计算传热学 第2讲 传热问题的数学描述.pdf

计算传热学 第2讲 传热问题的数学描述传热问题的数学描述传热问题的数学描述传热问题的数学描述 Mathematical Description of Heat Transfer Mathematical Description of Heat Transfer Mathematical Description of Heat Transfer Mathematical Description of Heat Transfer ProblemsProblemsProblemsProblems 能源动力学院 唐豪 hao tang Lecture Notes for Undergraduates Revision A 引言引言引言引言 数值计算的出发点 数学模型数值计算的出发点 数学模型数值计算的出发点 数学模型数值计算的出发点 数学模型 数学模型 数学模型 数学模型 数学模型 Mathematical model Mathematical model Mathematical model Mathematical model 控制方程 控制方程 控制方程 控制方程 Governing equations Governing equations Governing equations Governing equations 基于基本原理与定律基于基本原理与定律基于基本原理与定律基于基本原理与定律 偏微分方程组偏微分方程组偏微分方程组偏微分方程组 定解条件 定解条件 定解条件 定解条件 Boundary conditionsBoundary conditionsBoundary conditionsBoundary conditions 坐标系不同 控制方程的形式不尽相同坐标系不同 控制方程的形式不尽相同坐标系不同 控制方程的形式不尽相同坐标系不同 控制方程的形式不尽相同 适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析 必要的简化与化简必要的简化与化简必要的简化与化简必要的简化与化简 2 1 2 1 控制方程控制方程控制方程控制方程 传热的三种模式 传热的三种模式 传热的三种模式 传热的三种模式 Modes of heat transferModes of heat transfer 热传导 热传导 热传导 热传导 Thermal conduction Thermal conduction 热对流 Thermal advection 对流换热 对流换热 对流换热 对流换热 Convection heat transfer Convection heat transfer 热辐射 热辐射 Thermal radiation Thermal radiation 辐射换热 辐射换热 辐射换热 辐射换热 Radiation heat transferRadiation heat transfer 关系 共存 相互影响 辐射的特殊性辐射的特殊性辐射的特殊性辐射的特殊性 可以忽略 以边界条件的形式给出 2 1 1热传导 Definition Fourier s Law n n T Tq grad 导热系数 gradT 温度梯度 2 1 1热传导 Energy Conservation Equation V V qT qTcT grad div 符号意义 单位 time thermal conductivity specific heat qVheat source 2 1 1热传导 Operators Cartesian grad z k y j x i lCylindrica 1 z k r j r i zr Spherical sin 1 1 r k r j r ir Coordinate Systems x z y o x y z x z y o r r z r x z y o r 2 1 1热传导 Operators Cartesian div zyx R z R y R x R 利用这些公式 可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式 可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式 可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式 可以得到不同坐标系下的导热微分方程 lCylindrica 1 1 zr R z R r rR rr Spherical sin sin 1 1 2 2 RR r Rr rr r 2 1 2 对流换热 Definition Complexity NewtonNewton s Cooling Laws Cooling Law fw TTq 0 U t 0 0 0 UU Continuity EquationContinuity Equation Mass Conservation 符号意义 For incompressible flow 2 1 2 对流换热 Momentum EquationsMomentum Equations Refers to Text Book 来源 个数 基本原理 体积 第二 粘度系数 second viscosity coef Not well defined Contradictory conclusions Less important for most of the practical cases Related to the divergence of velocity 符号的意义 关于黏性耗散函数的说明 由来及地位 Energy EquationEnergy Equation Energy Conservation or 1stLaw of Thermodynamics The Equation 2 1 2 对流换热 h STUphUh t grad div Work by Work by pressurepressure Conduction Conduction effectseffects Volumetric source Dissipation Dissipation effectseffects 2 1 2 对流换热 The Heat Transfer CoefficientThe Heat Transfer Coefficient The Definition Newton s Cooling Law The Equation fw w TT n T 推导方法 原理及依据 Boundary layer Theory n x Tw Tf u 2 1 3 通用方程 由来及意义 The Equation SU t grad 通用变量 generalized dependent variable 广义密度 universal density U 速度向量 场 velocity vector field 广义扩散系数 universal diffusivity S 广义源项 universal source term Unsteady term Convection term Diffusion term Source term 2 1 3 通用方程 对流 扩散方程 Convection diffusion 适当选择 U S T c U 0 导热微分方程 1 S 0 连续性方程 Why do we need a generic equation 各类问题的共同特征各类问题的共同特征各类问题的共同特征各类问题的共同特征 深化理论研究 深化理论研究 深化理论研究 深化理论研究 numericalnumerical 编制通用程序 编制通用程序 编制通用程序 编制通用程序 universal program for all problems universal program for all problems 2 1 4 控制方程的数学特征 守恒特性 守恒特性 守恒特性 守恒特性 Conservation nonConservation non conservation conservation 守恒型方程守恒型方程守恒型方程守恒型方程 Conservation formConservation form 对流项是以散度的形式给出的 非守恒型方程非守恒型方程非守恒型方程非守恒型方程 对流项不是不是不是不是以散度的形式给出的 For incompressible flows h SThUh t grad 具有守恒特性 但是 对于同一方程 采用下述变换后 就成为非 守恒型方程 对于理论分析 采用守恒或非守恒变量 守恒方程 或非守恒方程 通常没有本质的差别 但在 对于理论分析 采用守恒或非守恒变量 守恒方程 或非守恒方程 通常没有本质的差别 但在离散的数值 计算中 守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别 尤 其是求解含激波等弱解问题时 离散的数值 计算中 守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别 尤 其是求解含激波等弱解问题时 故方程的守恒性是计算 流体力学中 必须特别注意的问题 故方程的守恒性是计算 流体力学中 必须特别注意的问题 2 1 4 控制方程的数学特征 当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时 不同类型的微分方程 其数值处理方法各异 其中包 括定解条件提法的适定性 物理解的性质 差分格式 的适用性等 当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时 不同类型的微分方程 其数值处理方法各异 其中包 括定解条件提法的适定性 物理解的性质 差分格式 的适用性等 在一些特殊的问题中 甚至通过差分格式的特技巧 来改变方程的数学性质 在一些特殊的问题中 甚至通过差分格式的特技巧 来改变方程的数学性质 2 1 4 控制方程的数学特征 2 1 4 控制方程的数学特征 因为 hw z hv y hu x Uh div z h w y h v x h uUh z h w y h v x h uw z v y u x h z h w y h v x h u 对于不可压缩流 体 按连续性方程 div U 0 2 1 4 控制方程的数学特征 代回原方程 得到 h ST z h w y h v x h u t h grad 显然 它不具有守恒特性 是非守恒型非守恒型非守恒型非守恒型的 数学上 两种形式的方程必然给出相同的解 数值计算时 守恒型方程 便于有限单元的分析便于有限单元的分析便于有限单元的分析便于有限单元的分析 简化了积分过程简化了积分过程简化了积分过程简化了积分过程 得到了广泛的应用 非守恒型方程不便于积分 但是非守恒型方程不便于积分 但是非守恒型方程不便于积分 但是非守恒型方程不便于积分 但是 离散化时灵活运用连续性方程 相同的结果 2 1 4 控制方程的数学特征 控制方程的分类 椭圆型方程椭圆型方程 elliptic equations 稳态导热问题 稳态非边界层对流换热问题稳态非边界层对流换热问题 数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征 边值问题 boundary value problems 封闭边界 稳态 整体求解 联立求解 各点间相互影响 P x y 0 2 2 2 2 y u x u uf x y u f x y n 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程 第一类边界条件 Dirichlet 问题第一类边界条件 Dirichlet 问题 第二类边界条件 Neumann问题第二类边界条件 Neumann问题 第三类边界条件 Robin问题第三类边界条件 Robin问题 yxfhu n u k 2 1 4 控制方程的数学特征 控制方程的分类 抛物型方程 抛物型方程 抛物型方程 抛物型方程 parabolic equationsparabolic equations 非稳态导热问题 边界层流动问题 流动方向 数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征 初值问题 initial value problems 开口边界 非稳态 步进法 marching forward 求解 P x y 影响区影响区影响区影响区 非影响区非影响区非影响区非影响区 初 值 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程 2 2 x u t u a ug t u g t n 第一类边界条件第一类边界条件 tghu n u k 第二类边界条件第二类边界条件 第三类边界条件第三类边界条件 2 1 4 控制方程的数学特征 控制方程的分类 双曲型方程 双曲型方程 双曲型方程 双曲型方程 hyperbolic equationshyperbolic equations 波动方程 非Fourier导热问题 无粘流体的稳定超音速流动问题 无粘流体的非稳定流动 数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征 部分边界 局部影响区域 特征线方法 characteristics x y 对对对对P P有影有影有影有影 响的边界响的边界响的边界响的边界 P 点点点点P P的的的的 依赖区依赖区依赖区依赖区 点点点点P P的的的的 影响区影响区影响区影响区 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 0 x u a t u 解域中存在特征线 提纯初值问题可以 提 边值问题要结合特征线走向 解域中存在特征线 提纯初值问题可以 提 边值问题要结合特征线走向 2 1 4 控制方程的数学特征 单通道坐标与双通道坐标 单通道 单向 坐标单通道 单向 坐标单通道 单向 坐标单通道 单向 坐标 oneone way coordinateway coordinate 扰动仅能沿一个方向传递 该坐标任一点处的物理量仅受来自一侧条件的影响 例子 时间坐标 边界层流动中的主流坐标 数学上 抛物方程 初值问题 数值方法上 可以采用逐步推进法逐步推进法逐步推进法逐步推进法求解 双通道 双向 坐标双通道 双向 坐标双通道 双向 坐标双通道 双向 坐标 twotwo way coordinateway coordinate 扰动和影响都是双向的 例子 导热问题中的空间坐标 等 数学上 椭圆型的 边值问题 数值方法上 必须联立联立联立联立求解 2 1 4 控制方程的数学特征 边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题 有一个空间坐标是单向坐标 回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题 所有空间坐标都是双向坐标 单向坐标与一阶偏导数有关 双向坐标与二阶偏导数有关 h S x T xy T v x T uc 哪个坐标是单向哪个坐标是单向哪个坐标是单向哪个坐标是单向 的 哪个坐标是双的 哪个坐标是双的 哪个坐标是双的 哪个坐标是双 向的 向的 向的 向的 x x is a twois a two way way coordinate coordinate 2 2 定解条件 数学模型数学模型数学模型数学模型 Mathematical model descriptionMathematical model description 恰当的控制方程 Governing equations 定解条件 physical boundary conditions 定解条件定解条件定解条件定解条件 物理条件 physical conditions 几何条件 geometry conditions 初始条件 initial conditions 边界条件 boundary conditions 2 2 1 初始条件 对系统的影响 不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同 初始阶段 较为明显 随着时间的推移 影响逐渐减弱 时间无限长时 完全消失 进入新的状态 边界条件与时间无关 稳态 边界条件与时间有关 非稳态 PP t 0 0 初始状态特征 非稳态过程开始时 设定 给定系统待求变量在初始时刻的分布 2 2 1 初始条件 稳态问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题 与时间无关边界条件作用下非稳态问题的特例 稳态问题的状态将唯一地由边界条件确定 稳态问题的状态与初始条件无关 二者统一起来 在计算传热学中的意义 统一于一个程序 通过求解非稳态问题求解稳态问题 容易收敛 抑制发散 保证得到物理上真实的解 常用的方法 2 2 2 边界条件 提法 最重要 最复杂的定解条件 规定了系统的状态特征 反映了系统与环境之间的联系与相互作用 分类 第一类边界 第一类边界 第一类边界 第一类边界 DirichletDirichlet conditioncondition The 1st kind of boundary conditions 给定边界上待求变量的分布 第二类边界 第二类边界 第二类边界 第二类边界 NewmannNewmann conditioncondition The 2nd kind of boundary conditions 给定边界上待求变量的梯度值 2 2 2 边界条件 分类 续 第三类边界第三类边界第三类边界第三类边界 The 3rd kind of boundary conditions 待求变量与梯度值之间的函数关系 混和边界 混和边界 混和边界 混和边界 说明 稳态问题稳态问题稳态问题稳态问题必须在边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值才 能得到唯一解唯一解唯一解唯一解 请以请以请以请以导热为例导热为例导热为例导热为例 写出各种边界写出各种边界写出各种边界写出各种边界 条件的数学表条件的数学表条件的数学表条件的数学表 达式 达式 达式 达式 2 2 2 边界条件 流固耦合边界 liquid solid coupling boundary 粘性流体应满足非滑移条件 No slip condition 流体在固体边界上的速度应该等于固体表面的速度 流体在固体边界上的温度应该等于固体表面的温度 入口 出口边界 Inflow and out flow boundaries 入口边界 给定 出口边界 待求 恒压罐恒压罐恒压罐恒压罐 高压气体高压气体高压气体高压气体 Laval喷管 入口参数 给定入口参数 给定 出口参出口参出口参出口参 数 数 数 数 2 2 2 边界条件 出口边界的确定 非常重要 2 2 2 边界条件 特殊边界 绝热边界 adiabatic boundaries 绝热与对称 对数值计算的影响 T1 T1 T2 T2 对称轴对称轴对称轴对称轴 T1 T2 T1 T1 对称轴对称轴对称轴对称轴 2 2 2 边界条件 特殊边界特殊边界特殊边界特殊边界 耦合边界 耦合边界 耦合边界 耦合边界 coupled or compounded boundaries coupled or compounded boundaries 不连续性 复合材料接触面 相变界面 phase change interfaces 作为边界时要注意 作为边界时要注意 作为边界时要注意 作为边界时要注意 待求变量的唯一性 流量 的唯一性 依据基本原理推导 整体求解整体求解整体求解整体求解 物性插值 不能违反物理原则 2 2 2 边界条件 特殊边界 无限边界无限边界无限边界无限边界 特指无穷远处待求变量应满足的条件 提法 发生在有限区域内的现象 在有限的时间内 绝不发生在有限区域内的现象 在有限的时间内 绝不发生在有限区域内的现象 在有限的时间内 绝不发生在有限区域内的现象 在有限的时间内 绝不 会波及到无穷远处会波及到无穷远处会波及到无穷远处会波及到无穷远处 例子 半无限大介质的非稳态导热 无穷远处的温度应维持其初始温度 无穷远处的温度梯度应该等于其初始温度梯度 稳态问题 无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界 固体壁面的存在不会影响无穷远处的速度场 2 2 2 边界条件 何谓无穷远 如何判定 纯数学概念 物理上的界定 没有受到影响的区域在无穷远处 例子 探针法测材料的导热系数 基于线热源在无限大介质中的非稳态导热被被被被 测测测测 介介介介 质质质质 热探针热探针热探针热探针 T T1 1 T T2 2 T t T T1 1 T T2 2 满足无限大边界要求满足无限大边界要求满足无限大边界要求满足无限大边界要求 tend 2 3 数学模型的简化与化简 简化与化简的必要性 简化简化简化简化 机理上的 抓住主要矛盾 合理假设 例子 非稳态 稳态 多维 一维 变物性 常物性 量级分析 忽略小量级的项 边界层方程 粘性耗散函数 2 3 数学模型的简化与化简 化简化简化简化简 数学上的 对方程进行数学处理 无量纲化 无量纲化 无量纲化 无量纲化 最重要的化简方法之一 变量代换变量代换变量代换变量代换 效果明显 数学技巧性强 注意积累 边界层相似变换 偏微分方程组 常微分方程 Boltzmann 变换 x ct 1 2 常微分方程 非稳态导热 Kirchhoff 变换 U T dT 常物性问题 数学变换数学变换数学变换数学变换 Laplace变换 Fourier变换 通用积分变换 模型方程的引入模型方程的引入 简化对差分格式的性质的讨论及考核 简化对差分格式的性质的讨论及考核 必须反映物理问题的最基本的特征 且方便于进行 理论分析 必须反映物理问题的最基本的特征 且方便于进行 理论分析 1 2 2 2 2 y V x V p y V v x V u t V 例如动量方程 例如动量方程 模型方程可以简化为 模型方程可以简化为 2 2 x u x u u t u Burgers方程 Burgers方程 几个典型的模型方程几个典型的模型方程 0 x u a t u 2 2 x u t u 2 2 x u x u a t u 0 2 2 2 2 y u x u 2 2 x u x u u t u 0 x u u t u 其中前4个方程为线性方程 可求出解析解 后两 个方程为非线性方程 也可以求出解析解 其中前4个方程为线性方程 可求出解析解 后两 个方程为非线性方程 也可以求出解析解 单波方程 热传导方程 Burgers 方程 Laplace 方程 非线性Burgers 方程 非线性单波方程 2 4 数学模型的无量纲化 为甚么进行无量纲化为甚么进行无量纲化 基本步骤基本步骤基本步骤基本步骤 定义新的无量纲因变量和自变量 s t variableindependen variablesdependent 自变量 因变量 待求变量 r r r r x xx x r r参考待求变量 如参考温度等 xr xr参考自变量 如参考时间 参考尺寸等 2 4 数学模型的无量纲化 基本步骤 代入数学模型代入数学模型代入数学模型代入数学模型 整理 使整个数学模型成为无量纲的形式整理 使整个数学模型成为无量纲的形式整理 使整个数学模型成为无量纲的形式整理 使整个数学模型成为无量纲的形式 适当选取适当选取适当选取适当选取 r r r r x xr r 和和和和 x x r r 等等等等量 使方程最简量 使方程最简量 使方程最简量 使方程最简 例题 矩形区域内的二维非稳态导热问题例题 矩形区域内的二维非稳态导热问题例题 矩形区域内的二维非稳态导热问题例题 矩形区域内的二维非稳态导热问题 1 1 2 2 2 2 t T a Q y T x T 2 Const 0 0 TT t 2 4 数学模型的无量纲化 6 5 0 4 3 0 0 w y y x f x w x q y T y T TT x T TT y x o T Tw w 绝热绝热绝热绝热 恒热流恒热流恒热流恒热流 q qw w T T f f 2 4 数学模型的无量纲化 第一步 定义无量纲变量第一步 定义无量纲变量第一步 定义无量纲变量第一步 定义无量纲变量 7 r r r t t y y x x T TT 2 4 数学模型的无量纲化 第二步 计算有关偏导数 将有量纲量用无量 纲量和参考量表示出来 x T x T r 8 2 2 22 2 x T x T r y T y T r 8 2 2 22 2 y T y T r 8 r r t T t T 2 4 数学模型的无量纲化 第三步 将上述各项代入数学模型 代入 1 2 2 22 2 2 r rrr at TQ y T x T 方程两边同除以 Tr 2 得到 22 2 2 2 2 rr atT Q yx 按照方程系数最简原则方程系数最简原则方程系数最简原则方程系数最简原则 令 2 4 数学模型的无量纲化 或 1 2 r at 9 2 a tr 于是 10 Fourier 2 数 at 2 4 数学模型的无量纲化 这样 方程 这样 方程 这样 方程 这样 方程 1 1 就变为 就变为 就变为 就变为 11 2 2 2 2 S yx 其中 其中 其中 其中 S S是无量纲源项是无量纲源项是无量纲源项是无量纲源项 12 2 r T Q S 2 4 数学模型的无量纲化 代入方程 代入方程 代入方程 代入方程 2 2 13 0 0 r r T TT 代入方程 代入方程 代入方程 代入方程 3 3 14 0 r rw x T TT 代入方程 代入方程 代入方程 代入方程 4 4 15 1 1 Bi T TT Bi x x r f x 2 4 数学模型的无量纲化 代入方程 代入方程 代入方程 代入方程 5 5 16 0 0 y y 代入方程 代入方程 代入方程 代入方程 6 6 17 1 w r w y q T q y 下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下 2 4 数学模型的无量纲化 11 2 2 2 2 S yx 12 2 r T Q S 13 0 0 r r T TT 16 0 0 y y 17 1 w y q y 14 0 r rw x T TT 15 1 1 x r f x T TT Bi x Bi 2 4 数学模型的无量纲化 第四步 参考量的确定第四步 参考量的确定第四步 参考量的确定第四步 参考量的确定 原则 最简 参考温度参考温度参考温度参考温度T Tr r Tr Tf或 Tr Tw 习惯上 取Tr Tf 参考温差参考温差参考温差参考温差 T T r r 至少有四种取法 1 2 r T Q Sa 令 2 Q Tr 则 r r T TT b 0 0 令1 0 r f T TT fr TTT 0 则 2 4 数学模型的无量纲化 按方案 a r rw x T TT c 0 令1 r fw T TT fwr TTT 则 1 r w w T q qd 令 w r q T 则 2 4 数学模型的无量纲化 无量纲参数 1 2 2 2 2 yx Q q q w w 0 0 w x 0 1 1 x x Bi x Bi 0 0 y y 1