数学思想讲座.doc

让数学思想方法在学生脑海中“扎根”库尔勒市第二小学 王敏我们首先来了解一下什么是数学？“数学是什么”数学教师会怎样回答？好像清楚，好像又说不清楚。“数学是什么”看似是纯理论问题.其实，对于数学教育来说却是很实际、很重要的问题.然而，许多数学教师自从站上三尺讲台就埋头于“题海”，对于“数学是什么”这样的基本问题很少思考.对“数学是什么”不同的回答对应不同的立足点，表明不同的数学观.辞海解释：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。古时候，人类在生产和生活实践中，由于比较物体的大小和数量的多少的需求，获得了数的概念；同时也从物体的形状和位置获得了一些简单几何的概念。到了16世纪，包括算术，初等代数，初等几何和三角的初等数学已大体上完备了。17世纪，由于生产力的发展推动了自然科学和技术的前进，人们获得了变量的概念，这是数学发展上的一个转折点，数学不仅研究不变的量和个别图形，而且开始研究变化中的量与量之间的相互制约关系和图形间的相互变换，从而使运动和辩证法进入了数学。随着生产力的进一步发展，愈来愈多地要求对自然现象做定量的研究；还由于数学学科自身的发展，使得数学的研究范围不断被扩大，内容日益丰富。课标：数学是研究数量关系和空间形式的科学。这是19世纪恩格斯给数学下了这样的定义。恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。个人理解：数学就是一项技能，和我们的平时生活息息相关。这是我对数学潜意识的理解。数学是关于模式和秩序的科学，我们生活在一个有诸多模式组成的世界中，春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落，繁星夜夜周而复始地从天空划过，世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的，人类的心智和文化为模式的识别，分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学，通过数学建立模型，可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。不知道各位老师是如何理解数学的？南京大学哲学系郑毓信教授认为:在学校环境中，大多数人开始形成自己的“数学观念”，而且在大多数情况下，这些观念在他们以后的生涯中一直得到保持。现行数学教育的一个重要弊端就在于:学校通过数学学习所形成的数学观并不是“真正数学”的真实写照。也就是说，就今天的现实而言，“学校的数学”并不是“真正的数学”。为使学校的数学教育真正反映数学的本来面目，每一个数学教师都必须思考“数学是什么?”全日制义务教育数学课程标准(2011)在课程总目标中明确指出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”由“双基”(基础知识和基本技能)到“四基”的变革，足以看出数学思想的举足轻重。 日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段话:“学生们所学到的数学知识，在进入社会后，儿乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管们从事什么工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”漫长的数学发展史也告诉我们，一个人要想在数学上有所作为，仅简单地拥有大量的知识是不够的，他必须同时具备数学的精神，掌握数学思想与方法。 数学思想和数学方法既有区别又有密切联系，数学思想的理论和抽象程度高一些，而数学方法的现实性更强一些。简单地说，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种认识达到一定程度时就会产生吃跃，从而上升为数学思想。其实在小学数学教学中，许多数学方法和思想往往是一致的，不严格区分时我们称为数学思想方法。小学数学知识、思想方法在整个数学大厦中处于根基地位，它是一切后续数学学习的基础。因此，在小学阶段应该有意识地向学生渗透一些基本的数学思想可以加深学生对数学知识的理解，提高学生的数学素养，为学生今后的数学学习积攒后劲。我今天想从这几个方面和大家进行交流：1、 目前数学思想在教学中落实的现状分析 数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉 。 目前，在小学数学教学中，教师往往只重视“知识点”，特别是与考试相关的知识点，千方百计地加以强化和深化，却不注重对数学思想和本质的揭不。如果将学生的思维看作一个坐标系，那么数学知识技能就相当于横轴上的元素，而数学思想方法就是纵轴上的内容。对数学思想方法的忽视，就造成了学生思维上的“断点”和知识上的“脱节”，使得学生“就事论事”、死记硬背，到最后越学越难、越学越累。究其原因，老师们平时教学中对于数学思想方法的渗透大部分处于“无意识”状态。 从问卷和访谈的结果看，“四基”的内容大部分教师都能准确说出来。教师们想到最多的数学思想方法是转化思想(有的教师说成化归思想)、分类思想、类比思想、极限思想。分类思想在教学中的应用教师们都能举出两三个例子。在教学中渗透思想方法的例子，教师们首先想到的是转化思想。很多教师想到了平行四边形、三角形、梯形、圆而积公式推导过程中转化思想的运用。长期以来，我们对数学教学效果的评价总是围绕显性知识的掌握而展开的，相对削弱了对学生数学思想方法的有效考察。调查发现，教师们在平时教学中对于数学思想方法的渗透大部分处于无意识状态，教师的随意性很强，很多教师对这部分内容缺乏设计。还有很多教师根本不知道每节课中到底应该渗透什么数学思想方法。究其原因，多数教师对挖掘教材中的数学思想方法有困难，甚至不少教师对特定数学知识背后隐藏什么样的数学思想方法全然不知。因为教学参考书中没有明确地写出来，平时教学可参考的资料很少。当进一步追问教师们:“你们平时听课时关注教师如何渗透思想方法吗，”回答是“很少关注这方而”，有的年轻教师说:“即使有渗透，我也看不出来”。看来，对数学思想方法教学缺乏意识性是一个比较普遍的问题。 小学数学教学中涉及的数学思想方法很多。可分为三大类 “ 数学抽象的思想”、“ 数学推理的思想”、“ 数学模型的思想” 。由“ 数学抽象的思想” 派生出来的有：分类的思想，集合的思想，“ 变中有不变” 的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等 由 数学推理的思想 派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等”像数学建模的思想,还能进一步派生出来,像简化的思想,量化的思想,函数的思想,方程的思想,优化的思想,随机的思想,抽样统计的思想等等. 2、 数学思想方法在学生头脑中的形成阶段 学生对每一种思想方法的领会和掌握，都要经过较长时间、不同内容的学习才能真正达到。学生理解掌握数学思想方法的过程一般有三个阶段。 1.潜意识阶段。 在这个阶段，学生往往只注意数学知识的学习，而对隐藏在知识后而的思想方法未能引起注意，或者只是处于一种朦朦胧胧、似有所悟的状况。 例如，低年级学生而对分类思想、数形结合思想、对应思想。因为只是刚接触，这个阶段主要是积累数学活动经验，主要方法是通过不断出现让学生“混个脸熟”。 2.明朗化阶段。 随着运用同一种数学思想方法解决不同数学问题的实践机会增多，隐藏在数学知识后而的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索，以至于产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被运用多次的思想方法就会凸现出来，甚至达到一种“呼之欲出”的境界，这就是数学思想方法学习的明朗化阶段。 例如，在教学平行四边形而积时，学生会想到把平行四边形转化成长方形;在推导三角形而积时，学生会想到把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形;在推导梯形而积时，学生会想到把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形在教学圆的而积时.学生会想到把圆分成若干个小扇形，再拼成平行四边形或长方形。至此，学生到了六年级，对于转化思想就达到了明朗化阶段，转化思想已经深入学生内心。 3.深刻化阶段。 这时，学生已能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题解决。同时，在问题解决的实践过程中，又加深了学生对思想方法的理解，经过多次应用，能逐步到达一种思想方法运用自如的境界。 例如，到了毕业复习阶段，学生对转化思想的理解就比较深刻，学生除了能够利用转化思想解决图形类问题，还会迁移到计算题和较复杂的应用问题。甚至最后能够自己总结出用转化思想解决问题的形式有:化繁为简、化整为零、化曲为直、化生为熟、化形为数、化数为形、化一般为特殊等。数学思想方法总是隐藏在各知识版块中，体现在揭示、应用知识的过程中。可以这样说，数学教材的每一章节乃至每一道例题，都体现着数学基础知识与数学思想方法的有机结合。这是因为，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。 教材中，除个别思想方法外，大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中，处于潜形态。作为教师，应该将深层知识揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。这样才能根据学生实际，采取适当措施去体现思想方法的教学。我想可以从这几方面思考：（一）、备课：研读教材、确立目标、设计预案，挖掘数学思想方法 “凡事预则立，不预则废。”如果课前教师对教材内容适合渗透哪些思想方法懵然无知，数学思想方法的渗透也就无从谈起了。因此教师在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要深入钻研教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，在教学目标中予以明确，并将目标落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法的渗透与数学知识教学的有机融合，使教材呈现的知识技能这条明线与隐含的思想方法的暗线同时延展。（二）、在教学设计中抽出思想方法这条线。 例如，符号思想在数与代数领域主要出现在数的表示、数的运算、数的大小比较、运算律、方程的认识等教学内容中;在图形与几何领域主要出现在用宇母表示计量单位、用符号表示图形、用宇母表示公式等内容中。具体到某一节课，也有很明确的数学思想渗透。如植树问题、乘法分配律、三角形而积公式渗透的是模型思想，正反比例、积的变化规律渗透的是函数思想，三角形的分类渗透的是分类思想，在低年级利用数直线比较数的大小和进行加减法计算渗透的就是数形结合思想。 怎样将一个简单的内容上的有深度呢？把数学思想融进去。例如，一年级上册10的分与合。1、 从有序到无序 师：你能有序的涂一涂吗？学生涂完得出10可以分成9 和1，还可以怎样分呢？接着涂8和2依次类推。众所周知，教学10的分成要渗透一种有序的思想，引着学生有序的得到10的分成式子，这样“告诉”就能培养有序的思想吗？不妨假设一下，能否从无序到有序，让学生随意自由的涂得出10的各种分成，当学生发现这样分比较零碎，不容易记时，再引导学生有序得出10的分成，这样是不是就能很好的体现有序思考的价值呢？2、 体会变与不变的思想当学生得出9个式子后，让学生观察这些式子的数字，他们有什么特点呢？放手让学生自己探究：一个变大，一个变小，但不管怎样变，他们的和还是10.这其中还蕴含着“变与不变”得思想呢。从上面的例子可以看出，教学简单内容时同样能渗透数学思想方法，这也是将简单内容上出深度的必然选择，在渗透以上这些思想方法的同时，我们也要清晰地认识到分与合本身也是重要的思想。“转化”就是将新知识、新问题通过一定的途径变为旧知识、旧问题，从而用已有的学习经验来解决新的问题! 在探索图形面积这一领域，要用已有的学习经验解决新的问题，就要将新图形通过等积变形转化为已学图形，转化的数学思想应贯穿整个单元! 在平行四边形的面积一课中，学生在学习平行四边形的面积之前，应有这样的知识经验：可以通过数方格找出长方形正方形的面积，有不满整格算半格的解题经验，这是学生在认识面积单元所积累的知识经验!基于学生的这一认知起点，课中，教师设计了自主提取旧知尝试数方格求面积交流汇报中感悟转化方法! 在数的过程中，学生逐渐领悟到，先移后补，补成长方形后，就不需要一格一格地数了，而是可以直接用6乘4等于24平方厘米来计算!学生在交流中分享经验，在移补中，完成了从平行四边形到长方形的转化! 我们要寻求平行四边形自己的面积计算公式！通过形象的动态演示，引导学生在直观的图形中找出长方形的长与平行四边形的底之间的关系，同时，可直观地看出，转化后长方形的宽就是原来平行四边形的一条高! 这种数形结合的教学方式，变静态的数据为动态的演示，能帮助学生很好地疏通两种图形之间的联系，从而水到渠成地构建出平行四边形的面积计算公式为：平行四边形的面积(底乘高)这也蕴含着模型思想。再如六年级的数与形，看课题就知道他渗透的是数形结合的思想。国培期间我们有幸邀请到了北京教科院的刘延革老师，他上了一节数与形的课，听了他的课，你就能明显的感觉到数学思想方法的渗透在，这节课体现的淋漓尽致。他先出示几副有规律的图，让学生猜下一副是多少再让学生根据图写数字或者是一个式子，初步让学生感知从形上可以抽象出数。然后又出示一个式子，让学生猜图形，有让学生感知数字中也反映出形。在这里他强调切不可把它上成一节探索规律的课，而是以这个活动为载体渗透数学思想积累学生的活动经验。他不仅讲了例1，把例2也讲了，在这个过程中他又加深了对数与形之间关系的认识，同时也渗透了极限思想，最后通过两道题，有让学生更进一步体会到了数与形之间的关系。他没有过多的让学生去探索规律，而是让学生在这个过程中积累丰富的活动经验和解题方法。其实数与形的数学思想在低年级的时候我们更容易渗透，我在查阅资料的时候看到中国科学院院士、数学家张景中写的一篇文章感受小学数学思想的力量在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习1”的时候，就要学生用，1 来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子?如，1个圆有1个圆心”、1条线段有1个中点”、1个正方形有1个中心”等。有的老师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习2的时候，我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早己经会说了。在学3”的时候，可以画一个三角形，让学生说三角形有3条边、3个顶点，学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说正方形有4条边、4个顶点学到I00以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好早点记一些东西，以后再慢慢理解。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合。以形助数，以数辅形，让数与形各展其长，优势互补，相辅相成，达到抽象逻辑思维与具体形象思维的完美统一，从而使所要解决的问题化难为易，化繁为简，在日常教学中，应结合具体内容，有意识的引导学生见数想形，因形思数，使数与形结合，培养学生数形相互转化的意识。 要准确找出每节课的数学思想方法，需要教师对教材进行深入解读，教师需要对教学内容所承载的教育价值进行分析，考虑内容背后所蕴藏的丰富思想方法。 合理的知识结构对教师的成功教学起着重要的作用。除了认真研读教材和教学参考书，建议大家读一些相关的专著，通过阅读专著提升自己的专业素养。教师自己先要搞懂有哪些数学思想方法，每一种思想方法的含义是什么，这样才能以较高的观点驾驭数学教学内容，才能站在“高观点”进行小学数学思想方法的教学。 （三）、教学中明线与暗线的自然穿插 由于数学思想方法往往隐藏在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在学习时，学生常常只注意处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之口的。 也就是说，数学教学内容贯穿着两条主线，即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文宇写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。 例如，三角形的内角和所承载的数学思想方法就没那么显而易见了，它需要教师深入分析钻研教材，认真思考，发现其蕴含的数学思想方法。我在备课时有关数学思想方法的目标是这样确定的:经历观察、猜想、折拼等学习活动，让学生了解类比思想、推理思想和变中有不变思想，理解转化方法的特点和作用，感悟转化思想在数学中的应用，积累解决问题的数学活动经验。首先，看教材所呈现的验证方法，把三角形三个角撕下来，再拼在一起拼成一个平角，让人一眼就能看出三角形三个内角之和是180度，这种把未知转化成已知、把陌生转化成熟悉来研究的思想是小学数学中的转化思想。再看本课的导入，其实学生对于三角形内角和并不完全陌生，在三年级学习角的度量的练习中就有度量直角三角板各内角的度数并求出内角和的练习题，从此处可以看出学生对内角和是有初步的认知经验的。为此，本课导入可以从熟悉的直角三角板入手，发现直角三角形内角和都是180度的现象。然后学生进行类比猜想，教师此时可提出:其他类型的三角形内角和也会是180度吗?这种由此及彼、举一反三的的数学思想是数学中常用的类比思想。本课主要是验证三角形内角和是不是180度，这就涉及到推理，我们在国培期间磨课时，教授就指