2018年高考数学不等式选讲课时达标71不等式的证明理.docx

2018年高考数学一轮复习 不等式选讲 课时达标71 不等式的证明 理解密考纲不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值1已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.2已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明：因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc，同理，b2(a2c2)2ab2c，c2(a2b2)2abc2，相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.3(2017安徽联考)已知函数f(x)|x|2x1|，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)已知aM，比较a2a1与的大小解析：(1)f(x)|x|2x1|由f(x)1，得，或或解得0x2，故Mx|0x2(2)由(1)知0a2，因为a2a1，当0a1时，0，所以a2a1，当a1时，0，所以a2a1，当1a0，所以a2a1，综上所述：当0a1时，a2a1，当a1时，a2a1，当1a.4(2017江西赣州一模)设a，b为正实数，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解析：(1)由22得ab，当ab时取等号故a2b22ab1，当ab时取等号所以a2b2的最小值是1.(2)由(ab)24(ab)3得24ab.即24ab，从而ab2.又a，b为正实数，所以ab2，所以ab2，所以ab1.5已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解析：(1)因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明：因为a，b(0, )，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时，取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.6(2017东北三校二模)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明：(1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时等号成立，.(2)由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29(当且仅当abc时取等号)，又abc1，69，.7已知a，b，c(0，)，求证：23.证明：欲证23，只需证ab2abc3，即证c23，a，b，c(0，)，c2c33，c23成立，故原不等式成立8已知xy0，且xy0.(1)求证：x3y3x2yy2x；(2)如果恒成立，试求实数m的取值范围或值解析：(1)证明：x3y3(x2yy2x)x2(xy)y2(xy)(xy)(xy)2，且xy0，(xy)20，x3y3(x2yy2