15年高考真题——理科数学(湖北卷).doc

2015年高考真题理科数学（解析版） 湖北卷2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1为虚数单位，（ ） （A） （B） （C）1 （D）2我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石3已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A） （B） （C） （D）4设，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） （A）（B）（C）对任意正数，（D）对任意正数，5设，若：成等比数列；：，则（ ）（A）是的充分条件，但不是的必要条件（B）是的必要条件，但不是的充分条件（C）是的充分必要条件（D）既不是的充分条件，也不是的必要条件6已知符号函数，是上的增函数，其中，则（ ） （A） （B）（C） （D）7在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）（A） （B） （C） （D）8将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） （A）对任意的，（B）当时，；当时， （C）对任意的，（D）当时，；当时， 9设集合，定义集合，则中元素的个数为（ ） （A）77 （B）49 （C）45 （D）30 10设，表示不超过的最大整数。若存在实数，使得，同时成立，则正整数的最大值是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6二填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题 11已知向量，则 。 12函数的零点个数为 。13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 。14如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且。圆的标准方程为 ；过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：；。其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）。（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑。如果全选，则按第15题作答结果计分）15如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 。16在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），与相交于两点，则 。三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。005017（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表。请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象。若图象的一个对称中心为，求的最小值。18（本小题满分12分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为。已知，。求数列、的通项公式；当时，记，求数列的前项和。19(本小题满分12分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接。证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；若面与面所成二面角的大小为，求的值。20（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品。生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利1200元。要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时。假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为如右表所示。该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量。求的分布列和均值；若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率。12151821（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示。是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，。当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为。以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系。求曲线的方程；设动直线与两定直线和分别交于两点，若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。22（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，为自然对数的底数。求函数的单调区间，并比较与的大小；计算，由此推测计算的公式，并给出证明；令，数列，的前项和分别记为，证明：。2015年普通高校招生全国统考数学试卷湖北卷解答一BBDCA BBDCB二119；122；13；14，；15；16。00500 17解：根据表中已知数据，解得，数据补全如右表，且； 由题。因为函数的对称中心为，令得。由于函数的图象关于点成中心对称，令，得。由知时，取得最小值。18解：由题，解得或。故或；由知，故。知，故，即。19解：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。设，则由题得，。因为点是的中点，故，。因，故。又，而，所以平面。因，故。又，故平面。由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为；由知平面，故是平面的一个法向量；因平面，故是平面的一个法向量。若平面与平面所成二面角为，则，解得，故。20解：设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有(*)，目标函数为，变形为：81601020010800。当时，(*)表示的平面区域如图1，其中。当时，直线在轴上的截距最大，最大获利。当时，(*)表示的平面区域如图2，其中。则当即直线经过点时，在轴上的截距最大，最大获利。当时，(*)表示的平面区域如图3，其中。则当即直线经过点时，在轴上的截距最大，最大获利。故最大获利的分布列如右，；由知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为。21解：设点，。由题，且，故且，即且。由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即；当直线的斜率不存在时，直线或，都有；当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得。因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即。由可以求得；同理。因到的距离，且，故。时，；时，因，故，当且仅当时取等号。综合可知，当直线与椭圆在四个顶点处相