教与学 新教案九年级数学下册 28.1 用计算器求锐角三角函数值和锐角度数（第4课时）素材 （新版）新人教版.doc

锐角三角函数28.1锐角三角函数第4课时用计算器求锐角三角函数值和锐角度数素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣置疑导入我们已经知道特殊角(30，45，60)的锐角三角函数值，那么任意锐角的三角函数值怎样求呢？我们能否利用计算器来求任意锐角的三角函数值呢？说明与建议 说明：先复习特殊角的三角函数值，接着教师引导学生思考特殊角只是锐角中很少的一部分，对于任意的锐角是大量存在的，对于这样一般的锐角，三角函数值应如何求？建议：我们知道，求任意正数的平方根，需要用计算器，类比计算器可以求任意正数的平方根，可知用计算器可以求任意锐角的三角函数值类比导入 我们已经知道sin30，sin45，sin60，由此可以猜想，正弦锐角三角函数值随角度的增大而增大那么余弦和正切三角函数值是怎样变化的呢？说明与建议 说明：由特殊角的三角函数值的大小，猜想一般锐角的三角函数值的变化情况，为本节课用计算器求三角函数值和由三角函数值求角度做铺垫建议：教师在和学生类比三角函数值随角度变化而变化时，要特别注意强调锐角的条件和三角函数值的变化范围素材二考情考向分析命题角度1 用计算器计算锐角三角函数值先用计算器计算锐角的三角函数值，再按题目要求取近似值例陕西中考用科学计算器计算3tan56_10.02_(结果精确到0.01)命题角度2 根据计算器按键选答案根据计算器的按键顺序选择答案或借助特殊锐角三角函数值选择答案例利用计算器求sin30时，依次按键：，则计算器上显示的结果是(a)a0.5b0.707c0.866d1命题角度3 根据锐角三角函数值求角度根据锐角三角函数值求角度，然后按要求把求得的角度换算成度、分、秒的形式例(1) 已知tana1.3773，用计算器求得锐角a_5415_(精确到1)；(2)已知sin0.2476，用计算器求得锐角_1420_(精确到1)命题角度4 利用计算器探索三角函数值的规律锐角三角函数值一般有如下规律：sinacos(90a)，cosasin(90a)；sin2acos2a1；tana；0sina1, 0cosa1；锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，正切值随角度的增大而增大素材三教材习题答案p64练习1如图，在rtabc中，c90，求sina和sinb的值解：(1)ab，sina，sinb.(2)bc2，sina，sinb.2在rtabc中，c90，a60，求sina的值解：如图，设aca，则ab2a，bca，sina.p65练习1分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值解： 图(1)中，bc5，sina， cosa，tana；sinb， cosb，tanb.图(2)中，ab，sina，cosa，tana；sinb， cosb，tanb.2在rtabc中，c90.如果各边长都扩大到原来的2倍，那么a的正弦值、余弦值和正切值有变化吗？说明理由解： 没有变化sina，cosa，tana.a的正弦值、余弦值和正切值都不变p67练习1求下列各式的值：(1)12sin 30cos30；(2)3tan 30tan452sin60；(3)(cos230sin230)tan60.解： (1)原式121.(2)原式31221.(3)原式()2()21.2在rtabc中 ，c90，bc，ac，求a，b的度数解： tana，a30，b903060.p68练习1用计算器求下列锐角三角函数值：(1)sin20， cos70；sin35， cos55；sin1532， cos7428；(2) tan38， tan802543.解： (1)sin200.3420，cos700.3420；sin350.5736，cos550.5736；sin15320.2678, cos74280.2678.(2)tan380.0547，tan8025435.9303.猜想略2已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：(1) sina0.6275, sinb0.0547；(2) cosa0.6252, cosb0.1659；(3) tan a4.8425, tan b0.8816.解： (1)a38.87，b3.14；(2)a51.30，b80.45；(3)a78.33，b41.40.p68习题28.11分别求出图中a，b的正弦值、余弦值和正切值解： (1)ac4，sina， cosa，tana.sinb， cosb，tanb2.(2)ab2，sina， cosa，tana.sinb， cosb，tanb3.(3)ab2，sina， cosa，tana，sinb， cosb，tanb. 2.在rtabc中，c90，当a确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？解： 当a一定，它的正弦值、余弦值、正切值都随之确定. 正弦值、余弦值和正切值的大小只与角的大小有关，与相关三角形的边长无关3求下列各式的值：(1)sin45；(2)sin45 cos60cos45；(3)cos245tan60cos30；(4)tan30.解： (1)sin45.(2)sin45 cos60cos45.(3) cos245tan60cos302.(4)tan301.4用计算器求图中a的正弦值、余弦值和正切值解： (1)sina0.5780, cosa0.8160，学科tana0.7083.(2)sina0.6, cosa0.8，tana0.75.(3)sina0.8462, cosa0.5329，tana1.5877.5已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角a，b的度数：(1)sina0.7，sinb0.01；(2)cosa0.15，cosb0.8；(3)tana2.4，tanb0.5.解：(1)a442537，b3423；(2)a812223，b365212；(3)a672248，b263354.6如图，在rtabc中，cd是斜边ab上的高，a45，则下列的比值中不等于sina的是()a.b.c.d.答案d7如图，焊接一个高3.5 m，底角为32的人字形(等腰三角形)钢架，约需多长的钢材(结果保留小数点后两位)?解： ac6.605(m)，ad5.601(m)约需要钢材长度为2ac2adcd26.60525.6013.527.91(m)8如图，一块平行四边形木板的两条邻边的长分别为62.31 cm和35.24 cm，它们的夹角为3540，求这块木板的面积(结果保留小数点后两位)解： 没水平边上的高为h，sin3540，h20.5473.平行四边形的面积62.3120.54731280.30 (cm2)9用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：锐角a15182022808284sinacosatana随着锐角a的度数不断增大，sina有怎样的变化趋势？cosa呢？tana呢？你能说明自己的结论吗？解： 填表略随着锐角a的不断增大，sina逐渐增大， cosa逐渐减小，tana逐渐增大10在rtabc中，c90.a的正弦、余弦之间有什么关系？(提示：利用锐角三角函数的定义及勾股定理)解： sina， cosa，所以sin2a cos2a1.素材四图书增值练习当堂检测1计算sin20cos20的值是（保留四位有效数字）（）a0.5976b0.5976c0.5977d0.59772. rtabc中，c=90，a:b=3:4，运用计算器计算a的度数为（精确到1）（ ）a30 b37 c38 d393. 用“”“”“”填空：（1）cos37 cos46； （2）tan41 tan21；（3）sin31 cos314. 用计算器求值（精确到0.0001）： （1）sin25cos25； （2）sin15cos25tan355. 已知等腰abc的底边ab20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1）参考答案1c2b3（1）0.4837 （2）1.86534（1） （2） （3）5103能力培优专题一锐角与其他知识的综合运用如图，已知o的半径为1，锐角abc内接于o，bdac于点d，omab于点m，则sincbd的值等于（）a.om的长b.2om的长c.cd的长d.2cd的长如图，在rtabc中，c90，a30，e为ab上一点，且ae:eb4:1， efac于f，连接fb，则tancfb的值等于（）a.b.c.d.专题二探究题3在平面直角坐标系中，点a的坐标为（3，0），点b为y轴正半轴上的一点，点c为第一象限内一点，且ac2，设tanbocm，则m的取值范围是 .如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形， 得sabcbcsina 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如图（2），在abc中，cdab于d，acd=，dcb= sabcsadcsbdc，由公式，得acbcsin（）accdsinbccdsin， 即acbcsin(）accdsinbccdsin 你能利用直角三角形的边角关系，消去中的ac、bc、cd吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程专题三新定义问题5在平面直角坐标系中，设点p到原点o的距离为r，看作是op以x轴正半轴方向为起始位置绕点o逆时针旋转的角度，则用r，表示点p的极坐标，显然，点p的极坐标与它的坐标存在一一对应关系例如：点p的坐标为（1，1），则其极坐标为错误！未找到引用源。，45若点q的极坐标为4，60，则点q的坐标为（）a.（2，2错误！未找到引用源。）b.（2，2错误！未找到引用源。）c.（2错误！未找到引用源。，2）d.（2，2）6通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在abc中，ab=ac，顶角a的正对记作sada，这时sada.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60 ；（2）对于0a180，a的正对值sada的取值范围是 ；（3）如图，已知sina，其中a为锐角，试求sada的值.专题四方案设计问题7如图，由于水资源缺乏，b、c两地不得不从黄河上的扬水站a处引水，这就需要在a、b、c之间铺设地下输水管道有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，adbc于d；在图（3）中，oaoboc为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短已知abc恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好【知识要点】在rtabc中，若c90， 则，cosa，tana特殊角的三角函数值：304560sincostan1【温馨提示】1研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.2锐角的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.3圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.4如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.【方法技巧】1在rtabc中，sinasinb1，sin2acos2a1，tana.2若ab90，则sinacosb，cosasinb，tanatanb1.3在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.参考答案1a【解析】连接ao并延长交圆于点e，连接be由题意得ce，且abe和bcd都是直角三角形，cbdeaboam是直角三角形，sincbdsineabom.2c【解析】根据题意：在rtabc中，c90，a30，设ab2x，则bcx，acx在rtcfb中有cf错误！未找到引用源。x，bcx则tancfb错误！未找到引用源。3m【解析】当oc与圆a相切（即到c点）时，boc最小，此时ac2，oa3，由勾股定理得oc.boaaco90，bocaoc90，caoaoc90.bocoac.tanboc.随着c的移动，boc越来越大，但不到e点，即boc90.tanboc.4解：能消去ac、bc、cd，得到sin()sincoscossin过程如下：acbcsin()accdsinbccdsin两边同除以acbc，得sin()sinsin.cos，cossin()sincoscossin5a【解析】作qax轴于点a，则oq4，qoa60，故oaoqcos602，aqoqsin602错误！未找到引用源。，点q的坐标为（2，2错误！未找到引用源。）故答案选a6解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad60错误！未找到引用源。1故答案为1 （2）当a接近0时，sada接近0； 当a接近180时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sada接近2 于是sada的取值范围是0sada2 （3）如图，在abc中，acb90，sina错误！未找到引用源。 在ab上取点d，使adac. 过点d作dhac，h为垂足，令bc3k，ab5k，则adac4k. 又在adh中，ahd90，sina,dhadsina错误！未找到引用源。k. ah错误！未找到引用源。k 在cdh中，chacah错误！未找到引用源。k，cd错误！未找到引用源。k 由正对的定义可得sada错误！未找到引用源。，即sada错误！未找到引用源。解：图（1）所示方案的线路总长为abbc2a； 题图（2）中，在rtabd中