中美高中数学课程标准函数内容的比较研究.pdf

中学数学 研究 2 0 0 5 年第1 期 惑性的练习题 在易误的关键设置 陷阱 在学 生陷入歧途中 可通过自 查和评析来提高学生 掌握知识的准确程度 例3 在等比数列 口 中 已知 a 3 1 1 S 3 4 1 求 口 1 和口 人教社 高中数学 试验 修订本 必修 第一册 上 习题 3 5 第 l 4 d x 题 解法1 口 3 1 1 s 3 4 I 口 1 口 3 一 1 9 1 2 一 口 由 得口 1 1 口 口 罢 得 3 2 口 2 一口 1 0 解得 j 1 口 一 口 1 解法2 口 3 1 S 3 口 口 2 n 3 4 1 口 1 口 2 3 q 2 3 解 得 a l 6 1 或 口 1 1 口 3 口 一 口 1 以上两种解法的结果完全相同 学生一般 采用解法 1 学生以为答案正确就可以了 没有 考虑过程的严谨性 科学性 通过两种方法展 示 比较 学生很快就发现解法 1 错误 主要原 因 使用等比数列求和公式时 没有对公比口 1 和q I 两种情况进行讨论 这样通过设置带 陷阱 的习题 让学生在实际运用中尝试错误 培养学生思维的严谨性 全面性 试误理论 在实际教学中有重要的意义 教学中有意地引导学生尝试错误 让学生经受 失误的教训 促使学生积极参与并探索知识的 构建过程 凝聚于知识中的非智力因素 才能转 化为学生个体的能力 在尝试错误的过程中 通 过对各种可能思路的研究 充分暴露学生的思 维过程 从而引导学生全方位 多角度的思维 促成思考方法不断优化 使学生学会合理地调 整思维方向 从而提高思维的严谨性和灵活性 中美高中数学课程标准函数内容的比较研究 西南师范大学 数学与财经学院 4 0 0 7 1 5 杨新荣 湖北省黄冈麻城二中 4 3 1 6 1 8 马晟 在高中数学教学中 函数一直占据着显著 的重要地位 函数概念深刻地反映了客观世界 的运动变化与实际事物量与量之间的依存关 系 是刻画客观世界规律的重要的数学模型 从 而成为与现实世界联系最为密切的内容之一 同时 函数概念不仅与中学数学的重要 J t n 数 式 方程等 有密切联系 而且也是近代数学 的主要基础 由 于函 数思想充 分体现了 集合 对 应 映射等基本数学思想 因而能使高中数学接 近数学科学的现代发展水平 进而使学生获得 基本的 深刻的 有用的高等思想方法 由此 可见 函数学习不仅就高中阶段来说 有着基础 性的重要功能和广泛的实际应用 而且对学生 的后继学习也有着举足轻重的作用 在世界各国的高中教材中 函数无一例外 均为其重要的组成部分 但又都具有各自的传 统与特色 本文取中国2 0 0 3 年颁布的 普通高 中数学课程标准 实验 以下简称中国 标 与美国数学教师协会 简称 N 于 2 0 0 O 年颁布的 学校数学的原则与标准 以下 1 1 维普资讯 2 0 0 5 年第1 期 中学数学研究 简称美国 标准 的 高中函 数内容做 一比 较 以 期能对我国的函数教学与改革有所借鉴 一 内容选取理念的比较 两国 标准 在选取函数内容时都突出体现 了 以学生发展为中心 的理念 首先 两国 标 准 都致力于学生更高层次的发展 中国 标准 指出 为学生适应现代生活和未来发展提供更 高水平的数学基础 使他们获得更高的数学素 养 为学生进一步学习提供必要的数学准 备 2 美国 标准 也相应地指出 高中数学通 过强调基本的数学概念和必要的技能 为学生 工作 生活 进一步的数学学习或其他专业学习 提供牢固的数学基础 3 其次 两国 标准 都 着眼于进一步深化学生的知识与技能 发展学 生的函数思想 中国 标准 指出 用集合与对应 来刻画函数 以使学生更深刻的理解函数本质 同时还指出将函数的思想方法贯穿高中数学课 程始终 类似的 美国 标准 指出 在高中 学生 应学习新的函数 通过高中阶段学习 他们应更 为深刻的理解函数 关系等基本的数学概 念 3 二 课程内容的比较研究 一 课程内容的比较 见表一 二 课程内容的研究 通过分析两国 标准 可以发现两国 标 准 中有关函数内容有如下的相似之处 1 注重知识的现实背景与学生的情感体验 世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔 认为 数学必须连接现实 必须贴近学生 必须 与社会联系 要体现人的价值 J 而对于比较 抽象的函数 通过从日 常生活 生产实际中 选取 学生熟悉的 能够接受的现实问题是渗透 帮助 学生理解函数思想方法的重要途径 中美两国 标准 在处理函数内容时 均很好地结合了现 实并注重学生的现实体验 中国 标准 指出 通 过具体实例了解指数函数 对数函数等函数模 型所刻画的数量关系 体验函数是描述客观世 界变化规律的基本数学模型 体验其与现实世 界的密切联系及在刻画现实问题中的作用 2 相应的 美国 标准 指出 在现实生活的情境下 学习函数 以使学生能更好地理解数学概念且 能发展其对这些概念的鉴别力 3 同时还要求 学生 探索 比较 不同函数表示法在现实生 活中的优缺点等 表一 中国 标准 函数内容与美国 标准 函数内容的比较 中 国 美 国 1 理解模式 关系 函数 1 函数 用显函数和递归函数来概括模式 理解关系 函数与选择 能灵 函数 映射概念 函数 活地转换且能用不同的表示法来表示它们 通过研究斜率 截距 零 的定义域 值域 单调 点 渐近线与局部和全局的行为来分析一元函数 理解和运用函数进 性 奇偶性 最值 分 行算术地组合 合成 反转等变换 能用信息技术进行更为复杂的符 段函数等 号表示的操作 理解和比较包括指数函数 多项式函数 有理函数 对 2 指数函数 数函数和周期函数等一系列函数的性质 理解二元函数的表示法 3 对数函数 2 用代数系统来表示和分析数学情境和数学结构 4 幂函数 用一系列递归的和参数的等式等符号表示法来表示函数与关 5 函数与方程 系 6 函数模型及应用 3 用数学模型来表示和解释数量关系 7 实习作业 确定情形的数量关系的本质 且能判定用某个或某类函数来建 8 三角函数 立模型 4 分析不同情形的变化 1 2 维普资讯 中 学数学 研究 2 0 0 5 年第1 期 2 注重数学知识的内在联系 式 方程 不等式 函数 数列 排列组合等 有关内容构成了中学代数的主要内容 而函数 在其中起到了横向联系的纽带作用 L 5 J 两国 标准 都充分发挥了函数的这种纽带作用 都 注重函 数与其它数学知识点间的联系 中国 标 准 要求学生结合二次函数图象 判断一元二次 方程根的存在性及近似解等 美国 标准 除了 有专门的 联系标准 外 还指出 在9 1 2 年 级 学生应理解代数 几何 概率等概念间的相 互作用 3 同时对于函数部分也有结合函数图 象分析一元二次方程的根的实例 3 注重信息技术的整合 现代信息技术不仅改变了数学的课程内 容 而且也改变了数学的教学方式和教学手段 两国 标准 在函数部分都注重函数与信息技术 的整合 中国 标准 指出 利用计算器 计算机 画出指数函数 对数函数等的图象 探索 比较 其变化规律 研究数学性质 美国 标准 指出 学生应使用信息技术来表示与研究多项式函 数 指数函数 有理函数和周期函数等 能利用 信息技术进行更复杂的符号表示的操作 4 注重培养学生的函数应用能力 在数学课程中强调数学的应用 培养学生 应用数学知识解决实际问题的能力是当今国际 数学课程发展的一个共同趋势 而函数又是描 述客观世界变化规律的基本数学模型 并充斥 在我们生活的方方面面 两国标准都致力于培 养学生的函数应用能力 中国 标准 指出 结合 实际问题 感受运用函数概念建立模型的过程 和方法 体会函数在数学和其他学科中的重要 性 初步运用函数思想理解和处理现实生活和 社会中的简单问题 2 美国 标准 也指出 学 生必须学会用更为广泛的显函数与递归函数对 其周围事物建立模型 认识到各种实际问题可 以建立同一类函数模型 3 5 注重数形结合 函数的图象对于研究函数的性质起到很重 要的作用 它可以把变量间的依赖关系和函数 性质直观形象地刻画出来 因此通过研究函数 图象的变化趋势 可以总结出函数的性质 两国 标准 都很重视数形结合 中国 标准 指出 学 会运用函数图象理解和研究函数的性质 同时 还在多处提到 根据具体函数的图象进行分 析 美国 标准 也提到通过分析斜率 截距 零 点 渐近线等分析一元函数 在教学指导中还多 次提到结合函数图象来分析函数的性质 通过分析两国 标准 也可以发现两国 标 准 的函数内容有如下的差异之处 1 内容结构及其深 广度上不同 整体而言 两国 标准 的函数内容大致相 似 但中国 标准 的函数部分所含内容主要集 中在函数概念 指数函数 对数函数等基本初等 函数以及三角函数 内容主要凸显的是函数体 系内部 注重函数的概念 性质的研究 注重 双 基 训练 因而利于学生对函数知识体系的掌 握 美国 标准 也含有指数函数 对数函数等基 本初等函数 但同时还包括有多项式函数 二元 函数等中国 标准 所没有的函数知识 同时还 要求学生能运用函数进行组合 合成 反转等变 换 由 此可见美国 标准 的函数内容在广度上 比中国 标准 广 但其内容在深度上却没中国 标准 要求高 2 具体目 标的呈现方式不同 中国 标准 的每一内容都有具体要求 如 通过具体实例 了 解 并能运用 等 因而于 老师而言有较强的操作性 便于教师在教学过 程中的宏观把握 美国 标准 则没有具体的目 标要求 只有一些抽象的要求 因而对于教师而 言有一个更大的创造性地使用标准的空间 具 有较强的灵活性 但其不利于教师对所教内容 学生所应达到要求的把握 三 教学指导上的比较 整体而言 中国 标准 在注重函数与实际 的联系 注重函数模型的现实运用 注重信息技 术与函数知识的整合上较原大纲有很大的变 1 3 维普资讯 2 0 0 5 年第1 期 中学数学研究 化 而要教师真正理解并接受且在日常教学中 体现这些变化 接受这些新的 观念和技术 首先 就要对其进行必要的具体教学上的指导 然而 中国 标准 所呈现的案例均未能对教师进行必 要的 指导 对具体内容如何应用信息技术还缺 乏必要的指导与要求 对函数教学与信息技术 的整合体现得不够充分 而美国 标准 则在对 每条内容进行阐述时均给出了相应的案例或怎 样使用计算器 计算机辅助教学的案例 因而对 技术和数学教学的整合上体现得比较充分 从 而其具有更大的参考价值 四 L 点思考与建议 1 适当扩大课程广度 关于课程的广度与深度是课程内容选择上 的两个对立面 是相互影响和制约的 对于高中 阶段学习的函数 因其一方面是整个高中阶段 学习的核心内容 是贯穿整个高中课程的中心 学生在其他数学知识的学习时几乎始终都要接 触到这方面的知识 与此同时 函数作为两个集 合的元素间的特殊对应 不但贯穿整个数学课 程 而且其在物理 化学和其它自 然科学与社会 科学中均有着广泛的应用 是学生继续学习的 基础 因此 高中函数应能很好地衔接初 高等 数学学习 在高中阶段的函数学习内容在不过 于降低其要求的前提下 可适当增加近现代数 学的内容 为学生的进一步学习奠定基础 2 正确对待信息技术 以电 子计算机为核心的 现代信息技术对数 学的研究方式 研究范围和研究领域产生了深 刻的影响 而这种影响也已经波及到了中学数 学教学 当今世界各国纷纷将信息技术应用于 数学课程 信息技术作为一种有效的认知工具 它能使高度抽象的数学对象形象化 数学关系 显性化 从而帮助学生更好地理解数学的本质 合理 有效地使用信息技术不仅能提高学生的 学习水平 同时也能帮助教师提升其教学水准 1 4 但如前所述 在我国标准中 还缺少信息技术的 指导案例 由此在新一轮课程改革中我们应加 强信息技术与函数课程教学的整合力度 以帮 助学生更好地探索函数的本质与特性 但另一 方面 我们也应注重函数知识的教学 毕竟信息 技术只是作为达到目的的一种手段 一种威力 强大的工具 而不能用来代替真正的函数知识 的学习 因此要引导学生合理而非盲目地使用 信息技术 在函数教学中使用信息技术应有一 个合理的度 3 注重高中函数教学与初中函数的衔接 由于我国的教育体制分为义务教育阶段与 高中阶段 数学课程标准的研制也分开进行 从 而存在着课程发展分割的现象 而美国 标准 的研制从幼儿园到1 2 年级连贯进行 从而知识 间联系较紧密 在函数部分 美国 标准 沿用的 也是以前年级相应标准的框架 具体要求相同 只做了内容上的改动和加深 从而其在函数的 发展上有一定的连贯性 同时 高中学习的函数 许多内容都是初中内 容的继续与延伸 由此 我 国高中函数教学不应与初中函数内容分裂开 来 教师在教学时应注重函数知识的内在联系 引导学生认真复习相关知识 做好初 高中函数 教学的衔接和过渡工作 以使学生更好地掌握 好函