湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习 数学归纳法的解题应用.doc

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：数学归纳法的解题应用高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式设p(n)是关于自然数n的命题，若1p(n0)成立(奠基)2假设p(k)成立(kn0)，可以推出p(k+1)成立(归纳)，则p(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nn*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nn*)下面用数学归纳法证明 当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立 由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立 例2在数列an中，a1=1，当n2时，an,sn,sn成等比数列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列an所有项的和 错解分析 (2)中，sk=应舍去，这一点往往容易被忽视 技巧与方法 求通项可证明是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式 解 an,sn,sn成等比数列，sn2=an(sn)(n2) (*)(1)由a1=1,s2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,s3=+a3代入(*)式得 a3=同理可得 a4=,由此可推出 an=(2)当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立 假设n=k(k2)时，ak=成立故sk2=(sk)(2k3)(2k1)sk2+2sk1=0sk= (舍)由sk+12=ak+1(sk+1),得(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk)由知，an=对一切nn成立 (3)由(2)得数列前n项和sn=,s=sn=0 例3是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记sn=122+232+n(n+1)2设n=k时上式成立，即sk= (3k2+11k+10)那么sk+1=sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 学生巩固练习 1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nn,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )a 30b 26c 36d 62 用数学归纳法证明3kn3(n3,nn)第一步应验证( )a n=1b n=2c n=3d n=43 观察下列式子 则可归纳出_ 4 已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_ 5 用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nn* 6 若n为大于1的自然数，求证 参考答案 1 解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 答案 c2 解析 由题意知n3，应验证n=3 答案 c3 解析 (nn*)(nn*)、 5 证明 (1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+