 分 1 11 2 22 z dz zf z izz 5 计算积分 4 cos C z dz zi 其中C绕i一周的围线 五 证明题 综合题 1 由积分 2 C dz z 之值 其中C 1Cz 证明 0 12cos 0 54cos d 2 设 f z在区域D内解析 试证 22 22 22 4 f zfz xy 3 设 1 f z在1z 上连续 2 对任意的 01 0 zr rrf z dz pp 试证 1 0 z f z dz 4 设在区域arg 2 Dzz p内的单位圆周1z 上任何一点z 用D内曲线C连接 0 与z 求 2 Re 1 C dz z 5 已知 22 2 2 uvxy xxyyxy 试确定解析函数 f zuiv 13 第四章第四章 复习题复习题 一 单项选择题 1 复级数 11 nnn nn aaib 收敛的充要条件是 A 0 n a B 1 n n a 收敛 C 实级数 1 n n a 及 1 n n b 皆收敛 D 实级数 1 n n a 及 1 n n b 至少有一个收敛 2 复级数 1 n n i n A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 以上都不是 3 设 1 2 n fz n L定义于区域D内 若级数 1 n n fz 在D内 上一致收 敛 则称此级数在D内 内闭一致收敛 A 一个有界开集 B 任一有界开集 C 一个有界闭集 D 任一有界闭集 4 复级数在区域D内一致收敛是复级数在D内 内闭一致收敛的 条件 A 必要 B 充分 C 充要 D 无法确定的 5 幂级数 1 2 n n n nz 的收敛半径R A 0 B 1 C 2 D 1 2 6 幂级数 1 1 1 n nn n nn c z c znc z n 的收敛半径分别为 r R 则 A rR B Rr C rR D rR 7 幂级数 n n c z 在点a收敛 在点b发散 其收敛半径为R 则 A aRb B aRb C aRb D aRb 8 一个收敛的幂级数的和函数在其收敛圆周上 奇点 A 没有 B 有一个 C 至少有一个 D 有无限多个 9 函数 2 22 sin 6 z f zzz 的零点0z 是 级零点 A 2 B 4 C 6 D 10 10 a是解析函数 f z的m级零点 又是 g z的n级零点 则a是 f zg z 的 14 级零点 A min m n B max m n C 至少 min m n D 至多max m n 11 0 ln 1 z 在0点展成z的幂级数 其泰勒系数 n C A 1 n B 1 n C 1 1 n n D 11 1 n n 12 在原点解析 而在 1 1 2 zn n 处取 组的函数 f z 是存在的 A 0 1 0 1 0 1 B 111 0 0 0 246 C 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 6 6 D 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 13 解析函数 f z的零点a满足 则称a为n级零点 A 0 0 n f afa B 1 0 0 nn f afafafa C 1 0 0 nn f afafafa D 1 0 0 nn f afafa 14 求幂级数 249 1zzz 的收敛半径R为 A n C不明确 无法求 B 1 lim n n n C R C C 1 lim n n n C R D 1 limn n x C R 15 在圆 KzaR 内的解析函数 n n n f zCza 则 n C A 1 2 n nfd ia B 1 1 2 n fd ia C 1 2 n nfd ia D 1 2 n fd ia 其中 0zarrR 二 多项选择题 1 一个幂级数在其收敛圆周上可能 A 处处发散 B 既有收敛点 又有发散点 C 处处收敛 D 处处绝对收敛 E 和函数没有奇点 2 设在区域D内解析函数 1 f z及 2 fz在D内 相等 则 1 f z和 15 2 fz在D内恒等 A 一个点列 n z上 B 某一子区域上 C 某一小段弧上 D 某一个线段 E 一个收敛于a的点列 n z n za 3 设 f z在2z 内解析 且不恒等于常数 则 f z在点 不能达到最大值 A 5 1 2 i B 13i C 13i D 22i E 3 1 2 i 4 幂级数 2 1 n n z n 在闭圆1z 上 A 收敛 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 一致收敛 E 对有些点收敛 有些点发散 5 函数 2 1 z f zze 有零点 A 0z 是级零点 B 0z 是三级零点 C 2zi 是一级零点 D 2zi 是二级零点 E 2zi 是三级零点 二 填充题 1 如果幂级数 0 n n n cza 在某点 1 za 收敛 则它必在圆 内 收敛 2 Weierstrass定理 设 1 1 2 n fzn L 2 1 n n fz f z 1 n n f zfz 则 1 f z 2 3 f z在区域D内解析的充要条件为 即泰勒级数 4 Taylor定理 设 f z在区域D内解析 aD 只要圆 KzaR 且max zp Mf zpR 试证 在圆 0 0 a z aM 内 f z无零点 2 设zR 内解析的函数 f z有泰勒展式 0 n n n f za z 试证 当0rR 时 2 2 2 2 0 0 1 2 in n n f redar 3 试证 当01z 时 2 17 1 44 zez 4 设 f z是一个整函数 且假定存在一贯正整数n 以及两个正数R与M 使当zR 17 时 n f zM z 试证明 f z是一个至多n次的多项式或一常数 5 写出ln 1 z ez 的幂级数展式至含 5 z项为止 其中 0 ln 1 0 z z 18 第五章第五章 复习题复习题 一单项选择题 1 函数 sin z z 在0z 的罗朗展式的罗朗系数 2 C 2 C分别为 A 3 1 3 B 0 1 3 C 3 0D 0 1 3 2 0z 为函数 2 1 cos 1 z z f z ze 的 A 零点 B 一级极点 C 二级极点 D 三级极点 3 z 为函数 1 1 sin f z z 的 A 可去奇点 B m 级极点 C 本性奇点 D 非孤立奇点 5 f z在1z 内解析且 1 1 f zz 0 0f 则在1z 内恒有 f z z 且 0 f 1 A B C D 6 解析函数 f z的孤立奇点a的去心邻域 Ka 的罗朗级数 n n n Cza 的主要部分 为 A 1 n n n Cza B 0 n n n Cza C 1 n n n Cza D 0 n n n Cza 7 za 分别为 f z g z的m级与n级极点 mn 则za 是 f zg z 的 级极点 A mn B m n C min m nD max m n 8 f z的孤立奇点a为本性奇点的充要条件是 A lim 0 za f z B lim za f z C lim za f zb D lim za f z 9 若0z 是 f z的三级极点 则 是 1 f z 的 A 三级极点 B 三级零点 C 可去奇点 D 本性奇点 10 设0z 是不恒为另的函数 f z的孤立奇点 且有趋于0的无穷点列使 0 n f z 则 0z 是 f z的 19 A 零点 B 可去奇点 C 极点 D 本性奇点 11 是函数 tanf zz 的 A 极点 B 非孤立奇点 C 本性奇点 D 可去奇点 12 函数 f z 在1z 的去心邻域内不能展成罗朗级数 A 1 sin 1z B 1 sec 1z C 1 1 zz D tan 1 1 z z 13 整函数 f z的孤立奇点个数 个 A 只有一个 B 至少一个 C 没有 D 无法确定 14 亚纯函数的孤立奇点只能是 A 可去奇点 B 极点 C 本性奇点 D 非孤立奇点 15 f z在无穷远点去心邻域内的罗朗展式 n n n f zb z 的主要部分为 A 1 n n n b z B 0 n n n b z C 1 n n n b z D 0 n n n b z 二 多项选择题 1 1 1 2 f z zz 可以在区域 展开罗朗级数 A 1z B 12z C 2z D 011z E 021z mn mn 9 函数 23 1 f z zi 的奇点有 z 各为 z 为 10 函数 1 1 z f z e 的奇点有 z 各为 z 为 四 计算题 1 求函数 tan z f z z 的奇点 2 求函数 1 1 2 f z zz 在五种不同区域 1 1z 2 12z 3 011z 21 4 021z 5 2z 的罗朗展式 3 将 2 1 z e f z z z 在圆环01z 内展为罗朗级数 只要含 1 z 到 2 z各项 4 将函数 2 2 25 2 1 zz f z zz 在圆环01z 内展为罗朗级数 5 求函数 11 1 z f z ez 的奇点及其类别 五 证明题 综合题 1 试证 f z是单叶整函数的充要条件为 0 f zazba 2 试证 在扩充Z平面上只有一个一级极点的解析函数 f z必有如下形式 azb f z czd 0adbc 3 f z g z分别以za 为m级极点与n级极点 试问a为 f zg z f z g z 及 f z g z 的什么点 讨论之 4 求函数 1 1 z f ze 在 点邻域 1 z 的罗朗展式至含 5 z为止 5 设C是一条围线 区域D是C的外部 含点 f z在D内解析且连续到C 又设 0 lim z f zC 则 1 0 2 C f zfzD f d fzDiz 22 第六章第六章 复习题复习题 一 单项选择题 1 设 f z在有限奇点a的某去心邻域内可展成罗朗级数 n n n f zb za 则残数 z a Res f z A