高中数学方法：反证法、数学归纳法、数形结合法、公式法.pdf

高中数学方法 反证法 数学归纳法 数形结合法 公式法 高中数学方法 反证法 数学归纳法 数形结合法 公式法 摘要 本文通过粗略总结初等数学中几种常用解题方法 例如反证法 数学归纳法 数形结合法 公式法等 在此一一列举 包括定义 特点以及适用范围等 并举例粗略探讨 旨在加深学习者对 初等数学或竞赛数学解题方法的认识 以此学会应用 并开发学习者的学习数学等理工类科目的思 维能力 在以后的教学或学习的过程中能够熟练的掌握与应用 本文通过总结这几种解题方法 并 不是让学习者生搬硬套的使用 而只是培养学习者具有一种发散创新 开拓进取 与时俱进的精神 学习者可以通过这些解题方法的认识 将其综合运用 引言 总结高中初等数学解题方法 希望能够给学习者有些帮助 让人由此发出一 种感慨 我们是不是可以利用这些方法去解决歌德巴赫猜想呢 我们并不是没有可能 这需要我们具备更高深的知识 具有学而不厌 诲人不倦的气质 具有一种初生牛犊不 怕虎的精神 我们运用正确的方法 我们不怕碰壁 我们不怕坎坷 我们会勇攀高峰 再创辉煌 1 反证法 Proof by countradiction 1 1 定义与实质 1 先提出和定理中的结论相反的假定 然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾 的结果来 这样就否定了原来的假定而肯定了定理 这种证明的方法叫做反证法 2 把否定的结论纳入到原条件中 使二者共同作为条件 在正确的逻辑推理下 导致逻辑矛盾 根据矛盾律知道否定结论的错误性 再根据排中律知道原结论的正确性 反证法可简要的概括为 否定 推理 否定 我们知道 在相同的条件下 对于同一个思维对象做出的两个相互矛盾的判断 不 能同假 必有一真 这在逻辑学中称为排中律 应用于证明数学命题 得出了反证法的 证题方法 事实上 反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的 这与直接证明是 等价的 但是可能其逆否命题比较容易证明 上述的得出了矛盾 事实上 就是得出了 假设与题设不相融 这个结论 所以我们不能接受这个假设 故这个假设的方面就是 正确的 从而命题得证 相对于命题的直接证法而言 反证法是一种重要的间接证法 1 2 适用范围 一般地说 如果命题的结论难以直接证明 而其反面却易于否定时 那么应用反证 法证明将是适宜的 即证明一些命题 且正面证明有困难 情况多或复杂 而否定则比 较浅显时适用 任意性命题可用反证法 否定性命题可用反证法 普通命题 当直接 证明有困难时 也可尝试用反证法 存在性问题也可用反证法 1 3 论证格式 求证 A 原论题 证明 1 设非 A 真 非 A 为反论题 2 如果非 A 则 B B 为由非 A 推出的论断 3 非 B 已知 4 所以 并非非 A 根据充分条件假言推理的否定后件式 5 所以 A 非非 A A 1 4 分类 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 1 反证法根据应用范围不同区分为一般反证法和概率反证法两种形式 一般反证法又可分为归谬法 结论的反面只有一种情况 只要断定这种情况不成立 就可以了 和穷举法 结论的反面不止一种情况 就需把各种情况一一驳倒 从而肯定结 论的正面正确 概率反证法则是依据 小概率事件原理 所进行的一种决策 注 小 概率事件原理指出 概率很小的事件在一次实验中是几乎不可能发生的 1 5 举例说明 例 1 证明 素数有无穷多个 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德 E uclid of Alexandria 生活在亚历山大城 约前 330 约前 275 是古希腊最享有 盛名的数学家 在他的不朽著作 几何原本 里给出的一个反证法 证明 利用反证法 假设命题不真 则只有有限多个素数 设所有的素数是 12 2 n aaa 此时 令 12 1 n Naaa 那么所有的 i a 1 2 in 显然都不是N的因 子 那么有两个可能 或者N有另外的素数真因子 或者N本身就是一个素数 但是显然有 i Na 1 2 in 无论是哪种情况 都将和假设矛盾 这个矛盾就完 成了我们的证明 所以确实有无穷多个素数 注 这个证明简短而又有力 充分体现了证明者的智慧 也体现出数学的概括 性和美丽 例 2 已知 直线 a 和 b 是异面直线 直线 c a 直线 b 与 c 不相交 求证 直线 b c 是异面直线 证明 b 和 c 不相交 只有 b c c a a b 这与已知 a 和 b 是异面直线相矛盾 故 直线 b c 是异面直线 注 在立体几何中 1 证明直线与平面间位置关系的题 常用反证法 2 证 明有关平面与平面位置关系的题 常用反证法 3 要证明命题中出现几何图形的共点 共面等 唯一性 问题时 适宜用反证法 例 3 如图 1 CD和BE为ABC 二底角的平分线且CDBE 证 ABC 为等腰三 角形 lb a l D F E A B C 图 1 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 2 证明 反证法 假设ABC 不是等腰三角形 即ABCACB 则其半角 也 不相等 设 做BCD 的外接圆 此圆必交BE于F 原因是圆周角DCFDBF 故圆 周角 2 2BFCBDCBEC 因2BCFDBC 在同一圆上 较大的圆周角对应较大的弦 或由正弦定理2 sinaRA 2 sinbRB 2 sincRC 由此可推出BFCDBE 矛盾 故ABC 必是等腰三角形 例 3 某厂生产的乐器用一种镍合金弦线 长期以来 其抗拉强度的总体均值为 10560 2 公斤 厘米 今新生产了一批弦线 随机取 10 根作抗拉试验 测得其抗拉强 度 单 位 2 公斤 厘米 为 10512 10623 10688 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670 设弦线的抗拉强度服从正态分布 问这批弦线的抗拉强度 是否较以往为高 0 05a 分析 10631 4x 与 0 10560 相比要大 但不能用算术中的说法只要大了就大 所 说的大是超越限度的大 不超越限度的大不称为大 在这个意义下 统计量应合临界值 比较后就可得出结论 x是以 数学期望的未知总体的代表 x当大于 0 时 我们来问 比 0 大吗 这就很自然了 于是假设应写成 00 10560H 10 10560H 统计量 0 x Sn 与临界值 1 a tn 比较 当 0 1 a x tn Sn 时 认为是没有超越临界值 因此虽然x比 0 大 但x代表的总体的期望 不大于 0 于是接受 0 H 若相反 接受 1 H 解 10n 10631 4x 80 9968S 在0 05a 下检验 00 10560H 10 10560H 0 10 10631 410560 2 7876 80 9968 x Sn 查表 0 05 9 1 831t 2 78761 831 不成立 所以否 0 H 接受 1 H 注 本来从对立的两个方面来讲应把 0 H写在 0 但在检验中只用了相等的部分 所 以 0 H写成 0 而不写成 0 因为 0 0 x 所以考虑的临界值应是 1 a tn 而 不是 2 1 a tn 为什么在双侧检验中的时候 不使用 1 a tn 而使用 2 1 a tn 呢 这是由 于问题本身反映出来的 双侧问题有显著性差异吗 两侧都担心 而单侧是担心一侧 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 3 本题担心超越 1 a tn 1 6 一般反证法与概率反证法的比较 1 一般反证法指的是形式逻辑中的绝对矛盾 概率反证法则不是 而是基于人们在 实践中广泛采用的一个原则 小概率事件原理 所进行的一种决策 2 一般反证法多用于纯数学中的定理 命题的证明 而概率反证法解决的是生产 科研和生活中的实际问题 3 一般反证法必须通过已知条件予以证明 而概率反证法只能被检验 永远不能被 证明 4 一般反证法和概率反证法均属于逆向思维 概率反证法寓于一般反证法之中 是 具有特殊性质的一般反证法 1 7 意义 反证法是数学中的一种重要的证明方法 也是一种重要的数学思想 其特点是简 明 实用 它独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重 大的意义 2 数学归纳法 Mathematical induction 2 1 定义与实质 数学归纳法是一种数学证明方法 典型地用于确定一个表达式在所有自然数范 围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的 数学归纳 法的原理作为自然数公理 通常是被规定了的 从整体上看数学归纳法是演绎推理 大前提是匹阿诺 peano 自然数公理 数学归纳法的中心思想是 用有限次的验证和 一次逻辑推理 代替无限次的验证过程 实现从无限到有限的转化 华罗庚这样解释数学归纳法原理 我们采用形式上的讲法 也就是 有一批 编了号码的数学命题 我们能够证明第 1 号名提示正确的 如果我们能够证明第 k 号命题正确的时候 第 k 1 号命题也是正确的 那么 这么一批命题就全部正确 2 2 分类 1 一般分类 1 第一数学归纳法 递推的基础 证明当1n 时表达式成 立 递推的依据 证明如果当nm 时成立 那么当1nm 时同样成立 注 递推的依据中的 如果 被定义为归纳假设 不要把整个第二步称为归纳 假设 2 第二数学归纳法 当1n 时 命题成立 假设当nk 时命题成立 则当1nk 时 命题也成立 那么 命题对于一切自然数n来说都 成立 2 其它分类 1 有限项数学归纳法 步骤 设m为一给定的自然数 如果 1 P真 1 1 P kkmP k 真真 那么 P n 对不超过 m 的自然数 n 真 2 跳跃式数学归纳法 步骤 如果 1 2 PPP m 真 P kP km 真真 那么对一切自然数n真 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 4 3 逆向数学归纳法 步骤 如果 有无穷多个自然数使 P n真 1 P kP k 真真 那么 P n对一切自然数n真 2 3 举例说明 例 1 如图 2 所示 三角形的个数是多少 A B C DE 图 2 分析 此类问题特征是所有三角形都有一条边落在一条直线上 解 图 2 中 这些三角形都有一条边在BC所在直线上 此图三角形个数取决于不 在这条直线上的边数 每有两边就会与BC上一条边构成一个三角形 图中有AB AD AE AE4条边 两两组合的组数为4 41 26 即图中有 6 个三角形 如有n条边 是非共线的边 则三角形的个数为 1 2n n 个 例 2 多条 n条 直线两两相交 交点最多的个数是多少 分析 每两条直线就可有一个交点 即一种组合方式 那么n条直线最多交点数应 是 1 2n n 个 注 例 1 2 是关于数学归纳法在几何分类问题上的应用 例 3 用数学归纳法证明 22 389 n n 是 64 的倍数 证明 1 当1n 时 2 1 2 38 1964 原命题成立 2 假设当 1 nk k 时 原命题成立 即 22 38964 k kM M是整数 当1nk 时 2 1 224 38 1 93889 kk kk 变形 22 939 899889 8 k kk 这里是二凑项 22 9 389 6464 k kk 由归纳假设知 22 9 389 k k 是 64 的倍数 当1nk 时 原命题成立 由 1 和 2 知 对任意自然数n 原命题成立 注 本例采用了第一归纳法的解题思想 例 4 证明给定 n 1 个整数的集合 这些整数的最大值都不超过 2n 在这个集合里 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 5 一定有一个数整除另一个数 证明 1 当 n 1 时 两个整数的最大值都不超过 2 要么同为 1 要么同为 2 要 么一个 1 一个 2 命题显然成立 2 假设对于 1 n 命题成立 当取值 n 1 时 此时一共有 n 2 个整数 最大值不超过 2n 2 a 如果大于 2n 的数少于或等于一个 那么由假设 2 成立 b 如果大于 2n 的数多于一个 即最少有 2 个数大于 2n 那么必定为下面 3 种情况 i 等于 2n 1 的数有两个或更多 明显成立 ii 等于 2n 2 的数有两个或更多 明显成立 iii 2n 1 2n 2 各一个 将 2n 2 看作 n 1 那么由假设 必定有 有一个 数整除另一个数 这又分为 3 种情况 1 如果除数与被除数都不是 n 1 那么明显成立 2 如果被除数是 n 1 那么 2n 2 也可以被其除数整除 成立 3 n 1 不可能是除数 注 本例采用了第二数学归纳法解题思想 2 4 第一数学归纳法与第二数学归纳法的比较 假如论证命题在 n k 1 时的真伪时 必须以 n 取不大于 k 的两个或两个以 上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据 则一般选用第二数学归纳法 进行论证 之所以这样 其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之 第一数学归纳法更强 不仅要求命题在 n k 时成立 而且还要求命题对于一切小 于 k 的自然数来说都成立 反过来 能用第一数学归纳法来论证的数学命题 一 定也能用第二数学归纳进行证明 这一点是不难理解的 不过一般说来 没有任 何必要这样做 第二数学归纳法和第一数学归纳法一样 也是数学归纳法的一种表达形式 而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的 之所以采用不同的表 达形式 旨在更便于我们应用 2 5 意义 合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容 数学归纳法在 解决几何证明 数列证明 不等式证明和数的整除证明等方面有极大的作用 通过应用 数学归纳法解题可以培养学生的运算能力 观察能力 数学化能力 逻辑思维能力和解 决综合性问题的能力 另外 它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带 是初等数学 中非常重要的一部分 学生学会了数学归纳法 意味着既掌握了一种证明方法 可以解 决很多以前他们解决不了的问题 可以开拓新的知识领域 3 数形结合法 Methodology of number shape combination 3 1 定义与实质 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来 通过数与形之间的对应和 转化来解决数学问题 它包含数转化为形 形转化为数 数形结合三个方面 它是根据 数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 华罗庚先生说过 数缺形时少直观 形缺数时难入微 数形结合百般好 隔离 分家万事休 在我国数学教育界 数形结合的思想深入人心 结合的意思是 运 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 6 用坐标表示 使得几何的 点 与代数的 数 之间构成对应关系 进而把曲线 上的 几何点集 和满足方程的 坐标数集 对应起来 并且能够相互转换 这种数和形之间的转换能力 是 数学双基 的一部分 数学思想的华彩乐章 实现数形结合 常与以下内容有关 1 数与数轴上的点对应关系 2 函数与图像的对应关系 3 曲线与方程的对应关系 4 以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念 如复数 三角函数等 5 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 如等式 3 2 适用范围 应用广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 在求函数的值域 最值问题中 在求复数和三角函数解题中 用数形结合可以解决含有绝对值的方程问题及几个绝对值 和的问题 同时还可以解决一元二次及高次方程解的问题 3 3 举例说明 例 1 解方程 x 2 1 分析 直接去掉绝对值把方程化为两个一元一次方程 对于初一学生来说并非易事 而且容易漏解 如果我们从两点间的距离出发 从数轴上找一点到 2 的距离等于 1 的 点是什么 就容易多了 3 21324 15 4 A 0 图 3 解 建立如图 3 的数轴 在数轴上找出表示数 2 的 A 点 在数轴上到 A 点的距离 等于 1 的点在 A 点的左右两边各一个 分别是 1 和 3 所以方程的解是 1 和 3 注 数轴就是把数和形结合在一起 把点与数的对应关系揭示出来 这种数量关系 常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述 两个方向上的距离很容易找到 例 2 如图 4 椭圆的 22 1 94 xy 焦点为 1 F 2 F 点P为其上的动点 当 12 F PF 为钝 角时 求点P的横坐标的取值范围 图 4 解 易得 1 5 0 F 2 5 0 F 以 12 F F为直径的圆的方程为 22 5xy 它与椭圆 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 7 22 1 94 xy 交于点 1 P 2 P 在x轴上方 如图 4 所示 对于在圆的劣弧 1 2 PP上的动 点M 都有 12 90FMF 因此 在圆内且在椭圆上的 1 P 2 P之间的点P 均有 1212 FPFFMF 即 12 FPF 为钝角 由方程组 22 22 1 94 5 xy xy 消去 2 y 解得 3 5 x 即得点 1 P 2 P的横坐标分别 为 3 5 3 5 因此 使 12 F PF 为钝角的点P的横坐标取值范围为 3 5 3 5 注 本例的解法是以数形结合的思想方法为主 伴以方程的思想求解 同时本例还 可以采用其他方法求解 例如可采用公式法 会用到余弦定理 例 3 实数 x y满足xyx44 22 求证 5252 yx 分析 已知该式为椭圆方程 化为标准式即1 4 2 2 2 y x 做三角代换 sin cos 2 2 y x 即可利用三角恒等变形的工具寻找证法 证 明 已 知 式 可 化 为1 4 2 2 2 y x 令 cos22 x sin y 则 sin 52sincos22 yx 其中2arctg 1 sin 1 5252 yx 3 4 意义 在高考数学试题中 几乎绝大多数试题都是几何与代数的杂交物 数学教学中 数 形结合法 的思路贯穿于整个教学过程和阶段 数形结合思想 就是在考虑和解决问题 时 把有关的数量关系 或形式 与空间形式结合起来进行综合处理的思想 数形结合是 一种数学思想 是一种数学意识 有很多问题 如果仅从代数角度考虑 往往难以理解 不 易入手 但把问题与 形 结合起来 则思想容易理顺 问题变得清晰 较简单 直观 有很多数学 量 与数学概念有明显的几何意义 与这些知识有关的问题往往可以直接 用数形结合获得解决 数形结合法是一种重要的数学解题思想和方法 在大量的数式问 题中 暗含着形的信息 有些抽象复杂的数式关系 借助于图形的性质 可以使它直观 化 形象化 简单化 并使一些问题易于理解 易于联想 易于推测 对解决问题会起 到启发 点拨 直观 顿悟等作用 运用数形结合法解题 关键是构造出相应的图形 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 8 通过图形的性质获得准确 严谨 直观 流畅 简洁的解题思路和方法 数形结合法充 分体现了数学解题思维的辩证性和创造性 数形结合是激发学生求知欲 引起学生兴趣 的有效手段 数形结合是培养学生思维能力 帮助学生解难释疑的良好方法 4 公式法 Formula 4 1 定义与实质 利用已知定义 定理 公理等公式来证明或解题 利用公式法能够命题的证明或解 题带来简洁 利用公式法 需要我们对数学中的常用公式进行熟记 能够熟练的运用 4 2 常用的公式 勾股定理 正弦定理 余弦定理 皮亚诺公理 归纳公理 最小数原理 带余除法 待定系数法 因式定理 综合除法 代数延拓原理 配方法 同解定理 差根变换定理 换元法 降次公式 比较法 分析法 放缩法 均值不等式 柯西不等式 三角不等式 绝对值不等式 琴森不等式 判别式法 韦达定理 加法原理 乘法原理 组合公式 希尔伯特公理 阿基米德公理 欧氏公理 面积公式 梅涅劳斯定理 海伦 秦九韶公 式 斯特瓦尔特定理等等 4 3 举例说明 例 1 用公式法解方程582 2 xx 解法一 将方程化为一般形式 0582 2 xx 故5 8 2 cba 则0244064524 8 4 22 acb a acbb x 2 4 2 原方程的解为 2 6 2 2 6 2 21 xx 解 法 二 将 方 程 化 为 一 般 形 式 0582 2 xx 故5 8 2 cba 则 0244064524 8 4 22 acb 用韦达定理有 a b xx 21 a c xx 21 即 2 5 4 21 21 xx xx 解得 2 6 2 2 6 2 2 1 x x 例 2 1 1 0 k rk r i k ik CC 该定理为我国数学家朱世杰在 1303 年左右发现的 所以 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 9 通称朱世杰横等式 证明 由等比数列求和公式 x xx xxx krk rkkk 1 1 1 1 1 1 1 根据二项式定理比 较 以 上 等 式 两 端 展 开 式 中 含 k x项 的 系 数 得 1 11 k rk k rk k k k k CCCC 即 1 1 0 k rk r i k ik CC 4 4 意义 在数学公式教学中不仅要引导学生注重展示公式的形成过程 掌握公式的结构特 征 揭示公式之间的联系 而且还要引导学生熟悉公式的各种变换 灵活应用公式学会 由浅人深 由表及里 顺 用 逆 用公式 进而达到 变 用与 创 用公式 以巧妙的 活 用代替生硬的 套 用公式 数学公式的巧妙应用既有利于学生对知 识的掌握 更有利于提高学生思维能力 特别是创造性思维能力 以及对培养学生多元 化思维和创新精神 丰富学生的想象力 提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益 5 总结 素质