L4-晶体结构与对称性4.ppt

s X衍射强度与几何结构因子 在观察处的X射线波是 是各个原子衍射波之和 体心结构 面心结构 金刚石结构 作业 写出面心 体心立方 金刚石晶体的结构因子 上一讲回顾 X射线衍射与倒格矢 1 劳厄衍射方程 2 准动量守恒 劳厄图 3 布拉格反射条件 5 衍射强度 面心 体心 金刚石 1 6对称操作和点群 一 正交变换 二 周期性对对称性的影响 三 基本的点对称操作 四 点群 自然界中的对称美巧夺天工 生活中的对称美厨师的杰作 生活中的对称美足球的魅力 文学中的对称美中文的优美 不可观测量物理定律变换不变性守恒定律 时间绝对值时间平移能量守恒 空间绝对位置空间平移动量守恒 物理学中的对称性与守恒定律 空间绝对方向空间旋转角动量守恒 空间左和右镜象反射宇称守恒 一 正交变换 这节讨论以宏观的角度如何描写一个几何图形的对称性 要描述一个几何图形的对称性 一般采用几何变换的方法 例 比较以下图形的对称性 为比较图形的对称性 规定 在作几何变换时 图形中有一点固定不动 一个对称轴 旋转 角度 一种几何变换 1 旋转 角度 2 旋转 角度 3 旋转 2 3 2角度五种几何变换 无穷多种变换 无几何变换 所以 几何变换越多 对称性越高 对称操作 物体在一定几何变换下不变 称这个变换为物体的对称操作 对于晶格点阵而言 对称操作即为操作前后点阵不变 正交变换 在几何变换中若任意两点间的距离不变 称这种变换为正交变换 在数学上可用正交矩阵表示 一般几何变换可用矩阵表示 例 一矢量在oxy平面旋转 角度 得到矢量 如右下图 与的关系为 旋转 角度可用矩阵为 正交矩阵的性质 即 几种简单操作的变换矩阵 1 绕Z轴转动 2 中心反映 3 镜像反映 对称面为oxy平面 二 周期性对对称性的影响 晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制 设AB为晶体中某一晶面上的一条晶列 由于周期性存在 有 同族晶列格点的周期性相等 m为整数 从图中可知 所以 m为整数 只能取 n 1 2 3 4 6 由于晶格满足平移对称性 所以 不存在5次轴 5次对称性与准晶 准晶被发现的故事 Al65Co25Cu10合金 1984年Shechtman等人报导了在用快速冷却方法制备的AlMn合金中的电子衍射图中 发现了具有五重对称的斑点分布 斑点的明锐程度不亚于晶体情况 已经证明在晶体中是不可能存在有五重对称轴 固体材料除了晶态和非晶态以外 还有一种介于晶态和非晶态之间的新的状态 称之为准晶态 两种边长之比 1 61803398 恰好是著名的黄金分割无理数 这两种四边形拼接的平面图形 虽然不具有周期性 但也呈现出某种长程序 表现为图中所有线段之间的夹角都是2 5及其整数倍 正五边形是不能重复排列充满一个平面而不留空隙的 Penrose发现用图所示的两种四边形 可以布满空间而不留空隙 可以拼接出无数种具有五次对称的几何图案 具有五次对称的取向序 而没有平移对称性 沿平面内对称轴的方向 有两个不可公度的特征线段1和 这两个线段非周期地但是以某种确定的规律排列 Steinhardt等人认为由Shechtman等人急冷方法制备的A1Mn合金是具有正二十面体取向序的准晶态 由此计算出来的衍射图样 无论是衍射斑点的位置还是强度都与实验结果符合得很好 准晶态结构的特点 具有长程的取向序而没有长程的平移对称序 周期性 取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性 沿取向序对称轴的方向具有准周期性 由两个或两个以上不可公度的特征长度 所谓不可公度是线段的比值为无理数 或者说二者不存在公倍数 按着特定的序列方式排列 三 基本的点对称操作 3 i 中心反演 1 E 不变 最基本的点对称操作 E C2 C3 C4 C6 i m S4 n度象转轴 作n度旋转后再作中心反映 m 垂直于旋转轴的一个对称面 是基本的点对称操作 称镜像反映面 实际上是中心反演 不是基本的点对称操作 S4 是一个新的对称操作 是基本的点对称操作 称4度旋转反演轴 是C3 m的组合 不是基本的点对称操作 四 点群 晶格对称性的精确数学描述 是用群论的方法 群 一种具有特殊运算规则的数学元素的集合 点群 由点对称操作作为元素构成的群 八种点对称操作最多只有32种组合 即32个点群 群中的元素越多 对称性越高 点群符号 Cn群含有一个n重旋转对称轴 Dn群含有一个n重旋转对称轴和n个与之垂直的双重旋转对称轴 Sn群含有一个n重旋转 反演对称轴 正四面体群T群和立方体群O群 对称性很高 从宏观上看晶体是有限的 有限物体的对称群不能包含平移操作 所以晶体的宏观对称性质用点群描写 晶体具有某种点群对称性 其结晶学原胞基矢必须满足一定的要求 例1 C4h群 C4h E 2C4 C2 i h 2S4 由八个对称操作元素组成 若一晶体有一个4度轴 其晶胞基矢必须满足且a b O群的元素比C4h群的多 所以O群的对称性高 在点群中 Oh群的元素最多 有48个 Oh群的对称性最高 晶体的对称性 空间群 本节首先讨论结晶学中的七大晶系 14种布喇菲原胞 然后简单介绍空间群 在结晶学中 所选取的晶胞不仅反映晶格的周期性 还反映了晶体的对称性 1850年 布喇菲首先证明了三维晶格只有14种点阵 属于七个晶系 三斜 单斜 正交 四方 三角及六角 一 晶系 布拉菲原胞 三维立体几何描述 晶胞基矢的长为a b c 夹角为 三个轴的符号也是a b c 6 六角晶系a b c 90 120 2 单斜晶系a b c 90 3 正交晶系a b c 90 4 三角晶系a b c 90 5 四方晶系a b c 90 1 三斜晶系a b c 90 7 立方晶系a b c 90 某些晶系的晶胞还可在体心 面心 底心处放置格点 因而晶系中不止一种晶胞 这样七大晶系共有14种布拉菲格子 称为布拉菲原胞 二 空间群 从微观上看 晶格点阵可视为无穷大 所以我们将平移操作包括进来 平移对称操作 将晶格沿某一方向平移与原始位置保持不变的位置的操作 空间对称操作 点对称操