江苏省海门市包场高级中学高考数学一轮复习 空间向量的应用教学案.doc

10.6 空间向量的应用（理）一、考点要求：内 容要 求abc空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量空间向量的应用学习目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；会用量法求异面直线的所成角；会用向量求线面角；会用向量求面面角；会用向量求距离。二、知识要点：1直线的方向向量：把直线上的向量以及与 的向量叫做直线的方向向量。2平面的法向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线 于平面，那么称向量垂直于平面，记作。此时，我们把向量叫做平面的法向量。平面的法向量的求法：3空间线面关系的判定：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为平行垂直与与与的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 7异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，ab为其公垂线段，c、d分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则.8设平面的一个法向量为，点p是平面外一点，且po，则点p到平面的距离是d.三、典型例题：例1如图所示，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点求证：(1)de平面abc； (2)b1f平面aef.例2如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为1的菱形，abc.oa底面abcd，oa2，m为oa的中点，n为bc的中点(1)证明：直线mn平面ocd；(2)求异面直线ab与md所成角的大小 例3如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab4，ad2，aa12，f是棱bc的中点，点e在棱c1d1上，且d1eec1(为实数)(1)当时，求直线ef与平面d1ac所成角的正弦值的大小；(2)求证：直线ef不可能与直线ea垂直例4如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)证明：pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长四、课后练习：1.如图,在六面体中,四边形abcd是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面abcd，dd1=2。()求证:与ac共面，与bd共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.2. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点e在上，且:2:1(1) 证明 平面；cdbape(2) 求以ac为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱pc上是否存在一点f，使平面？证明你的结论3.(2011江苏卷)如图，在正四棱柱abcd a1b1c1d1中，aa12，ab1，点n是bc的中点，点m在cc1上，设二面角a1dnm的大小为.(1)当90时，求am的长；(2)当cos 时，求cm的长4. 如图四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，pg平面abcd，垂足为g，g在ad上，且pg4，bggc，gbgc2，e是bc的中点pagbcdfe(1)求异面直线ge与pc所成的角的余弦值；(2)求点d到平面pbg的距离；(3)若f点是棱pc上一点，且dfgc，求的值例1：证明如图建立空间直角坐标系axyz，令abaa14，则a(0,0,0)，e(0,4,2)，f(2,2,0)，b(4,0,0)，b1(4,0,4)(1)取ab中点为n，连接cn，则n(2,0,0)，c(0,4,0)，d(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，denc，又nc平面abc，de平面abc.故de平面abc.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即b1fef，b1faf，又affef，b1f平面aef.例2：(1)证明 作apcd于点p.如图，分别以ab，ap，ao所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系a(0,0,0)，b(1,0,0)，p，d，o(0,0,2)，m(0,0,1)，n. (1)，. 设平面ocd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(0,4，)0，mn平面ocd.(2)解设ab与md所成角为，(1,0,0)，cos ，.直线ab与md所成的角为.例3：解分别以da，dc，dd1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(2,0,0)，c(0,4,0)，d1(0,0,2)，e，f(1,4,0)所以(2,0，2)，(0,4，2)(1)当时，e(0,1,2)，(1,3，2)设平面d1ac的一个法向量为n(x，y，z)由解得取y1，则n(2,1,2)因为|，|n|3，n1，所以cos，n.因为cos，n0，所以，n是锐角，是直线ef与平面d1ac所成角的余角，所以直线ef与平面d1ac所成角的正弦值为.(2)证明假设efea，则0.因为，.所以240.化简，得32230.因为4360，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线ef不可能与直线ea垂直例4：解如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b， p(0,0,2)(1)证明易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，pcad.(2)解(0,1，2)，(2，1,0)设平面pcd的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面pac的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n. 二面角apcd的正弦值为.(3)解设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2，1,0)，故cos，cos 30，解得h，即ae.3.解答示范 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.设cmt(0t2)，则各点的坐标为a(1,0,0)，a1(1,0,2)，n，m(0,1，t)所以d，d(0,1，t)，(1,0,2)设平面dmn的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1d0，n1d0，即x12y10，y1tz10.令z11，则y1t，x12t，所以n1(2t，t,1)是平面dmn的一个法向量设平面a1dn的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n2d0，即x22z20，x22y20.令z21，则x22，y21，所以n2(2,1,1)是平面a