齐次型方程及其求解.pdf

年月绵阳师范学院学报 田 第卷第期 齐次型方程及其求解 胡劲松 西华大学数学与计算机学院 四川成都 摘要对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式 齐次型方程进行了研究 并将齐次方程的 变量变 换 法求解过程推广应用到齐次型方程 从而证明了齐次型方程是可积方程 得到了一阶微分方程的几种新的 可积 类型 其中也包括部分黎卡提方程和贝努利方程 关健词齐次方程齐次型方程 变量变换法可积方程川 中图分类号文献标识码文章编号 石 众 魂抖 引言 众所周知 形如 上 立 的一阶微分方程称为齐次方程 定义形如 中 的一阶微分方程称为齐次型方程 若通过变量变换 引人新的未知函数 上 即令 二 一工一 中 贝 组可 一一 立 么 求得方程的通解 本文 我们将齐次方程 的求解过程加以推广 解决了齐次型方程的求解问题 从而得到了包括部分黎卡提方程和贝努利方程在 内的一阶微分方程的几种新的可积类型 主要结果 定理齐次型方程为可积方程 证引沐新的未知函数 寻二 即令 二 则碟耀化为可摘变量的微分方程 二 空 甲气汤 毛 叭 一 从耐出规解 了 么 一 卿劝 故齐次型方程是可积方程 我们注意到 齐次方程即是当齐次型方程中的城幻时的特殊情况 定理 任意 椭兴 二一 一 邮 则耀 窦 息 一 一 一 二 其中 二 尹 且 气 不全为零为可积方程 注当 式子中的分母为零时 这时应理解为分子也为零 即 一 文中以下的推论 定理 和推论中的情况与之相同 且在例 例和例中 我们都没有判断 是否满足条件 设 一一二 衫 则 二一尹 几尸 几 二一 一一 一 几 二一 几 二 助 一 一一 一一 代人方程 并将其变形为 收稿日期众 作者简介 胡劲松 男 副教授 主要研究方向基础数学 第期胡劲松齐次型方程及其求解 空 一 去去 去 去 内 月 毛八 毛 由 一 一 那一 知其是齐次型方程 故方程为可积方程 推论若对任意 司 都有 丘竺二竺三 一一 则方程 立 么 其中 介 二 且 几 艺气 飞 二 少 尹 中至少有两个不为零为可积方程 公生旦二竺三 二 二加 认 一一一一 一 目 比叨 为 定理老汉寸任意 司 都有 二十 则方程 立 击 启 卜 乙 声 一 丁 几二 十 今 今 助如其中 二 笋 且 中至少有一个不为零 助助 设 则 一 夺 一 气 一 为可积方程 气 二 尹 即 一 一 似摊 将其变形为 李 乙不 扩 了气 丁 答 十 岑 答 由 衅 一 知其是齐次型方程 故方程为可积方程 都有 生旦 过三 久 二 今 工 则方程 今 一 中至少有两个不为零为可积方程 艺 目 推论若对任意勺 立 么 其中 二 且 二褥生卫玉二兰 二二加 比认 一一尸 一 叨 注意到定理及推论和定理及推论的证明过程中的常数正好成相反数 于是可以得到更一般的 结论 定理若对任意 二 和 二 椭男 一 共 则榷 十 宁 立 击 艺 一 艺 尹 几 推论 护 且 二 和 气 均不全为零为可积方程 老尔寸任意 二 二 和 二 司 都有 华 华 则榷 乙一 艺 一 叉宁 一一 立击 介 二 且 和 内 均不全为零为可积方程 举例 例求嚼 尹 一 粤 的通解 解所给方程为型 此时 一 几 二 几 一 二一 由定理知该方程为齐次型方程 且 一 则原方程化为 李 二 口劣 一 兽 一 令 一 代 整 会 犷 一 解之 换成 得原方程的通解为 绵阳师范学院学报自然科学版第卷 叮 一 舒 注 此例是文 中的例的一个黎卡提凡方程 但在文 中只能求出其特解 例 北亏 程空二 一 粤兽 汾 尹的通解 砚 石不 万 二 一 一 几几 二 一 一 一一 解肝车 力 性刀沪型 几盯 一 几 二飞 几 育一下 一一了 二犷 田淮韵匕翔拱万性刀介认型力 一峙一 程 且 牛则原方程化为 二于一 李共共 共 令 二二号 代人并整理得 二 矿 矿 气标 血 二 扣 解之 卉 得 为 立么业心 号 了肛 拼挤贝邢 例 乳 爵 一 兰 荡 命了 一 今的通解 解所给方程为型 此时 二 儿 二 由推论知该方程为齐次型方程 且 贝 原方程化 会 犷 万一 一 兰 令 犷 代人并整理得 么 一 二生一 矿 业令旦 或 一 含 一 护 一 一 扩 例 二 与 二嘿 解之 并将 换成善 整理得原方程的通解为 尹 下万万 一了 一 上的通解 一 一 一 解所给方程为型 此时 气 一 一 一 一 谊 下下 二一 由定理 知 为剂 且 二 一 贝 原 为 会 二一 生 生 一 毛 令 二一 代人并整 一 定 哭寻气犷 口写 或 一 下卫竺 井斗 与 解之 并将 换成扩 得原方程的通解为 名劣 扩了 一 二 尹 七 了 而 例求方醉 于 口荡 万郊 中只 例 的贝努利 方程的通解 解所给方程为型 此时 一 仗 下丁 哥 由二 且 号 贝 原 方程化为 换成善 劣 孪 二 令备善 劣了誉 令 李 一 一 一 二 们砂人少十里龙 哭 召寻 下尸 下一乌沁一万花尸一丁召 口荡刀肺式二 少于于牙 口落石 乙 一工 得原方程的通解为 犷 一 扩 二 众 或 厂下 结语 虽然对一阶微分方程的求解有过很多的研究 曾证明黎卡提形方程 刊 但可积的一阶微分方程还是很少 法国数学家刘维尔 寰 尹 一般都不是可积方程 时 方