新（浙江专用）高考数学二轮专题突破 专题四 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直 理.doc

第2讲空间中的平行与垂直1(2015北京)设，是两个不同的平面，m是直线且m.则“m”是“”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件2(2013浙江)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若m，n，则mnb若m，m，则c若mn，m，则nd若m，则m3(2015江苏)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e.求证：(1)de平面aa1c1c；(2)bc1ab1.1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例1(1)(2015广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()al与l1，l2都不相交bl与l1，l2都相交cl至多与l1，l2中的一条相交dl至少与l1，l2中的一条相交(2)平面平面的一个充分条件是()a存在一条直线a，a，ab存在一条直线a，a，ac存在两条平行直线a，b，a，b，a，bd存在两条异面直线a，b，a，b，a，b思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练1已知m，n为两条不同的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n，则mn；若m，mn，则n；若，m，则m；若m，m，则.a0 b1c2 d3热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例2(2015广东)如图，三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直，pdpc4，ab6，bc3.(1)证明：bc平面pda；(2)证明：bcpd；(3)求点c到平面pda的距离思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2如图所示，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点求证：(1)af平面bce；(2)平面bce平面cde.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法例3如图(1)，在rtabc中，c90，d，e分别为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图(2)(1)求证：de平面a1cb；(2)求证：a1fbe；(3)线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？请说明理由思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论跟踪演练3(2014广东)如图(1)，四边形abcd为矩形，pd平面abcd，ab1，bcpc2，作如图(2)折叠，折痕efdc.其中点e，f分别在线段pd，pc上，沿ef折叠后点p叠在线段ad上的点记为m，并且mfcf.(1)证明：cf平面mdf；(2)求三棱锥mcde的体积热点四直线和平面所成的角直线和平面所成的角往往涉及空间几何体的结构特征和空间线面关系的推理，多以特殊的棱柱和棱锥为载体，如长方体、有一条侧棱与底面垂直的棱锥等，试题比较简单，多以直接求解直线和平面所成的角，有时也会出现在解答题的某一问中例4(2015浙江)如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac90，abac2，a1a4，a1在底面abc的射影为bc的中点，d为b1c1的中点(1)证明：a1d平面a1bc；(2)求直线a1b和平面bb1c1c所成的角的正弦值思维升华求解直线和平面所成的角的关键是找出或作出平面的垂线，进而根据直线和平面所成的角的定义确定其平面角，即可将所求角转化为三角形的内角求解跟踪演练4如图，直三棱柱abca1b1c1中，abacaa1，bc2.则直线a1b与平面bcc1b1所成的角为_.1不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是()amnm bmncm dmn2如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，已知dcdd12ad2ab，addc，abdc.(1)求证：d1cac1；(2)问在棱cd上是否存在点e，使d1e平面a1bd.若存在，确定点e位置；若不存在，说明理由提醒：完成作业专题四第2讲专题四第2讲空间中的平行与垂直a组专题通关1(2015温州模拟)已知a、b、c是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列条件中，能推导出a的是()aab，ac，其中b，cbab，bc，adab，b2(2015湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()ap是q的充分条件，但不是q的必要条件bp是q的必要条件，但不是q的充分条件cp是q的充分必要条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，p，q分别是aa1，a1d1，cc1，bc的中点，给出以下四个结论：a1cmn；a1c平面mnpq；a1c与pm相交；nc与pm异面其中不正确的结论是()a b c d4已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()a bc d5如图，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将adb沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成三棱锥abcd.则在三棱锥abcd中，下列命题正确的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc6如图，在空间四边形abcd中，mab，nad，若，则直线mn与平面bdc的位置关系是_7.如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点有以下四个命题：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)8(2015浙江)如图，三棱锥abcd中，abacbdcd3，adbc2，点m，n分别是ad，bc的中点，则异面直线an，cm所成的角的余弦值是_9(2015山东)如图，三棱台defabc中，ab2de，g，h分别为ac，bc的中点(1)求证：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求证：平面bcd平面egh. 10(2015四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母f，g，h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面beg与平面ach的位置关系并证明你的结论；(3)证明：直线df平面beg.b组能力提高11(2015丽水模拟)已知平面、，则下列命题中正确的是()a，a，ab，则bb，则ca，b，则abd，则12.如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.13正方体abcda1b1c1d1中，e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)acbe；b1e平面abcd；三棱锥eabc的体积为定值；直线b1e直线bc1.14.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点(1)证明：平面adc1b1平面a1be；(2)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f平面a1be？证明你的结论二轮专题强化练专题四第2讲空间中的平行与垂直a组专题通关1(2015温州模拟)已知a、b、c是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列条件中，能推导出a的是()aab，ac，其中b，cbab，bc，adab，b2(2015湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()ap是q的充分条件，但不是q的必要条件bp是q的必要条件，但不是q的充分条件cp是q的充分必要条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，p，q分别是aa1，a1d1，cc1，bc的中点，给出以下四个结论：a1cmn；a1c平面mnpq；a1c与pm相交；nc与pm异面其中不正确的结论是()a b c d4已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()a bc d5如图，四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，将adb沿bd折起，使平面abd平面bcd，构成三棱锥abcd.则在三棱锥abcd中，下列命题正确的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc6如图，在空间四边形abcd中，mab，nad，若，则直线mn与平面bdc的位置关系是_7.如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点有以下四个命题：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)8(2015浙江)如图，三棱锥abcd中，abacbdcd3，adbc2，点m，n分别是ad，bc的中点，则异面直线an，cm所成的角的余弦值是_9(2015山东)如图，三棱台defabc中，ab2de，g，h分别为ac，bc的中点(1)求证：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求证：平面bcd平面egh. 10(2015四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母f，g，h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面beg与平面ach的位置关系并证明你的结论；(3)证明：直线df平面beg.b组能力提高11(2015丽水模拟)已知平面、，则下列命题中正确的是()a，a，ab，则bb，则ca，b，则abd，则12.如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面是以abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.13正方体abcda1b1c1d1中，e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)acbe；b1e平面abcd；三棱锥eabc的体积为定值；直线b1e直线bc1.14.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点(1)证明：平面adc1b1平面a1be；(2)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f平面a1be？证明你的结论学生用书答案精析第2讲空间中的平行与垂直高考真题体验1bm，m/ ，但m，m，m是的必要而不充分条件2c两条平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面故选c.3证明(1)由题意知，e为b1c的中点，又d为ab1的中点，因此deac.又因为de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de平面aa1c1c.(2)因为棱柱abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因为ac平面abc，所以accc1.又因为acbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.又因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac.因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.又因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.热点分类突破例1(1)d(2)d解析(1)若l与l1，l2都不相交则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交(2)若l，al，a，a，则a，a，故排除a.若l，a，al，则a，故排除b.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除c.故选d.跟踪演练1c对于，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；对于，直线n可能在平面内，所以推不出n，错误；对于，举一反例，m且m与，的交线平行时，也有m，错误；对于，可以证明其正确性，正确故选c.例2(1)证明因为四边形abcd是长方形，所以bcad，因为bc平面pda，ad平面pda，所以bc平面pda.(2)证明因为四边形abcd是长方形，所以bccd，因为平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcdcd，bc平面abcd，所以bc平面pdc，因为pd平面pdc，所以bcpd.(3)解如图，取cd的中点e，连接ae和pe.因为pdpc，所以pecd，在rtped中，pe.因为平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcdcd，pe平面pdc，所以pe平面abcd，由(2)知：bc平面pdc，由(1)知：bcad，所以ad平面pdc，因为pd平面pdc，所以adpd.设点c到平面pda的距离为h，因为v三棱锥cpdav三棱锥pacd，所以spdahsacdpe，即h，所以点c到平面pda的距离是.跟踪演练2证明(1)如图，取ce的中点g，连接fg，bg.f为cd的中点，gfde且gfde.ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.四边形gfab为平行四边形，则afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.(2)acd为等边三角形，f为cd的中点，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，故af平面cde.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.例3(1)证明因为d，e分别为ac，ab的中点，所以debc.又因为de平面a1cb，bc平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)证明由题图(1)得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因为a1fcd，所以a1f平面bcde，又be平面bcde，所以a1fbe.(3)解线段a1b上存在点q，使a1c平面deq.理由如下：如图，分别取a1c，a1b的中点p，q，则pqbc.又因为debc，所以depq.所以平面deq即为平面dep.由(2)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点，所以a1cdp.所以a1c平面dep.从而a1c平面deq.故线段a1b上存在点q，使得a1c平面deq.跟踪演练3(1)证明因为pd平面abcd，ad平面abcd，所以pdad.又因为abcd是矩形，cdad，pd与cd交于点d，所以ad平面pcd.又cf平面pcd，所以adcf，即mdcf.又mfcf，mdmfm，所以cf平面mdf.(2)解因为pddc，bc2，cd1，pcd60，所以pd，由(1)知fdcf，在直角三角形dcf中，cfcd.过点f作fgcd交cd于点g，得fgfcsin 60，所以defg，故mepe，所以md .scdededc1.故vmcdemdscde.例4(1)证明设e为bc的中点，由题意得a1e平面abc，所以a1eae，因为abac，所以aebc.故ae平面a1bc.由d，e分别为b1c1，bc的中点，得deb1b且deb1b，从而dea1a且dea1a，所以aa1de为平行四边形于是a1dae.又因为ae平面a1bc，所以a1d平面a1bc.(2)解作a1fde，垂足为f，连接bf.因为a1e平面abc，所以bca1e.因为bcae，所以bc平面aa1de.所以bca1f.又a1f平面bb1c1c，所以a1bf为直线a1b和平面bb1c1c所成的角由abac2，cab90，得eaeb.由a1e平面abc，得a1aa1b4，a1e.由debb14.da1ea，da1e90，得a1f.所以sin a1bf.跟踪演练4解析如图所示，取b1c1的中点d，连接a1d，bd.因为abac，所以a1b1a1c1，又b1c1bc2，且b1ddc11，所以a1db1c1，且a1d1.又直三棱柱abca1b1c1中，平面a1b1c1平面bcc1b1，且平面a1b1c1平面bcc1b1b1c1，所以a1d平面bcc1b1.故a1bd为直线a1b与平面bcc1b1所成的角又a1b2，所以sina1bd，故a1bd.所以直线a1b与平面bcc1b1所成的角为.高考押题精练1c构造长方体，如图所示因为a1c1aa1，a1c1平面aa1c1c，aa1平面aa1b1b，但a1c1与平面aa1b1b不垂直，平面aa1c1c与平面aa1b1b不垂直所以选项a，b都是假命题cc1aa1，但平面aa1c1c与平面aa1b1b相交而不平行，所以选项d为假命题“若两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选c.2(1)证明在直四棱柱abcda1b1c1d1中，连接c1d，dcdd1，四边形dcc1d1是正方形，dc1d1c.又addc，addd1，dcdd1d，ad平面dcc1d1，又d1c平面dcc1d1，add1c.ad平面adc1，dc1平面adc1，且addc1d，d1c平面adc1，又ac1平面adc1，d1cac1.(2)解假设存在点e，使d1e平面a1bd.连接ad1，ae，d1e，设ad1a1dm，bdaen，连接mn，平面ad1e平面a1bdmn，要使d1e平面a1bd，可使mnd1e，又m是ad1的中点，则n是ae的中点又易知abnedn，abde.即e是dc的中点综上所述，当e是dc的中点时，可使d1e平面a1bd.二轮专题强化练答案精析第2讲空间中的平行与垂直1d选项a中缺少b，c相交；选项b，由ab，b可能a；选项c可能a或a，选项d正确2a由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1l2，所以q/p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件故选a.3b作出过m，n，p，q四点的截面交c1d1于点s，交ab于点r，如图所示中的六边形mnspqr，显然点a1，c分别位于这个平面的两侧，故a1c与平面mnpq一定相交，不可能平行，故结论不正确4d对于，存在一个平面，则，反之也成立，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除b、c.对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90，即，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除a，选d.5d在四边形abcd中，adbc，adab，bcd45，bad90，bdcd，又平面abd平面bcd，且平面abd平面bcdbd，所以cd平面abd，则cdab，又adab，adcdd，所以ab平面adc，又ab平面abc，所以平面abc平面adc，故选d.6平行解析由，得mnbd.而bd平面bdc，mn平面bdc，所以mn平面bdc.7解析错误，pa平面mob；正确；错误，否则，有ocac，这与bcac矛盾；正确，因为bc平面pac.8.解析如图所示，连接dn，取线段dn的中点k，连接mk，ck.m为ad的中点，mkan，kmc为异面直线an，cm所成的角abacbdcd3，adbc2，n为bc的中点，由勾股定理求得andncm2，mk.在rtckn中，ck.在ckm中，由余弦定理，得coskmc.9证明(1)方法一连接dg，设cdgfm，连接mh.在三棱台defabc中，ab2de，g为ac的中点，可得dfgc，dfgc，所以四边形dfcg为平行四边形则m为cd的中点，又h为bc的中点，所以hmbd，又hm平面fgh，bd平面fgh，所以bd平面fgh.方法二在三棱台defabc中，由bc2ef，h为bc的中点，可得bhef，bhef，所以四边形hbef为平行四边形，可得behf.在abc中，g为ac的中点，h为bc的中点，所以ghab.又ghhfh，所以平面fg