2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题09三角恒等变换与解三角形理.docx

专题09 三角恒等变换与解三角形1已知，sin ，则tan()ABC D解析：因为，所以cos ，所以tan ，所以tan，故选C.答案：C2ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A，ca2，b3，则a()A2 B. C3D.解析：由余弦定理可知，a2b2c22bccos Aa29(a2)223(a2)a2，故选A.答案：A3已知，tan，那么sin 2cos 2的值为()A B.C D.答案：A4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A.3 B. C. D.3解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6，故选C.答案C5.已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()A. B. C. D.或答案A6.若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最小值为.答案7.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米.答案4008已知ABC中，三边长分别是a，b，c，面积Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值是_解析：因为Sa2(bc)2，所以bcsin A(b2c2a2)2bc，所以bcsin A2bc2bccos A，又sin2 Acos2 A1，所以sin A4(1cos A)，所以sin A，所以Sbcsin Abc2.答案：9已知函数f(x)2cos2 sin x.(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；(2)若tan ，求f()的值解析：(1)f(x)1cos xsin x2cos1，所以当cos1，即x2k，x2k(kZ)时，函数f(x)的最大值为3，此时相应的x的取值集合为.(2)f()2cos2 2sin cos .10如图在ABC中，已知点D在BC边上，满足ADAC，cos BAC，AB3，BD.(1)求AD的长；(2)求ABC的面积解析：(1)因为ADAC，cos BAC，所以sin BAC.又sin BACsincos BAD，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos BAD，即AD28AD150，解得AD5或AD3，由于ABAD，所以AD3.(2)在ABD中，又由cos BAD得sin BAD，所以sin ADB，则sin ADCsin(ADB)sin ADB.因为ADBDACCC，所以cos C.在RtADC中，cos C，则tan C，所以AC3，则ABC的面积SABACsin BAC336.11.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值.9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin Bbcos C3.(1)求b；(2)若ABC的面积为，求c.解(1)由正弦定理得：sin Csin Bsin Bcos C.又sin B0，所以sin Ccos C，C45.又bcos C3，所以b3.(2)因为SABCacsin B，csin B3，所以a7，由余弦定理可得c2a2b22abcos C25.所以c5.12已知f(x)2sin(x)，现将f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g(x)的图象(1)求f()g()的值；(2)若a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，ac4，且当xB时，g(x)取得最大值，求b的取值范围解(1)因为g(x)2sin(x)2sin(x)，所以f()g()2sin()2sin1.(2)因为g(x)2sin(x)，所以当x2k(kZ)，即x2k(kZ)时，g(x)取得最大值因为xB时g(x)取得最大值，又B(0，)，所以B.而b2a2c22accosa2c2ac(ac)23ac163ac163()216124，所以b2.又b0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域解(1)f(x)sin2x(cos2x1)sin(2x)，因为函数f(x)的周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin(3x)，易得f(A)sin(3A).因为sinB，sinA，sinC成等比数列，所以sin2AsinBsinC，所以a2bc，所以cosA(当且仅当bc时取等号)，因为0A，所以0A，所以3A，所以sin(3A)1，所以1sin(3A)，所以函数f(A)的值域为(1，14在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B，且(abc)(abc)bc.(1)求cosC的值；(2)若a5，求ABC的面积 (2)由(1)可得sinC，在ABC中，由正弦定理，得c8，SacsinB5810.15.已知向量m(cosx，1)，n，函数f(x)(mn)m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a1，c，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和ABC的面积.解(1)f(x)(mn)mcos2xsinxcosxsin2xcos2xsin2x2sin2.因为2，所以最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin2，当x时，2x.由正弦函数图象可知，当2x时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A，A.由余弦定理a2b2c22bccosA，得1b232bcos，所以b1或b2，经检验均符合题意.从而当b1时，ABC的面积S1sin；当b2时，ABC的面积S2sin.16.如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中B，ABa，BCa)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A落在边BC上，设AMN.(1)若时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，AN的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.解(1)由B，ABa，BCa，所以BAC.设MAMAx