广西贺州高中高三数学上学期第四次月考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广西贺州高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.1设集合m=xr|x23x100，n=xz|x|2，则mn为（）a（2，2）b（1，2）c1，0，1d2，1，0，1，22已知复数z=，则复数z等于（）a2ib2+ic2+id2i3若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是（）a3b4c5d64各项都是正数的等比数列an，若a2， a3，2a1成等差数列，则的值为（）a2b2或1cd或15已知命题p：xr，使得x+2，命题q：xr，x2+x+10，下列命题为真的是（）apqb（p）qcp（q）d（p）（q）6已知a（1，1）、b（x1，2x），若向量与（o为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）a（1，）（，+）b（1，+）c（1，3）（3，+）d（，1）7已知sin（）=，则sin2的值为（）abcd8已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象上相邻两个最高点的距离为若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称则函数p的解析式为（）af（x）=2sin（x+）bf（x）=2sin（x+）cf（x）=2sin（2x+）df（x）=2sin（2x+）9阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）aa=12，i=3ba=12，i=4ca=8，i=3da=8，i=410等差数列an中的a1、a4025是函数f（x）=x34x2+6x1的极值点，则log2a2013（）a2b3c4d511如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是（）a44b8c42d412设f（x）是定义在r上的可导函数，且满足f（x）f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）af（a）eaf（0）bf（a）eaf（0）cd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在约束条件下，目标函数z=x+y的最大值为14已知=（2，1），=（1，3），若（+），则 =15若曲线y=xlnx上点p处的切线平行与直线2xy+1=0，则点p的坐标是16数列an中，a1=1，an，an+1是方程的两个根，则数列bn的前n项和sn等于三、解答题：本大题共5小题，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在锐角abc中，a，b，c为角a，b，c所对的三边，设向量=（cosa，sina），=（cosa，sina），且与的夹角为（1）求角a的值；（2）若a=，设内角b为x，abc的周长为y，求y=f（x）的最大值18已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列（bn0），且a1=b1=2，a3+b3=16，s4+b3=34（1）求数列an与bn的通项公式； （2）记tn为数列anbn的前n项和，求tn19某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息（）请完成此统计表；（）试估计高三年级学生“同意”的人数；（）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率”20三棱柱abca1b1c1中，侧棱与底面垂直，abc=90，ab=bc=bb1=2，m，n分别是ab，a1c的中点（）求证：mn平面bcc1b1；（）求证：mn平面a1b1c21设函数f（x）=lnx+，mr（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f（x）+m，试讨论是否存在x0（0，）（，+），使得g（x0）=f（1）成立选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，直线l的方程为xy+4=0，曲线c的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点p的极坐标为，判断点p与直线l的位置关系；（2）设点q是曲线c上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值2015-2016学年广西贺州高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.1设集合m=xr|x23x100，n=xz|x|2，则mn为（）a（2，2）b（1，2）c1，0，1d2，1，0，1，2【考点】交集及其运算；一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】化简m、n 两个集合，根据两个集合的交集的定义求出mn【解答】解：集合m=xz|x23x100=x|2x5，n=xz|x|2=1，0，1，故mn=1，0，1，故选c【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法化简m、n 两个集合，是解题的关键2已知复数z=，则复数z等于（）a2ib2+ic2+id2i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】分子分母同乘以i，化简可得【解答】解：化简可得z=2i故选：a【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题3若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是（）a3b4c5d6【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得x+y=（x+y）（+）=2+，由基本不等式可得【解答】解：由题意可得x+y=（x+y）（+）=2+2+2=4，当且仅当=即x=y=2时取等号，x+y的最小值是4故选：b【点评】本题考查基本不等式，1的整体代换是解决问题的关键，属基础题4各项都是正数的等比数列an，若a2， a3，2a1成等差数列，则的值为（）a2b2或1cd或1【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；方程思想；整体思想；等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由题意得q0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q，则q0，因为a2， a3，2a1成等差数列，所以2a3=a2+2a1，则，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），所以=，故选：c【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题5已知命题p：xr，使得x+2，命题q：xr，x2+x+10，下列命题为真的是（）apqb（p）qcp（q）d（p）（q）【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】本题的关键是判定命题p：xr，使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：xr，使得，当x0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真根据复合命题的真假判定，pq为真，（p）q为假，p（q）为假，（p）（q）为假【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断6已知a（1，1）、b（x1，2x），若向量与（o为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）a（1，）（，+）b（1，+）c（1，3）（3，+）d（，1）【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1x+2x0，且，由此求得x的范围【解答】解：若向量与（o为坐标原点）的夹角为锐角，则0 且向量与不共线，1x+2x0，且，求得x1，且 x，故选：a【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题7已知sin（）=，则sin2的值为（）abcd【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可【解答】解：sin（）=，可得（cosxsinx）=，即cosxsinx=，两边平方可得1sin2x=，sin2=故选：b【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力8已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的图象上相邻两个最高点的距离为若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称则函数p的解析式为（）af（x）=2sin（x+）bf（x）=2sin（x+）cf（x）=2sin（2x+）df（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出 和的值即可得到结论【解答】解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，函数周期t=，即t=，即=2，即f（x）=2sin（2x+），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin2（x+）+）=2sin（2x+），若图象关于y轴对称则+=+k，即=+k，kz，0，当k=0时，=，即f（x）=2sin（2x+），故选：c【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出 和的值是解决本题的关键9阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（）aa=12，i=3ba=12，i=4ca=8，i=3da=8，i=4【考点】程序框图【专题】阅读型；图表型；算法和程序框图【分析】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值【解答】解：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4；第二次运行i=2，a=8；第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3故选a【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图10等差数列an中的a1、a4025是函数f（x）=x34x2+6x1的极值点，则log2a2013（）a2b3c4d5【考点】函数在某点取得极值的条件【专题】导数的综合应用【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出【解答】解：f（x）=x28x+6，a1、a4025是函数f（x）=x34x2+6x1的极值点，a1、a4025是方程x28x+6=0的两实数根，则a1+a4025=8而an为等差数列，a1+a4025=2a2013，即a2013=4，从而=2故选a【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键11如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是（）a44b8c42d4【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】该几何体为棱柱挖去一个半球【解答】解：由三视图可知该几何体为底面边长为2，高为1的长方体挖去直径为2的一个半球，该几何体的体积v=22113=4故选：d【点评】本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，是基础题12设f（x）是定义在r上的可导函数，且满足f（x）f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）af（a）eaf（0）bf（a）eaf（0）cd【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】压轴题；导数的概念及应用【分析】根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f（x）f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）f（0），在对选项进行判断；【解答】解：f（x）是定义在r上的可导函数，可以令f（x）=，f（x）=，f（x）f（x），ex0，f（x）0，f（x）为增函数，正数a0，f（a）f（0），=f（0），f（a）eaf（0），故选b【点评】此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在约束条件下，目标函数z=x+y的最大值为【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=x+y得y=2x+2z，平移直线y=2x+2z，由图象可知当直线y=2x+2z经过点b时，直线y=2x+2z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（，）代入目标函数z=x+y，得z=+=故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14已知=（2，1），=（1，3），若（+），则 =【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用【分析】求出向量+，然后利用垂直条件，求解即可【解答】解： =（2，1），=（1，3），+=（2，13）（+），可得2+93=0，解得=故答案为：【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力15若曲线y=xlnx上点p处的切线平行与直线2xy+1=0，则点p的坐标是（e，e）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数为f（x）=lnx+x=1+lnx，直线2xy+1=0的斜率k=2，曲线y=xlnx上点p处的切线平行与直线2xy+1=0，f（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点p的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义16数列an中，a1=1，an，an+1是方程的两个根，则数列bn的前n项和sn等于【考点】数列的求和【专题】计算题【分析】先由题意得到数列的递推公式，再求出an，然后利用裂项进行求和即可【解答】解：a1=1，an，an+1是方程x2（2n+1）x+=0的两个根，an+an+1=2n+1=n+（n+1），anan+1=an=n， =则数列bn的前n项和sn=b1+b2+bn=1=故答案为：【点评】本题主要考查利用递推公式求解数列的通项公式，数列求和的裂项法，考查学生的运算能力三、解答题：本大题共5小题，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在锐角abc中，a，b，c为角a，b，c所对的三边，设向量=（cosa，sina），=（cosa，sina），且与的夹角为（1）求角a的值；（2）若a=，设内角b为x，abc的周长为y，求y=f（x）的最大值【考点】向量的模【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】（1）由题知：|=|=1，cos=cos2asin2a，由此能求出a（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120x），（x120），从而y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值【解答】解：（1）向量=（cosa，sina），=（cosa，sina），由题知：|=|=1，与的夹角为，cos=cos2asin2a，即cos2a=，又0a，02a，2a=，故a=（2）由正弦定理，得=2，b=2sinx，c=2sin（120x），（x120），y=y=2cosx2cos（120x），令y=2cosx2cos（120x）=0，得x=60，x=60时，y=f（x）取最大值ymax=3【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用18已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列（bn0），且a1=b1=2，a3+b3=16，s4+b3=34（1）求数列an与bn的通项公式； （2）记tn为数列anbn的前n项和，求tn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由已知q0，利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”即可得出【解答】解：（1）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由已知q0，a1=b1=2，a3+b3=16，s4+b3=34，解得（2），两式相减得=【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题19某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息（）请完成此统计表；（）试估计高三年级学生“同意”的人数；（）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意的概率”【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法【专题】计算题；应用题【分析】（i）根据所给的男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分（ii）根据由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数（iii）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：（i）被调查人答卷情况统计表：（ii）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数（人）（iii）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为【点评】本题考查古典概型，考查分层抽样，考查用列举法得到事件数，是一个综合题目，但是题目应用的原理并不复杂，是一个送分题目20三棱柱abca1b1c1中，侧棱与底面垂直，abc=90，ab=bc=bb1=2，m，n分别是ab，a1c的中点（）求证：mn平面bcc1b1；（）求证：mn平面a1b1c【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；证明题【分析】（）欲证mn|平面bcc1b1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证mn与平面bcc1b1内一直线平行即可，而连接bc1，ac1根据中位线定理可知mn|bc1，又mn平面bcc1b1满足定理所需条件；（）以b1为原点，a1b1为x轴，b1b为y轴，b1c1为z轴建立空间直角坐标系b1xyz，求出平面a1b1c的法向量为n=（x，y，z），而，根据法向量的意义可知mn平面a1b1c【解答】证明：（）证明：连接bc1，ac1在abc1中，m，n是ab，a1c的中点，mn|bc1又mn平面bcc1b1，mn|平面bcc1b1（）如图，以b1为原点建立空间直角坐标系b1xyz则b1（0，0，0），c（0，2，2），a1（2，0，0），m（1，0，2），n（1，1，1）=（0，2，2），设平面a1b1c的法向量为n=（x，y，z）令z=1，则x=0，y=1，n=（0，1，1）mn平面a1b1c【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；利用面面平行的性质定理（，aa）；利用面面平行的性质（，a，a，aa）21设函数f（x）=lnx+，mr（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f（x）+m，试讨论是否存在x0（0，）（，+），使得g（x0）=f（1）成立【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；（2）假设存在x0（0，）（，+），使得g（x0）=f（1）成立则方程g（x）=f（1）在区间（0，）（，+）上有解，求出m=x3+x，设（x）=x3+x，求出导数，求得x=1是（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+），可得f（x）=即有当0xe时，f（x）0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；当xe时，f（x）0，此时f（x）在（e，+）上单调递增；则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；（2）假设存在x0（0，）（，+），使得g（x0）=f（1）成立则方程g（x）=f（1）在区间（0，）（，+）上有解，由g（x）=f（x）x+m=x+m（x0），f（1）=m，方程g（x）=f（1）可化为m=x3+x，