2009年全国卷Ⅰ高考数学试题(理数B卷).doc

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修理科数学 必修 选修选修 本试卷分第卷 选择题 和第卷 非选择题 两部分 第卷本试卷分第卷 选择题 和第卷 非选择题 两部分 第卷 1 1 至至 2 2 页 第卷页 第卷 3 3 至至 4 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 考生注意 考生注意 1 1 答题前 考生在答题卡上务必用 答题前 考生在答题卡上务必用 0 50 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 填写清楚填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 2 每小题选出答案后 用 每小题选出答案后 用 2 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 3 本卷共 本卷共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR 一 选择题一 选择题 1 设集合 A 4 5 7 9 B 3 4 7 8 9 全集 U AB 则集合中 u AB I 的元素共有 A A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 解 故选故选 A A 也可用摩 也可用摩 3 4 5 7 8 9 AB 4 7 9 3 5 8 U ABCAB 根律 根律 UUU CABC AC B 2 已知 2 i 则复数 z B 1i Z A 1 3i B 1 3i C 3 i D 3 i 解 解 故选故选 B B 1 2 1 3 1 3ziiizi 3 不等式 1 的解集为 D 1 1 X X A x B 011xx x 01xx C D 10 xx 0 x x 解 验 x 1 即可 4 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离 22 22 1 xy ab 心率等于 C A B 2 C D 356 解 设切点 则切线的斜率为 由题意有又 00 P xy 0 0 2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 5 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中 各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 D A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解 分两类 1 甲组中选出一名女生有种选法 112 536 225CCC 2 乙组中选出一名女生有种选法 故共有 345 种选法 选 D 211 562 120CCC 6 设 是单位向量 且 0 则的最小值为 D abcab acbc A B C D 2 22 1 12 解 是单位向量 a b c 2 acbca babcc 故选 D 1 12cos 12abcab c 7 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面 111 ABCABC 1 A 上的射影为的中点 则异面直线与所成的角的余弦值ABCBCAB 1 CC 为 D B C B C A1 1 1 A D A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 解 设的中点为 D 连结D AD 易知即为异面直线与所成的BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 角 由三角余弦定理 易知 故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 8 如果函数的图像关于点中心对称 那么的最小值为 cos 2yx 3 4 3 0 A B C D 6 4 3 2 解 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx 3 4 3 0 由此易得 故选 A 4 2 32 k 13 6 kkZ min 6 9 已知直线 y x 1 与曲线相切 则 的值为 B yln xa A 1 B 2 C 1 D 2 解 设切点 则 又 00 P xy 0000 ln1 yxayx 0 0 1 1 x x y xa 故答案选 B 000 10 12xayxa 10 已知二面角为 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为l 60o Q 到 的距离为 则 P Q 两点之间距离的最32 3 小值为 C A B 2 C D 42 3 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 连PDlD 于 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当 即重合时取最小值 故答案选 C 0AP AP点与点 11 函数的定义域为 R 若与都是奇函数 则 D f x 1 f x 1 f x A 是偶函数 B 是奇函数 C D 是奇 f x f x 2 f xf x 3 f x 函数 解 与都是奇函数 1 f x 1 f x 1 1 1 1 fxf xfxf x 函数关于点 及点对称 函数是周期的周期 f x 1 0 1 0 f x2 1 1 4T 函数 即是奇函数 14 14 fxf x 3 3 fxf x 3 f x 故选 D 12 已知椭圆的右焦点为 右准线为 点 线段交于点 2 2 1 2 x Cy FlAl AFCB 若 则 A 3FAFB AF A B 2 C D 323 解 过点 B 作于 M 并设右准线 与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 BMl l3FAFB 故 又由椭圆的第二定义 得 故选 A 2 3 BM 2 22 233 BF 2AF 第第 IIII 卷卷 二 填空题 二 填空题 13 的展开式中 的系数与的系数之和等于 10 xy 73 x y 37 x y 解 373 101010 2240CCC 14 设等差数列的前项和为 若 则 n an n S 9 72S 249 aaa 解 是等差数列 由 得 n a 9 72S 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 15 直三棱柱的各顶点都在同一球面上 若 111 ABCABC 1 2ABACAA 则此球的表面积等于 120BAC 解 在中 可得 由正弦定理 可得ABC 2ABAC 120BAC 2 3BC 外接圆半径 r 2 设此圆圆心为 球心为 在中 易得球半径ABC O ORT OBO 故此球的表面积为 5R 2 420R 16 若 则函数的最大值为 42 x 3 tan2 tanyxx 解 令 tan xt 1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 244 xt yxx xt ttt 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 在中 内角 A B C 的对边长分别为 已知 且ABC abc 22 2acb 求 bsincos3cossin ACAC 分析分析 此题事实上比较简单此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手但考生反应不知从何入手 对已知条件对已知条件 1 1 左左 22 2acb 侧是二次的右侧是一次的侧是二次的右侧是一次的 学生总感觉用余弦定理不好处理学生总感觉用余弦定理不好处理 而对已知条件而对已知条件 2 2 过多的关注两角和与差的正弦公式过多的关注两角和与差的正弦公式 甚至有的学生还想用现在甚至有的学生还想用现在sincos3cossin ACAC 已经不再考的积化和差已经不再考的积化和差 导致找不到突破口而失分导致找不到突破口而失分 解法一 在解法一 在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有 ABC sincos3cossin ACAC 化简并整理得 化简并整理得 又由已知又由已知 222222 3 22 abcbca ac abbc 222 2 acb 解得解得 22 2acb 2 4bb 40 bb 或舍 解法二解法二 由余弦定理得由余弦定理得 222 2cosacbbcA 又又 22 2acb 0b 所以所以 2 cos2bcA 又又 sincos3cossinACAC sincoscossin4cossinACACAC sin 4cossinACAC 即即sin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得 sinsin b BC c 故故 4 cosbcA 由由 解得解得 4b 评析评析 从从 0808 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查 在备考中应注意总结 提在备考中应注意总结 提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力 另外提醒 两纲中明确不另外提醒 两纲中明确不 再考的知识和方法了解就行 不必强化训练 再考的知识和方法了解就行 不必强化训练 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 底面为矩形 底面SABCD ABCDSD 点 M 在侧棱上 ABCD2AD 2DCSD SC 60 ABM I 证明 M 在侧棱的中点SC II 求二面角的大小 SAMB 解法一 解法一 I 作 交于点 E 则 平面 SADMECDSDMEABME 连接 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作 垂足为 F 则 AFME 为矩形MFAB 设 则 MEx SEx 222 2 2AEEDADx 2 2 2 2MFAExFBx 由 2 tan60 2 23 2 MFFBxx 得 解得1x 即 从而1ME 1 2 MEDC 所以为侧棱的中点MSC 又 所以为等边三角形 22 2MBBCMC 60 2ABMAB ABM 又由 知 M 为 SC 中点 故2 6 2SMSAAM 222 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G 连结 BG 取 SA 中点 H 连结 GH 则 由此知 BGAM GHAM 为二面角的平面角BGH SAMB 连接 在中 BHBGH 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 解法二解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 则 2 0 0 A 2 2 0 0 2 0 0 0 2 BCS 设 则 0 SMMC 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MBABMBAB 即 222 422 2 111 解得 即1 SMMC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 由 得 AM 的中点 0 1 1 2 0 0 MA 2 1 1 22 2 G 又 2 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 0 0GBAMMSAM 所以 GBAM MSAM 因此等于二面角的平面角 GB MSSAMB 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 所以二面角的大小为SAMB 6 arccos 3 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自 半壁江山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 甲 乙二人进行一次围棋比赛 约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利 比赛结束 假设在一局中 甲获胜的概率为 0 6 乙获胜的概率为 0 4 各局比赛结果相互独立 已知 前 2 局中 甲 乙各胜 1 局 I 求甲获得这次比赛胜利的概率 II 设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数 求得分布列及数学期望 分析分析 本题较常规 比 08 年的概率统计题要容易 需提醒的是 认真审题是前提 部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分 这是 很可惜的 主要原因在于没读懂题 另外 还要注意表述 这也是考生较薄弱的环节 解 记表示事件 第 i 局甲获胜 i 3 4 5 i A 表示事件 第 j 局乙获胜 j 3 4 j B 记 B 表示事件 甲获得这次比赛的胜利 因前两局中 甲 乙各胜一局 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中 甲先胜 2 局 从而 34345345 BAABAAABA 由于各局比赛结果相互独立 故 34345345 P BP AAP BAAP ABA 34345345 P A P AP B P A P AP A P B P A 0 6 0 6 0 4 0 6 0 6 0 6 0 4 0 6 0 648 II 的可能取值为 2 3 由于各局比赛结果相互独立 所以 3434 2 PP AABB 3434 P AAP BB 3434 P AP AP BP B 0 6 0 6 0 4 0 4 0 52 1 0 52 0 48 3 1 2 PP 的分布列为 23 P0 520 48 2 2 3 3 EPP 2 0 52 3 0 48 2 48 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在数列中 n a 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 求数列的通项公式 n n a b n n b II 求数列的前项和 n an n S 解 解 I 由已知得 且 11 1ba 1 1 12 nn n aa nn 即 1 1 2 nn n bb 从而 21 1 2 bb 32 2 1 2 bb 1 1 1 2 2 nn n bbn 于是 1 21 111 222 n n bb 1 1 2 2 2n n 又 1 1b 故所求的通项公式 1 1 2 2 n n b II 由 I 知 11 1 2 2 22 n nn n ann n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 又是一个典型的错位相减法模型 1 2 1 n k kn n 1 12 n k k k 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 评析评析 09 年高考理科数学全国 一 试题将数列题前置 考查构造新数列和利用错位相减法 求前 n 项和 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考 生和一线教师重视教材和基础知识 基本方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命 题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 已知抛物线与圆相 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 交于 四个点 ABCD I 求得取值范围 r II 当四边形的面积最大时 求对角线 的交点坐标ABCDACBDP 分析 分析 I 这一问学生易下手 将抛物线与圆的方程联立 消去 整理得 2 E yx 222 4 0 Mxyrr 2 y 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于 四个点 2 E yx 222 4 0 Mxyrr ABCD 的充要条件是 方程 有两个不相等的正根即可 由此得 22 12 2 12 7 4 16 0 70 160 r xx x xr 解得 2 15 16 4 r 又 0r 所以 15 4 2 r 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以 II 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代 入的方法处理本小题是一个较好的切入点 设与的四个交点的坐标分别为 EM 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则直线的方程分别为ACBD 2121 1111 2121 xxxx yxxxyxxx xxxx 解得点 P 的坐标为 12 0 x x 设 由及 I 知 12 tx x 2 16tr 7 0 2 t 由于四边形为等腰梯形 因而其面积ABCD 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 则 22 121212