上海交通大学 金融工程学 吴冲锋 第2章 无套利定价原理.pdf

金 融 工 程 学 第2章 无套利定价原理第2章 无套利定价原理 开课单位 金融工程课程组开课单位 金融工程课程组 主讲 吴冲锋教授主讲 吴冲锋教授 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 1 1 1 什么是套利 什么是套利 商业贸易中的 套利 行为 商业贸易中的 套利 行为 例如例如1 1个贸易公司在与生产商甲签订笔买进个贸易公司在与生产商甲签订笔买进10例如例如1 1 一 一个贸易公司在与生产商甲签订个贸易公司在与生产商甲签订一一笔买进笔买进10 吨铜合同的同时 与需求商 乙 签订一笔卖出吨铜合同的同时 与需求商 乙 签订一笔卖出10吨铜合同 吨铜合同 即贸易公司与生产商甲约定以即贸易公司与生产商甲约定以55 000元元 吨的价格从甲那里 买进 吨的价格从甲那里 买进10吨铜 同时与需求商乙约定把这买进的吨铜 同时与需求商乙约定把这买进的10吨铜以吨铜以 57 000元元 吨的价格卖给乙 并且交货时间相同 这样 吨的价格卖给乙 并且交货时间相同 这样 1 吨铜赚取差价吨铜赚取差价2 000元元 吨 吨 这是套利行为吗 这是套利行为吗 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 2 2 金融市场中的套利行为金融市场中的套利行为 金融市场的独特性使得影响套利的这些条件金融市场的独特性使得影响套利的这些条件 金融市场的独特性使得影响套利的这些条件金融市场的独特性使得影响套利的这些条件 大大地减弱 大大地减弱 1 专业化交易市场 专业化交易市场 2 电子化电子化无形化无形化数字化数字化 2 电子化电子化 无形化无形化 数字化数字化 3 卖空机制可能大大增加了套利的便利 卖空机制可能大大增加了套利的便利 4 在时间和空间上的多样性也使得套利 在时间和空间上的多样性也使得套利 更为便捷更为便捷更为便捷更为便捷 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 3 3 4月24日ETF180套利月日套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 4 4 4月25日ETF180套利 月日套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 5 5 换股中的套利 2007 11 29换股中的套利 2007 11 29 包头铝业50 73 中国铝业38 90中国铝业38 90 换股比例 1 1 48 38 90X1 48 57 57 2007年10月15日创下60 60元最高价到 2007年10月15日创下60 60元最高价到 2008年10月29日创下5 90元最低价 合并停 牌日12月20日牌日12月20日 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 6 6 金牛能源与转债之间套利的例子 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 7 7 转股价10 81元 100元转9 2507 股 134 6元股 134 6元 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 8 8 江西铜业权证中的套利问题 权中套利问题 2010年4月21日 权证价为4 198 股票价为35 78 股票价为35 78 执行价为15 4 执行比例4 1 15 4 4 198 4 132 192 不考虑时间价值 15 4 4 198 4 132 192 不考虑时间价值 35 78 32 192 3 588 不考虑融券成本 3 588 16 792 21 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 9 9 江西铜业权证中的套利问题 续 权中套利问题 续 2010年9月21日 权证价为2 776 股票价为29 49 股票价为29 49 执行价为15 33 15 33 2 776 4 26 434 不考虑时间价值 29 49 26 43 3 06 29 49 26 43 3 06 3 06 4 2 776 27 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 10 10 江西铜业 2010 09 03 11 05江西铜业 2010 09 03 11 05 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 11 11 2010 4 16 11 05 沪深300即期期货指数 现货指数 价差走势图价差走势图 收盘期现价 差 结算期现价 差 价格走势图价格走势图 当月合约连续 收盘价 当月合约连续 结算价 沪深300 收盘价 140 3600 100 120 3200 3400 60 80 3000 40 2800 0 20 04 16 04 21 04 26 04 29 05 05 05 10 05 13 05 18 05 21 05 26 05 31 06 03 06 08 06 11 06 21 06 24 06 29 07 02 07 07 07 12 07 15 07 20 07 23 07 28 08 02 08 05 08 10 08 13 08 18 08 23 08 26 08 31 09 03 09 08 09 13 09 16 09 21 09 29 10 11 10 14 10 19 10 22 10 27 11 01 11 04 2600 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 12 12 40 20 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 0 2010 1 2010 1 2010 1 2010 1 2010 1 2010 1 2010 1 2400 无风险套利的定义无风险套利的定义 在金融理论中 套利指一个能产生无风险在金融理论中 套利指一个能产生无风险 盈利的交易策略 这种套利是指纯粹的无盈利的交易策略 这种套利是指纯粹的无 风险套利 但在实际市场中 套利一般指风险套利 但在实际市场中 套利一般指 的是个预期能产生很低风险的盈利策的是个预期能产生很低风险的盈利策的是的是一一个预期能产生很低风险的盈利策个预期能产生很低风险的盈利策 略略即可能会承担定的低风险即可能会承担定的低风险略略 即可能会承担即可能会承担一一定的低风险定的低风险 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 13 13 无套利定价原理无套利定价原 金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速 金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速 这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的 存在总是暂时的 因为一旦有套利机会 投资者存在总是暂时的 因为一旦有套利机会 投资者 就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会 的均衡中 的均衡中 因此因此无套利均衡被用于对金融产品进行定价无套利均衡被用于对金融产品进行定价 因此因此 无套利均衡被用于对金融产品进行定价无套利均衡被用于对金融产品进行定价 金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场 金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场 不存在无风险套利机会不存在无风险套利机会这就是这就是 无风险套利定无风险套利定不存在无风险套利机会不存在无风险套利机会 这就是这就是 无风险套利定无风险套利定 价 原理或者简称为 无套利定价 原理 价 原理或者简称为 无套利定价 原理 什么情况下市场不存在套利机会呢什么情况下市场不存在套利机会呢我们先看我们先看 什么情况下市场不存在套利机会呢什么情况下市场不存在套利机会呢 我们先看我们先看一 下无风险套利机会存在的等价条件 一 下无风险套利机会存在的等价条件 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 14 14 无风险套利机会存在的等价条件无风险套利机会存在的等价条件 1 1 存在两个不同的资产组合存在两个不同的资产组合 它们的它们的 1 1 存在两个不同的资产组合存在两个不同的资产组合 它们的它们的 未来损益 payoff 相同 但它们的成未来损益 payoff 相同 但它们的成 本却不同 在这里 可以简单把损益理本却不同 在这里 可以简单把损益理 解成是现金流解成是现金流如果现金流是确定的如果现金流是确定的解成是现金流解成是现金流 如果现金流是确定的如果现金流是确定的 则相同的损益指相同的现金流 如果现 则相同的损益指相同的现金流 如果现 金流是不确定的 即未来存在多种可能金流是不确定的 即未来存在多种可能 性性 或者说存在多种状态或者说存在多种状态 则相同的则相同的性性 或者说存在多种状态或者说存在多种状态 则相同的则相同的 损益指在相同状态下现金流是一样的 损益指在相同状态下现金流是一样的 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 15 15 2 2 存在两个相同成本的资产组合存在两个相同成本的资产组合但但 2 2 存在两个相同成本的资产组合存在两个相同成本的资产组合 但但 是第一个组合在所有的可能状态下的损是第一个组合在所有的可能状态下的损 益都不低于第二个组合 而且至少存在益都不低于第二个组合 而且至少存在 种状态种状态在此状态下第个组合的损在此状态下第个组合的损一一种状态种状态 在此状态下第在此状态下第一一个组合的损个组合的损 益要大于第二个组合的损益 益要大于第二个组合的损益 3 一个组合其构建的成本为零 但在 3 一个组合其构建的成本为零 但在 所有可能状态下 这个组合的损益都不所有可能状态下 这个组合的损益都不 小于零小于零 而且至少存在而且至少存在一一种状态种状态 在此在此小于零小于零 而且至少存在种状态而且至少存在种状态 在此在此 状态下这个组合的损益要大于零 状态下这个组合的损益要大于零 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 16 16 无套利机会的等价性推论无套利机会的等价性推论 1 同损益同价格 如果两种证券具有相 1 同损益同价格 如果两种证券具有相 同的损益同的损益 则这两种则这两种证证券具有相同的价格券具有相同的价格 同的损益同的损益则这两种券具有相同的价格则这两种券具有相同的价格 2 静态组合复制定价 如果一个资产组 2 静态组合复制定价 如果一个资产组 合的损益等同于个证券合的损益等同于个证券那么这个资产那么这个资产合的损益等同于合的损益等同于一一个证券个证券 那么这个资产那么这个资产 组合的价格等于证券的价格 这个资产组组合的价格等于证券的价格 这个资产组 合称为券的合称为券的复制组合复制组合合称为合称为证证券的券的 复制组合复制组合 replicating portfolio replicating portfolio 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 17 17 3 3 动态组合复制定价动态组合复制定价如果个自融如果个自融 3 3 动态组合复制定价动态组合复制定价 如果如果一一个自融个自融 资 self financing 交易策略最后具有资 self financing 交易策略最后具有 和一个证券相同的损益 那么这个证券的和一个证券相同的损益 那么这个证券的 价格等于自融资交易策略的成本价格等于自融资交易策略的成本 这 这称为称为价格等于自融资交易策略的成本价格等于自融资交易策略的成本称为称为 动态套期保值策略 dynamic hedging动态套期保值策略 dynamic hedging strategystrategy 所谓自融资交易策略简单地所谓自融资交易策略简单地strategystrategy 所谓自融资交易策略简单地所谓自融资交易策略简单地 说 就是交易策略所产生的资产组合的价说 就是交易策略所产生的资产组合的价 值变化完全是由于交易的盈亏引起的值变化完全是由于交易的盈亏引起的而而值变化完全是由于交易的盈亏引起的值变化完全是由于交易的盈亏引起的 而而 不是另外增加现金投入或现金取出 一个不是另外增加现金投入或现金取出 一个 简单的例子就是购并持有简单的例子就是购并持有 简单的例子就是购简单的例子就是购买买并持有并持有 buy and hold 策略 buy and hold 策略 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 18 18 确定状态下无套利定价原理的应用确定状态下无套利定价原理的应用 1 同损益同价格 例子2 1 同损益同价格 例子2 假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后的假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后的 同同一一天到期天到期 其面值为其面值为100100元元 到期时都获得到期时都获得100100同天到期同天到期 其面值为其面值为100100元元 到期时都获得到期时都获得100100 元现金流 即到期时具有相同的损益 如果债元现金流 即到期时具有相同的损益 如果债 券券A A的当前价格为的当前价格为9898元元并假设不考虑交易成本并假设不考虑交易成本券券A A的当前价格为的当前价格为9898元元 并假设不考虑交易成本并假设不考虑交易成本 和违约情况 和违约情况 格格 问题 1 债券B的当前价问题 1 债券B的当前价格格应该为多少呢 应该为多少呢 2 2 如果债券如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有97 597 5元元 如果债券如果债券 的当前价格只有的当前价格只有元元 问是否存在套利机会 如果有 如何套利 问是否存在套利机会 如果有 如何套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 19 19 1 1 按照无套利定价原理按照无套利定价原理 债券债券B B与债券与债券A A具有具有一一 按照无套利定价原理按照无套利定价原理 债券债券 与债券与债券 具有具有 样的损益 现金流 所以债券B的合理价格也应样的损益 现金流 所以债券B的合理价格也应 该为该为9898元元该为该为9898元元 2 当债券B的价格为97 5元时 说明债券B的价 2 当债券B的价格为97 5元时 说明债券B的价 值被市场低估了值被市场低估了那么债券那么债券 与债券与债券A A之间存在套之间存在套值被市场低估了值被市场低估了 那么债券那么债券B B与债券与债券A A之间存在套之间存在套 利机会 利机会 实现套利的方法很简单 买进价值低估的资产 债实现套利的方法很简单 买进价值低估的资产 债 券券B B 卖出价值高估的资产卖出价值高估的资产 债券债券A A 所以所以 套利的套利的券券B B 卖出价值高估的资产卖出价值高估的资产 债券债券A A 所以所以 套利的套利的 策略就是 卖空债券A 获得98元 用其中的97 5策略就是 卖空债券A 获得98元 用其中的97 5 元买进债券元买进债券B B这样套利的盈利为这样套利的盈利为0 0 5 5元元因为因为元买进债券元买进债券B B 这样套利的盈利为这样套利的盈利为0 0 5 5元元 因为因为 在1年后到期日 债券B的面值刚好用于支付卖空 在1年后到期日 债券B的面值刚好用于支付卖空 债券债券A A的面值的面值 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 20 20 债券债券A A的面值的面值 2 静态组合复制定价 例子 3 假设3种零息票的债券面值都为100元 它们的当前市场假设3种零息票的债券面值都为100元 它们的当前市场 价格分别为价格分别为价格分别为价格分别为 1年后到期的零息票债券的当前价格为98元 1年后到期的零息票债券的当前价格为98元 2年后到期的零息票债券的当前价格为96元 2年后到期的零息票债券的当前价格为96元 3 3年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9393元元 3 3年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9393元元 并假设不考虑交易成本和违约 并假设不考虑交易成本和违约 问题问题 如果息票率为如果息票率为年支付年支付 次利息的次利息的 问题问题 1 1 如果息票率为如果息票率为10 110 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三 年后到期的债券A的当前价格应该为多少 三 年后到期的债券A的当前价格应该为多少 2 如果息票率为10 1年支付1次利息的三 年后到期的债券A的当前价格为120元 问是否存在套利 2 如果息票率为10 1年支付1次利息的三 年后到期的债券A的当前价格为120元 问是否存在套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 21 21 机会 如果有 如何套利 机会 如果有 如何套利 对于第个问题对于第个问题我们只要按照无套利我们只要按照无套利 对于第对于第一一个问题个问题 我们只要按照无套利我们只要按照无套利 定价原理的推论 2 去构造一个 复定价原理的推论 2 去构造一个 复 制组合 就可以了 先看一个息票率为制组合 就可以了 先看一个息票率为 1010 1 1年支付年支付1 1次利息的三年后到期的次利息的三年后到期的1010 1 1年支付年支付1 1次利息的三年后到期的次利息的三年后到期的 债券的损益情况 面值为100元 息票率债券的损益情况 面值为100元 息票率 为为1010 所以在第所以在第1 1年末年末第第2 2年末和第年末和第3 3为为1010 所以在第所以在第1 1年末年末 第第2 2年末和第年末和第3 3 年末的利息为100 10 10元 在第3年末的利息为100 10 10元 在第3 年末另外还支付本金面值年末另外还支付本金面值100100元元如图所如图所年末另外还支付本金面值年末另外还支付本金面值100100元元 如图所如图所 示 示 1010110 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 22 22 1年末年末2年末年末3年末年末 构造相同损益的复制组合为 构造相同损益的复制组合为 1 购买0 1张的1年后到期的零息票债券 其损益刚 好为100 0 1 10元 1 购买0 1张的1年后到期的零息票债券 其损益刚 好为100 0 1 10元 2 购买0 1张的2年后到期的零息票债券 其损益刚 2 购买0 1张的2年后到期的零息票债券 其损益刚 好为好为100 0 1 10100 0 1 10元元 好为好为元元 3 购买1 1张的3年后到期的零息票债券 其损益刚 3 购买1 1张的3年后到期的零息票债券 其损益刚 好为好为100100 1 1 1 1 110110元元 好为好为1001001 1 1 1110110元元 所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样 所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样 因此根据无套利定价原理的推论因此根据无套利定价原理的推论 2 2 具有相同损益具有相同损益因此根据无套利定价原理的推论因此根据无套利定价原理的推论 2 2 具有相同损益具有相同损益 情况下证券的价格就是复制组合的价格 所以息票率情况下证券的价格就是复制组合的价格 所以息票率 为为10 110 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三三年后到期的债券的当前年后到期的债券的当前为为年支付年支付 次利息的年后到期的债券的当前次利息的年后到期的债券的当前 价格应该为 价格应该为 0 1 980 1 98 0 1 960 1 96 1 1 93 121 71 1 93 121 7 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 23 23 对于第二个问题 其原理与例子2类似 债券A的当前价格对于第二个问题 其原理与例子2类似 债券A的当前价格 为120元 小于应该价格121 7元 因此根据无套利定价原为120元 小于应该价格121 7元 因此根据无套利定价原 理理存在套利机会存在套利机会当前市场价格为当前市场价格为120120元元而无套利定而无套利定理理 存在套利机会存在套利机会 当前市场价格为当前市场价格为120120元元 而无套利定而无套利定 价的价格为121 7元 所以市场低估了这个债券的价值 价的价格为121 7元 所以市场低估了这个债券的价值 则应该买进这个债券 然后卖空复制组合 即基本的套利 策略为 则应该买进这个债券 然后卖空复制组合 即基本的套利 策略为 1 买进1张息票率为10 1年支付1次利息的三年后到 1 买进1张息票率为10 1年支付1次利息的三年后到 期的债券期的债券A A期的债券期的债券A A 2 卖空0 1张的1年后到期的零息票债券 2 卖空0 1张的1年后到期的零息票债券 3 卖空0 1张的2年后到期的零息票债券 3 卖空0 1张的2年后到期的零息票债券 卖空卖空张的张的 年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 24 24 4 4 卖空卖空1 11 1张的张的3 3年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券 3动态组合复制定价 例子3 动态组合复制定价 例子 4 假设从在始假设从在始 年到期的零息票债券的价年到期的零息票债券的价 假设从假设从现现在在开开始始1 1年年后后到期的零息票债券的价到期的零息票债券的价 格为98元 从1年后开始 在2年后到期的零息格为98元 从1年后开始 在2年后到期的零息 票债券的价格也为98元 并且假设不考虑交易票债券的价格也为98元 并且假设不考虑交易 成本和违约情况成本和违约情况 成本和违约情况成本和违约情况 问题 1 从现在开始2年后到期的零息票债问题 1 从现在开始2年后到期的零息票债 券的价格为多少呢券的价格为多少呢 券的价格为多少呢券的价格为多少呢 2 如果现在开始2年后到期的零息票 2 如果现在开始2年后到期的零息票 债券价格为97元 问是否存在套利机会 如果 有 如何套利 债券价格为97元 问是否存在套利机会 如果 有 如何套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 25 25 与例子3不同的是 在这个例子中我们不与例子3不同的是 在这个例子中我们不 能简单地在当前时刻就构造好一个复制能简单地在当前时刻就构造好一个复制 组合组合而必须进行动态地交易来构造复而必须进行动态地交易来构造复组合组合 而必须进行动态地交易来构造复而必须进行动态地交易来构造复 制组合制组合 我们要运用无套利定价原理的我们要运用无套利定价原理的制组合制组合 我们要运用无套利定价原理的我们要运用无套利定价原理的 第三个推论 现在看一下如何进行动态第三个推论 现在看一下如何进行动态 地构造套利组合呢 地构造套利组合呢 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 26 26 1 从现在开始从现在开始1年后到期的债券年后到期的债券Z0 1 1 从现在开始从现在开始1年后到期的债券年后到期的债券Z0 1 损益损益 100 第第1年末年末价格价格 98 2 1年后开始年后开始2年后到期的债券年后到期的债券Z1 2 损益损益 100 第第2年末年末价格价格 98 3 从现在开始从现在开始2年后到期的债券年后到期的债券Z0 2 损益损益 100 第第2年末年末 损益损益 100 价格价格 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 27 27 第第2年末年末价格价格 按照无套利定价原理的第三个推论 自融按照无套利定价原理的第三个推论 自融 资交易策略的损益等同于一个证券的损益资交易策略的损益等同于一个证券的损益 时时 这个证券的价格就等于自融资交易策这个证券的价格就等于自融资交易策时时 这个证券的价格就等于自融资交易策这个证券的价格就等于自融资交易策 略的成本 这个自融资交易策略就是 略的成本 这个自融资交易策略就是 1 1 先在当前购买先在当前购买0 0 9898份的债券份的债券Z Z 1 1 先在当前购买先在当前购买0 0 9898份的债券份的债券Z Z0 1 0 1 2 2 在第在第1 1年末年末0 0 9898份债券份债券Z Z0 0 1 1到期 到期 获得获得 在第在第 年末年末 份债券份债券 0 0 1 1到期 到期 获得获得 0 98 100 98元 0 98 100 98元 3 3 在第在第1 1年末再用获得的年末再用获得的9898元去购买元去购买1 1份份 3 3 在第在第1 1年末再用获得的年末再用获得的9898元去购买元去购买1 1份份 债券Z债券Z1 2 1 2 这个自融资交易策略的成本为 这个自融资交易策略的成本为 9898 0 0 9898 9696 0404 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 28 28 9898 0 0 9898 9696 0404 现金流现金流 交易策略交易策略 当前当前第1年末第1年末第2年末第2年末 1 购买0 98份 Z 1 购买0 98份 Z0 1 0 1 98 0 98 96 04 98 0 98 96 04 0 98 100 98 0 98 100 98 2 在第1年末购 买1份Z 2 在第1年末购 买1份Z1 2 1 2 98 98100100 合计 合计 96 04 96 040 0100100 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 29 29 如果现在开始如果现在开始2 2年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券如果现在开始如果现在开始2 2年后到期的零息票债券年后到期的零息票债券 价格为价格为9 97 7元元 则存在套利机会则存在套利机会 如何如何价格为价格为9 97 7元元 则存在套利机会则存在套利机会 如何如何 套利呢套利呢 套利呢套利呢 按照我们前面的思路按照我们前面的思路市场高估了现在开市场高估了现在开按照我们前面的思路按照我们前面的思路 市场高估了现在开市场高估了现在开 始始2 2年后到期的零息票债券价值年后到期的零息票债券价值 则考虑卖则考虑卖始始 年后到期的零息票债券价值年后到期的零息票债券价值则考虑卖则考虑卖 空它 并利用自融资交易策略进行套利 空它 并利用自融资交易策略进行套利 构造的套利策略如下 构造的套利策略如下 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 30 30 1 1 卖空卖空1 1份份Z Z0 0 2 2债券 债券 获得获得9 97 7元元 所所 1 1 卖空卖空1 1份份Z Z0 0 2 2债券 债券 获得获得9 97 7元元 所所 承担的义务是在2年后支付100元 承担的义务是在2年后支付100元 2 2 在获得的在获得的9 97 7元中取出元中取出9696 0404元元购购 2 2 在获得的在获得的9 97 7元中取出元中取出9696 0404元元 购购 买0 98份Z买0 98份Z0 1 0 1 3 3 购买的购买的1 1年期零息票债券到期年期零息票债券到期在在 3 3 购买的购买的1 1年期零息票债券到期年期零息票债券到期 在在 第一年末获得98元 第一年末获得98元 4 再在第1年末用获得的98元购买1份 4 再在第1年末用获得的98元购买1份 第第2 2年末到期的年末到期的1 1年期零息票债券年期零息票债券 第第 年末到期的年末到期的 年期零息票债券年期零息票债券 5 在第2年末 零息票债券到期获得 5 在第2年末 零息票债券到期获得 100100元元 用于支付步骤用于支付步骤 1 1 卖空卖空1 1份份Z Z100100元元 用于支付步骤用于支付步骤 1 1 卖空卖空1 1份份Z Z0 2 0 2 债券的100元 债券的100元 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 31 31 套利策略获得盈利为 97 套利策略获得盈利为 97 96 04 0 96元 96 04 0 96元 具体的现金流情况 具体的现金流情况 现金流现金流 交易策略交易策略 现金流现金流 当 前当 前第1年末第1年末第2年末第2年末 1 卖空1份Z 1 卖空1份Z0 2 0 2 9797 100 100 2 购买0 98份 Z 2 购买0 98份 Z0 1 0 1 0 98 98 96 04 0 98 98 96 04 0 98 100 98 0 98 100 98 3 在第1年末购买 1份Z 3 在第1年末购买 1份Z1 2 1 2 98 98100100 合计 合计 97 96 04 0 96 97 96 04 0 96 0 00 0 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 32 32 存在交易成本时的无套利定价 原理原理 当存在这些交易成本时 上面的无套利定当存在这些交易成本时 上面的无套利定 价原理的几个推论就可能不再适用了 因价原理的几个推论就可能不再适用了 因 为存在交易成本为存在交易成本那么所构造的套利策略那么所构造的套利策略为存在交易成本为存在交易成本 那么所构造的套利策略那么所构造的套利策略 也就不一定能盈利 因为 通过套利策略也就不一定能盈利 因为 通过套利策略 获得的盈利可能还不够支付交易成本 所获得的盈利可能还不够支付交易成本 所 以以无套利定价原这时候就不能给出金无套利定价原这时候就不能给出金以以 无套利定价原无套利定价原理理这时候就不能给出金这时候就不能给出金 融产品的确切价格融产品的确切价格 但可以给出但可以给出一一个产品个产品融产品的确切价格融产品的确切价格 但可以给出个产品但可以给出个产品 的价格区间 或者说价格的上限和下限 的价格区间 或者说价格的上限和下限 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 33 33 例子5例子 假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后的同假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后的同 天到期天到期其面值为其面值为100100元元 到期时都获得到期时都获得100100元元一一天到期天到期 其面值为其面值为100100元元 到期时都获得到期时都获得100100元元 现金流 即到期时具有相同的损益 假设购买现金流 即到期时具有相同的损益 假设购买 债券不需要费用和不考虑违约情债券不需要费用和不考虑违约情但是假设卖但是假设卖债券不需要费用和不考虑违约情债券不需要费用和不考虑违约情况 况 但是假设卖但是假设卖 空1份债券需要支付1元的费用 并且出售债券也空1份债券需要支付1元的费用 并且出售债券也 需要支付1元的费用 如果债券A的当前价格为98 元 需要支付1元的费用 如果债券A的当前价格为98 元 问题 1 债券B的当前价格应该为多少呢 问题 1 债券B的当前价格应该为多少呢 2 2 如果债券如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有9797 5 5元元 2 2 如果债券如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有9797 5 5元元 是否存在套利机会 如果有 如何套利呢 是否存在套利机会 如果有 如何套利呢 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 34 34 案例 6 假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后假设两个零息票债券A和B 两者都是在1年后 的同一天到期的同一天到期其面值为其面值为100100元元 到期时都获到期时都获的同一天到期的同一天到期 其面值为其面值为100100元元 到期时都获到期时都获 得100元现金流 即到期时具有相同的损得100元现金流 即到期时具有相同的损 益益 假设不考虑违约情况假设不考虑违约情况但是假设卖空但是假设卖空1 1益益 假设不考虑违约情况假设不考虑违约情况 但是假设卖空但是假设卖空1 1 份债券需要支付1元的费用 出售债券也需要份债券需要支付1元的费用 出售债券也需要 支付1元的费用 买入1份债券需要0 5元费 用 如果债券A的当前价格为98元 支付1元的费用 买入1份债券需要0 5元费 用 如果债券A的当前价格为98元 问题 1 债券B的当前价格应该为多少呢 问题 1 债券B的当前价格应该为多少呢 2 2 如果债券如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有9797 5 5元元 2 2 如果债券如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有9797 5 5元元 是否存在套利机会 如果有 如何套利呢 是否存在套利机会 如果有 如何套利呢 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 35 35 不确定状态下无套利定价原理的 例子 在上一节的债券案例中 未来的损益 现金流 在上一节的债券案例中 未来的损益 现金流 都是在当前就确定的 但实际市场中很多产品 的未来损益是不确定的 要根据未来的事件而 都是在当前就确定的 但实际市场中很多产品 的未来损益是不确定的 要根据未来的事件而 确定 比如 一个股票看涨期权 当到期日股 票价格大于执行价格时 这个期权可获得正的 确定 比如 一个股票看涨期权 当到期日股 票价格大于执行价格时 这个期权可获得正的 损益 为到期日股票价格减去执行价格 但是 如果到期日股票价格小于等于执行价格 则这 损益 为到期日股票价格减去执行价格 但是 如果到期日股票价格小于等于执行价格 则这 个期权到期日损益为零 即没有价值 因此 期权的损益是不确定的 它依赖于未来的股票 个期权到期日损益为零 即没有价值 因此 期权的损益是不确定的 它依赖于未来的股票 价格 下面讨论这种未来损益不确定情况下的 无套利定价原理 价格 下面讨论这种未来损益不确定情况下的 无套利定价原理 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 36 36 1 同损益同价格 例子7 1 同损益同价格 例子7 假设有假设有一一风险风险证证券券A A 当前的市场价格为当前的市场价格为100100元元 1 1年后年后假设有风险券假设有风险券当前的市场价格为当前的市场价格为元元年后年后 的市场价格会出现两种可能的状态 在状态1时证券A价的市场价格会出现两种可能的状态 在状态1时证券A价 格上升至格上升至105105元元在状态在状态2 2时证券时证券A A价格下跌至价格下跌至9595元元同同格上升至格上升至105105元元 在状态在状态2 2时证券时证券A A价格下跌至价格下跌至9595元元 同同 样 也有一证券B 它在1年后的损益为 在状态1时上样 也有一证券B 它在1年后的损益为 在状态1时上 升至升至105105在状态在状态2 2时下跌至时下跌至9595元元另外另外假设不考虑交假设不考虑交升至升至105105 在状态在状态2 2时下跌至时下跌至9595元元 另外另外 假设不考虑交假设不考虑交 易成本 易成本 问题 1 证券B的合理价格为多少呢 问题 1 证券B的合理价格为多少呢 2 2 如果如果B B的价格为的价格为9999元元 是否存在套利是否存在套利 如果如果 2 2 如果如果B B的价格为的价格为9999元元 是否存在套利是否存在套利 如果如果 有 如何套利 有 如何套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 37 37 案例案例7 7与前面几个案例的不同地方在于与前面几个案例的不同地方在于前面案例前面案例 案例案例7 7与前面几个案例的不同地方在于与前面几个案例的不同地方在于 前面案例前面案例 中的资产为债券中的资产为债券 其未来的损益为确定的其未来的损益为确定的 即在即在中的资产为债券中的资产为债券 其未来的损益为确定的其未来的损益为确定的 即在即在 某一时间时只有一种状态 以概率100 发生 但某一时间时只有一种状态 以概率100 发生 但 本案例中的资产为风险证券 其未来的损益出现本案例中的资产为风险证券 其未来的损益出现 两种可能 可能上涨 也可能下跌 即未来的状两种可能 可能上涨 也可能下跌 即未来的状 态不确定态不确定但根据无套利定价原理但根据无套利定价原理只要两种证只要两种证态不确定态不确定 但根据无套利定价原理但根据无套利定价原理 只要两种证只要两种证 券的损益完全券的损益完全一一样样 那么它们的价格也会那么它们的价格也会一一样样 券的损益完全样券的损益完全样 那么它们的价格也会样那么它们的价格也会样 所以 证券B的合理价格也应该为100元 所以 证券B的合理价格也应该为100元 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 38 38 因为证券B的价格为99元 因此存在套利机因为证券B的价格为99元 因此存在套利机 会 只要卖空证券A 买进证券B 就可实会 只要卖空证券A 买进证券B 就可实 现套利1元 现套利1元 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 39 39 2 静态组合复制定价 案例 8 8 假设有一风险证券A 当前的市场价格为100元 假设有一风险证券A 当前的市场价格为100元 1年后的市场有两种状态 在状态1时证券A价1年后的市场有两种状态 在状态1时证券A价 格格上升至105元 上升至105元 在状在状态2时证态2时证券券A A价格价格下下跌跌至至格格在状在状券券 价格跌价格跌 95元 同样 也有一证券B 它在1年后的损益95元 同样 也有一证券B 它在1年后的损益 为为 状态状态1 1时上升至时上升至12120 0元元 状态状态2 2时下跌至时下跌至11110 0为为 状态状态 时上升至时上升至0 0元元 状态状态 时下跌至时下跌至0 0 元 另外 假设借贷资金的年利率为0 不考元 另外 假设借贷资金的年利率为0 不考 虑交易成本虑交易成本 虑交易成本虑交易成本 问题 1 证券B的合理价格为多少呢 问题 1 证券B的合理价格为多少呢 2 如果证券B的现在价格为111元 是否存在套利 如果有 如何套利 2 如果证券B的现在价格为111元 是否存在套利 如果有 如何套利 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 40 40 案例案例8 8中证券中证券B B的损益与证券的损益与证券A A不同不同 两个证两个证案例案例8 8中证券中证券B B的损益与证券的损益与证券A A不同不同 两个证两个证 券的损益状态如图券的损益状态如图4 4所示所示 现在考虑如何利现在考虑如何利券的损益状态如图券的损益状态如图4 4所示所示 现在考虑如何利现在考虑如何利 用证券A和无风险债券来构建一个与证券B用证券A和无风险债券来构建一个与证券B 损益相同的组合损益相同的组合 100100 105105 P P 120120 1 1 1 01 0 100100 9595 P PB B 110110 1 1 1 01 0 风险证券A风险证券A风险证券B风险证券B资金借贷资金借贷 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 41 41 构建一个组合 x份证券A和y份的借贷 y大于零构建一个组合 x份证券A和y份的借贷 y大于零 为借出钱为借出钱 y y小于零为借入钱小于零为借入钱 要使得组合的要使得组合的为借出钱为借出钱 y y小于零为借入钱小于零为借入钱 要使得组合的要使得组合的 损益与B的损益完全相同 则 损益与B的损益完全相同 则 1200 1105 yx 1100 195 yx 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 42 42 解得 x 1 y 15 因此 买人1份证券解得 x 1 y 15 因此 买人1份证券 A A再借出现金再借出现金1515份的组合的损益与证券份的组合的损益与证券B BA A 再借出现金再借出现金1515份的组合的损益与证券份的组合的损益与证券B B 的损益完全相同的损益完全相同所以证券所以证券B B的价格等于组的价格等于组的损益完全相同的损益完全相同 所以证券所以证券B B的价格等于组的价格等于组 合的价格 即合的价格 即 1 100 15 1 115元1 100 15 1 115元 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 43 43 当证券B的现在价格为111元 存在 套利机会 构造一个套利策略 买进证券B 再卖空上构造一个套利策略 买进证券B 再卖空上 面的等损益组合面的等损益组合 1 1份证券份证券A A和和1515份现金份现金 面的等损益组合面的等损益组合 1 1份证券份证券A A和和1515份现金份现金 所以整个套利组合为 买进证券B 卖空证所以整个套利组合为 买进证券B 卖空证 券券A A借入资金借入资金1515买进证券买进证券B B的成本为的成本为11111 1券券A A 借入资金借入资金1515 买进证券买进证券B B的成本为的成本为11111 1 元 卖空证券A可得到100元 借入资金15元 卖空证券A可得到100元 借入资金15 所以还剩下4 这部分实际上就是套利策略所以还剩下4 这部分实际上就是套利策略 的盈利的盈利因为期末的现金流为因为期末的现金流为0 0这个组合这个组合的盈利的盈利 因为期末的现金流为因为期末的现金流为0 0 这个组合这个组合 的期初和期末现金流可见表2 3 的期初和期末现金流可见表2 3 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 44 44 期初时刻的期初时刻的 现金流现金流 期末时刻的现金流期末时刻的现金流 现金流现金流 第一种状态第一种状态第二种状态第二种状态 1 买进B 1 买进B 111 111120120110110 2 2 卖空卖空A A1001001051059595 2 2 卖空卖空A A100100 105105 9595 3 3 借入资金借入资金15151515 1515 1515 3 3 借入资金借入资金1515151515151515 合计合计4 40 00 0 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 金融工程 讲义 吴冲锋 吴文锋等 2006 45 45 3 动态组合复制定价 案例 9 把案例把案例8 8中的市场未来状态中的市场未来状态从两种状态扩展到从两种状态扩展到3 3把案例把案例8 8中的市场未来状态中的市场未来状态 从两种状态扩展到从两种状态扩展到3 3 种状态 风险证券A在1年后的未来损益为 状态1种状态 风险证券A在1年后的未来损益为 状态1 时时110110 2525状态状态