高中数学抛物线解题方法总结归纳

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere备课宝出品圆锥曲线抛物线知识点归纳 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距： 通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“2p”方向同向4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式： （称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)例6定长为3的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离解：抛物线焦点，准线：，设点、在准线上的射影分别是 、，设点，则，又，又，所以，即的最小值是点到轴的最小距离是，当且仅当过点是取得最小距离例7 设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0由韦达定理，得yAyB=p2，即yB=BCx轴，且C在准线x=上，C（，yB）则kOC=kOA故直线AC经过原点O证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D 则ADEFBC连结AC交EF于点N，则=，=|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyB=p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得 ，解得p=2或p=6。注意到p=6时，抛物线方程为 ，此时若x=2，则 ，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为 ，当x=2时， ，符合此时的情形。（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN准线l于点N， ，得 ，解得 易验证抛物线 符合此时情形。于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2）导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得 成立，本题进行的检验是必要的.例9已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,求证; 当的面积等于时,求的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。证明: 设 ; ,由A,N,B共线 , 又 解 由得解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出学生练习 1 抛物线的焦点坐标为( )A B C D 答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 A B C D 答案: C 解析: 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3 过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 ( )A 10 B 8 C 6 D 4答案: B解析: 4 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线上,则其方程为 ( )A 或 B 或 C 或 D 不确定答案: C解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求5 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ()A B C D 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题7 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( )A B C D答案: D解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短 8 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( )A 4 B 2 C D 答案: A解析: 所截线段长恰为通径9过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )A B C D 答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,10 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( )A B C D 不确定 答案: C解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出11 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时,则点Q的横坐标的取值范围是 ( )A B C -3, -1 D 答案: D12 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A B C D 答案: C 解析: 因为A、F、B三点共线所以13在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为A B1 C2 D4答案：C解析：抛物线的准线方程为x=，由抛物线的定义知4+=5，解得P=214设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A（a，0） B（0，a） C（0，） D随a符号而定答案：C 解析：化为标准方程15以抛物线y22px（p0）的焦半径PF为直径的圆与y轴位置关系为A相交 B相离 C相切 D不确定答案：C 解析：利用抛物线的定义16以椭圆 +=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为_解：中心为（0，0），左准线为x=，所求抛物线方程为y2= x又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，）|AB|=答案：17对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y2=10x可知满足条件答案：18 抛物线的焦点弦AB,求的值解:由 得 19设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点 B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设, 由得 又代入式得 由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是