江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题5 图形的变换问题.doc

专题5：图形的变换问题1. （2015年江苏泰州3分）一个几何体的表面展开图如图所示， 则这个几何体是【 】a. 四棱锥 b. 四棱柱 c. 三棱锥 d. 三棱柱【答案】a.【考点】几何体的展开. 【分析】由图知，这个几何体的底面是正方形，四外侧面是三角形，所以，这个几何体是四棱锥. 故选a.2. （2015年江苏无锡3分）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是【 】a. b. c. d. 【答案】d.【考点】几何体的展开图.【分析】根据正方体的表面展开图，两条相邻黑线成直角，故b错误；三条黑线所在的正方形不是依次相邻的三个，故a错误；三条黑线的端点都应两两相连，故c错误. 只有d选项符合条件，故选d.3. （2015年江苏无锡3分）如图，rtabc中，acb90，ac3，bc4，将边ac沿ce翻折，使点a落在ab上的点d处；再将边bc沿cf翻折，使点b落在cd的延长线上的点b处，两条折痕与斜边ab分别交于点e、f，则线段bf的长为【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理【分析】根据折叠的性质可知，.，. 是等腰直角三角形. . .，.在中，根据勾股定理，得ab=5，.在中，根据勾股定理，得，.在中，根据勾股定理，得.故选b4. （2015年江苏徐州3分）下列四个几何体中，主视图为圆的是【 】a. b. c. d. 【答案】b.【考点】简单几何体的三视图.【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，正方体的主视图为正方形，球的主视图为圆，圆柱的主视图为长方形，圆锥的主视图为三角形，故选b.5. （2015年江苏盐城3分）在下列四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为【 】a. b. c. d. 【答案】d.【考点】简单几何体的三视图【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形因此，圆柱的主视图与俯视图都是矩形；圆台的主视图与俯视图都是等腰梯形；圆锥的主视图与俯视图都是等腰三角形；球的主视图与俯视图都是圆故选d.6. （2015年江苏扬州3分）如图所示的物体的左视图为【 】a. b. c. d. 【答案】a.【考点】简单组合体的三视图【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定，从物体左面看，共两层，下层有1个大矩形，上层的左边有1个小矩形故选a.7. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】a. cm2 b.8 cm2 c. cm2 d. 16cm2【答案】b【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质.【分析】如答图，当acab时，三角形面积最小，bac=90，acb=45，ab=ac=4cm.sabc=44=8cm2故选b8. （2015年江苏淮安3分）如图所示物体的主视图是【 】a. b. c. d. 【答案】c.【考点】简单组合体的三视图【分析】找到从正面看所得到的图形即可，从正面看易得有两层，下层有3个正方形，上层中间有一个正方形故选c.9. （2015年江苏南通3分）下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有【 】a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个【答案】b【考点】简单几何体的三视图.【分析】根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可:从上面看，三棱柱的俯视图为三角形；圆柱的俯视图为圆；四棱锥的俯视图是四边形；球的俯视图是圆；俯视图是圆的几何体共有2个故选b10. （2015年江苏镇江3分）由五个小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图是【 】a. b. c. d. 【答案】d【考点】简单组合体的三视图【分析】俯视图是从上往下看立体图形得到的平面图，从上往下看是4个小正方形排成一排组成的平面图. 故选d1. （2015年江苏连云港3分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 【答案】.【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图；扇形面积的计算【分析】这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，这个几何体的侧面展开图的面积=2. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，ab=8，bc=6，p为ad上一点，将abp 沿bp翻折至ebp， pe与cd相交于点o，且oe=od，则ap的长为 【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，. .设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.ap的长为.3. （2015年江苏徐州3分）用一个圆心角为90，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 【答案】1.【考点】圆锥和扇形的计算。【分析】扇形圆锥的圆心角为90，半径为4，扇形的弧长为.圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，根据圆的周长公式，得，解得.4. （2015年江苏扬州3分）已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 cm（结果保留根号) 【答案】. 【考点】圆锥和扇形的计算；勾股定理.【分析】如答图， 圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，.圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，根据圆的周长公式，得.在中，由勾股定理，得.这个圆锥的高为cm.5. （2015年江苏扬州3分）如图，已知rtabc中，abc=90，ac=6，bc=4，将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，若点f是de的中点，连接af，则af= 218y025【答案】5.【考点】面动旋转问题；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，在rtabc中，abc=90，点f是de的中点，.是等腰三角形.将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，bc=4，ac=6，.，.又分别是的中点，是dec的中位线.在rtagf中，由勾股定理，得af=5.6. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点p的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点a，b，点m是直线ab上的一个动点，则pm长的最小值为 【答案】.【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】根据垂线段最短得出pmab时线段pm最短，分别求出pb、ob、oa、ab的长度，利用pbmabo，即可求出答案如答图，过点p作pmab，则：pmb=90，当pmab时，pm最短，直线与x轴、y轴分别交于点a，b，点a的坐标为（4，0），点b的坐标为（0，3）.在rtaob中，ao=4，bo=3，根据勾股定理，得ab=5.bmp=aob=90，abo=pbm， pbmabo. ，即：，解得.7.（2015年江苏镇江2分）如图，将等边oab绕o点按逆时针方向旋转150，得到oab（点a，b分别是点a，b的对应点），则1= 【答案】150【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】等边oab绕点o按逆时针旋转了150，得到oab，aoa=150，aob=60，1=360aoaaob=36015060=150.8. （2015年江苏镇江2分）如图，abc和dbc是两个具有公共边的全等三角形，ab=ac=3cm，bc=2cm，将dbc沿射线bc平移一定的距离得到d1b1c1，连接ac1，bd1如果四边形abd1c1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点a作aebc于点e，aeb=aec1=90，bae+abc=90.ab=ac，bc=2，be=ce=bc=1，四边形abd1c1是矩形，bac1=90.abc+ac1b=90. bae=ac1b.abec1ba. .ab=3，be=1，.bc1=9.cc1=bc1bc=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，将平行四边形abcd沿对角线bd进行折叠，折叠后点c落在点f处，df交ab于点e(1）求证；edb=ebd；(2）判断af与db是否平行，并说明理由【答案】解：（1）证明：由折叠可知：cdb=edb，四边形abcd是平行四边形，dcab. cdb=ebd.edb=ebd.（2）afdb. 理由如下：edb=ebd，de=be.由折叠可知：dc=df，四边形abcd是平行四边形，dc=ab. df=ab.ae=ef. eaf=efa.在bed中，edb+ebd+deb=180，2edb+deb=180.同理，在aef中，2efa+aef=180.deb=aef，edb=efa. afdb【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；平行的判定和性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）一言面，由折叠可得cdb=edb，另一方面，由四边形abcd是平行四边形可得dcab，从而得到cdb=ebd，进而得出结论.（2）可判定afdb，首先证明ae=ef，得出afe=eaf，然后根据三角形内角和定理与等式性质可证明bde=afe，从而得出afbd的结论.2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形abcd与边长为的正方形aefg按图1位置放置，ad与ae在同一直线上，ab与ag在同一直线上（1）小明发现dgbe，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转，当点b恰好落在线段dg上时，请你帮他求出此时be的长（3）如图3，小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转，将线段dg与线段be相交，交点为h，写出ghe与bhd面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】解：（1）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae，adgabe（sas）.agd=aeb.如答图1，延长eb交dg于点h，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg=90.在edh中，aeb+adg+dhe=180，dhe=90. dgbe.（2）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dab=gae=90，ag=ae，dab+bag=gae+bag，即dag=bae，adgabe（sas）.dg=be.如答图2，过点a作amdg交dg于点m，则amd=amg=90，bd为正方形abcd的对角线，mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，.在rtamg中，根据勾股定理得：，.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由如下：对于egh，点h在以eg为直径的圆上，当点h与点a重合时，egh的高最大；对于bdh，点h在以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，bdh的高最大.ghe和bhd面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用【分析】（1）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应角相等得agd=aeb，作辅助线“延长eb交dg于点h”，利用等角的余角相等得到dhe=90，从而利用垂直的定义即可得dgbe.（2）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应边相等得到dg=be，作辅助线“过点a作amdg交dg于点m”，则amd=amg=90，在rtamd中，根据等腰直角三角形的性质求出am的长，即为dm的长，根据勾股定理求出gm的长，进而确定出dg的长，即为be的长.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点h分别在以eg为直径的圆上和以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值3. （2015年江苏苏州10分）如图，在矩形abcd中，ad=acm，ab=bcm（ab4），半径为2cm的o在矩形内且与ab、ad均相切现有动点p从a点出发，在矩形边上沿着abcd的方向匀速移动，当点p到达d点时停止移动；o在矩形内部沿ad向右匀速平移，移动到与cd相切时立即沿原路按原速返回，当o回到出发时的位置（即再次与ab相切）时停止移动已知点p与o同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点p从abcd，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点p从a点出发，移动2s到达b点，继续移动3s，到达bc的中点若点p与o的移动速度相等，求在这5s时间内圆心o移动的距离；（3）如图，已知a=20，b=10是否存在如下情形：当o到达o1的位置时（此时圆心o1在矩形对角线bd上），dp与o1恰好相切？请说明理由【答案】解：（1）.（2）在整个运动过程中，点p移动的距离为cm，圆心移动的距离为cm，由题意得.点p移动2s到达b点，即点p用2s移动了cm，点p继续移动3s到达bc的中点，即点p用3s移动了cm，.联立，解得.点p移动的速度与o移动的速度相等，o移动的速度为（cm/s）.这5s时间内圆心o移动的距离为（cm）.（3）存在这样的情形.设点p移动的速度为cm/s，o移动的速度为cm/s，根据题意，得.如答图，设直线oo1与ab交于点e，与cd交于点e，o1与ad相切于点pg.若pd与o1相切，切点为h，则.易得do1gdo1h，adb=bdp.bcad，adb=cbd. bdp =cbd.bp=dp.设cm，则cm，cm，在中，由勾股定理，得，即，解得.此时点p移动的距离为（cm）.efad，beo1bad. ，即.cm，cm.当o首次到达o1的位置时，o与移动的距离为14cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1恰好相切.当o在返回途中到达o1的位置时，o与移动的距离为cm.此时点p移动的速度与o移动的速度比为.此时dp与o1不可能相切.【考点】单动点和动圆问题；矩形的性质；直线与圆的位置关系；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和分类思想的应用.【分析】（1）根据矩形的性质可得：点p从abcd，全程共移动了cm.（2）根据“在整个运动过程中，点p移动的距离等于圆心移动的距离”和“点p用2s移动了cm，点p用3s移动了cm”列方程组求出a，b，根据点p移动的速度与o移动的速度相等求得o移动的速度，从而求得这5s时间内圆心o移动的距离.（3）分o首次到达o1的位置和o在返回途中到达o1的位置两种情况讨论即可.4. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形abcd的边长为8cm，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da 上的动点，且ae=bf=cg=dh.（1）求证：四边形efgh是正方形；（2）判断直线eg是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形efgh面积的最小值.【答案】解：（1）证明：四边形abcd是正方形，.，.四边形efgh是菱形.，.四边形efgh是正方形.（2）直线eg经过定点-正方形abcd的中心. 理由如下：如答图，连接，、相交于点，四边形abcd是正方形，abdc.，四边形bgde是平行四边形.，即点是正方形abcd的中心.直线eg经过定点-正方形abcd的中心.（3）设，则，当时，四边形efgh面积的最小值为32.【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.【分析】（1）由证明，即可证明四边形efgh是一个角是直角的菱形-正方形.（2）作辅助线“连接，、相交于点”构成平行四边形bgde，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线eg经过定点-正方形abcd的中心.（3）设，根据正方形的性质和勾股定理得到关于的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.5. （2015年江苏无锡10分）如图，c为aob的边oa上一点，oc6，n为边ob上异于点o的一动点，p是线段cn上一点，过点p分别作pqoa交ob于点q，pmob交oa于点m（1）若aob=60，om=4，oq=1，求证：cnob；（2）当点n在边ob上运动时，四边形ompq始终保持为菱形；问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；设菱形ompq的面积为s1，noc的面积为s2，求的取值范围【答案】解：（1）证明：如答图，过点p作peoa于点e，pqoa，pmob，四边形ompq为平行四边形.oq=1，aob=60，pm=oq=1，pme=aob=60. pce=30. cpm=90，又pmob，cno=cpm=90，即cnob.（2）的值不发生变化，理由如下：设，四边形ompq为菱形，.pqoa，nqp=o.又qnp=onc，nqpnoc.，即， 化简,得.不变化.如答图,过点p作peoa于点e，过点n作nfoa于点f，设，则,pmob，mcp=o.又pcm=nco，cpmcno. .0x6，根据二次函数的图象可知， 【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.【分析】（1）作辅助性线，过点p作peoa于e，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到ompq为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到pm=oq=1，pme=aob=60，进而求出pe与me的长，得到ce的长，求出tanpce的值，利用特殊角的三角函数值求出pce的度数，得到pm于nc垂直，而pm与on平行，即可得到cn与ob垂直.（2）的值不发生变化，理由如下：设om=x，on=y，根据ompq为菱形，得到pm=pq=oq=x，qn=yx，根据平行得到nqp与noc相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值. 作辅助性线，过点p作peoa于点e，过点n作nfoa于点f，表示出菱形ompq的面积为s1，noc的面积为s2，得到，由pm与ob平行，得到cpm与cno相似，由相似得比例求出所求式子的范围即可6. （2015年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点c落在第二象限. 其斜边两端点a、b分别落在x轴、y轴上，且ab=12cm（1）若ob=6cm求点c的坐标；若点a向右滑动的距离与点b向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点c与点o的距离的最大值= cm.【答案】解：（1）如答图1，过点c作y轴的垂线，垂足为d，在rtabc中，ab=12，bac=30，bc=6.在rtaob中，ab=12， ob=6，bao=30，abo=60.又cba=60，cbd=60，bcd=30.bd=3，cd=od=9.点c的坐标为.如答图2，设点a向右滑动的距离，根据题意得点b向动的距离.在rtaob中，ab=12， ob=6，.在ao b中，由勾股定理得，解得，（舍去）.滑动的距离为（2）12【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点c作y轴的垂线，垂足为d”，应用含30度角直角三角形的性质求出cd和bd的长，即可求出点c的坐标.设点a向右滑动的距离，用表示出和的长，在ao b中，应用勾股定理列方程求解即可.（2）设点c的坐标为，如答图3，过点c作cex轴，cdy轴， 垂足分别为e，d，则oe=x，od=y.acebce=90，dcbbce=90，ace=dcb.又aec=bdc=90，ace bcd.，即. .当取最大值，即点c到y轴距离最大时，有最大值，即oc取最大值，如图，即当转到与y轴垂时. 此时oc=127. （2015年江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点a（10，0），以oa为直径在第一象限内作半圆，b为半圆上一点，连接ab并延长至c，使bc=ab，过c作cdx轴于点d,交线段ob于点e，已知cd=8，抛物线经过o、e、a三点.（1）oba= ；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若p为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以p、o、a、e为顶点的四边形面积记作s，则s取何值时，相应的点p有且只有3个？【答案】解：（1）90.（2）如答图1，连接oc， 由（1）知obac，又ab=bc，ob是的垂直平分线.oc=oa=10.在rtocd中，oc=10，cd=8，od=6.c(6，8)，b(8，4).ob所在直线的函数关系为.又e点的横坐标为6，e点纵坐标为3，即e(6，3)抛物线过o(0，0)，e(6，3) ，a(10，0)，设此抛物线的函数关系式为，把e点坐标代入得，解得.此抛物线的函数关系式为，即（3）设点，若点p在cd的左侧，延长op交cd于q，如答图2，op所在直线函数关系式为：，当x=6时，即q点纵坐标为.s四边形poae= soae sope= soae soqespqe=.若点p在cd的右侧，延长ap交cd于q，如答图3，a(10，0)，设ap所在直线方程为：y=kxb，把p和a坐标代入得，解得.ap所在直线方程为：.当x=6时，即q点纵坐标为.qe=.s四边形poae= soae sape= soae saqe spqe=.当p在cd右侧时，四边形poae的面积最大值为16，此时点p的位置就一个，令，解得，.当p在cd左侧时，四边形poae的面积等于16的对应p的位置有两个.综上知，以p、o、a、e为顶点的四边形面积s等于16时，相应的点p有且只有3个【考点】二次函数综合题；单动点问题；圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；待定系数洪都拉斯应用；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）根据直径所对的圆周角定理直接得出结论.（2）作辅助线：连接oc，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理求出点e、a的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的函数关系式.（3）设点，分点p在cd的左侧和右侧两种情况求出s四边形poae关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值原理求解即可.8. （2015年江苏盐城10分）如图，把efp按图所示的方式放置在菱形abcd中，使得顶点e、f、p分别在线段ab、ad、ac上.已知ep=fp=4，ef=，bad=60，且ab.（1）求epf的大小；（2）若ap=6，求ae+af的值；（3）若efp的三个顶点e、f、p分别在线段ab、ad、ac上运动，请直接写出ap长的最大值和最小值.【答案】解：（1）如答图1，过点作于点，ep=fp=4，ef=，.在中，.（2）如答图2，过点作于点，过点作于点，在菱形abcd中，.根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得.在和中，.在菱形abcd中，bad=60，.在中，.同理，.（3）ap长的最大值是8，最小值是4.【考点】多动点问题；菱形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；数形结合思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点作于点”，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，在中，根据正弦函数定义和60的三角函数值求得，进而求得.（2）作辅助线“过点作于点，过点作于点”，构成一对全等三角形，得到，在和中，分别求得，从而根据求解即可.（3）如答图3，当，点p在的右侧时，有最大值，当，点p在的左侧时，有最小值.设与相交于点，ep=fp，.，.，.同理，.ap长的最大值是8，最小值是4.9. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点a的直线折叠，使点d落到ab边上的点处，折痕交cd边于点e，连接be.210135（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若be平分abc，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点a的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，be平分abc，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而要证，一方面，由be平分abc可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.10. （2015年江苏扬州10分）如图，已知的直径ab=12cm，ac是的弦，过点c作的切线交ba的延长线于点p，连接bc.（1）求证：pca=b；（2）已知p=40，点q在优弧abc上，从点a开始逆时针运动到点c停止（点q与点c不重合），当abq与abc的面积相等时，求动点q所经过的弧长.【答案】解：（1）证明：如答图1，连接，ab是的直径，.pc是的切线，.，.，即.（2）如答图1，pc是的切线，p=40，.ab=12cm，ao=6cm.当abq与abc的面积相等时，动点q在优弧abc上有三个位置：如答图2，在上作点c关于ab的对称点，该点即是满足abq与abc的面积相等的点q，由轴对称性知，.如答图3，在上作点c关于点o的对称点，该点即是满足abq与abc的面积相等的点q，由中心对称性知，.如答图4，在上作点c关于ab中垂线的对称点，该点即是满足abq与abc的面积相等的点q，由轴对称性知，优角.优弧.综上所述，动点q所经过的弧长为或或.【考点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质；同底等高三角形的性质；弧长的计算；轴对称和中心对称的性质；分类思想的应用.【分析】（1）如答图1，作辅助线“连接”，一方面，由ab是的直径和pc是的切线得到和，从而得到；另一方面，由，根据等腰三角形等边对等角的性质得到，进而得到的结论.（2）根据同底等高三角形面积相等的性质，分三种情况讨论即可：在上作点c关于ab的对称点q，在上作点c关于点o的对称点q，在上作点c关于ab中垂线的对称点q.11. （2015年江苏扬州12分）如图，直线线段于点，点在上，且，点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，直线与直线相交于点，连接.（1）如图1，若点与点重合，则= ，线段与的比值为 ； （2）如图2，若点与点不重合，设过三点的圆与直线相交于，连接.求证：；（3）如图3，则满足条件的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题：如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点q，都满足qa=2qb；如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的点，如点在直线上、点与点重合等进行探究，求这个圆的半径.【答案】解：（1）30；2.（2）证明：点关于直线的对称点，.是圆内接四边形的外角，.如答图1，连接交于点，过点作交于点，点关于直线的对称点，是的垂直平分线.，.，.（3）两小题中选做一题：如答图2，在的延长线上取点，使，以点为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点，连接，在上取点，使，连接，作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，点关于直线的对称点，是的垂直平分线. .又，.点、重合.，.若点在线段上，由知，点与点重合，点与点重合，这个圆的半径为2.若点在射线的延长线上，由知，点与点重合，这个圆的半径为2.等.【考点】开放型；单动点和轴对称问题；轴对称的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例的性质.【分析】（1），.，线段与的比值为2.（2）一方面证明得到；另一方面，由是圆内接四边形的外角得到，从而得到，进而根据等角对等边的判定得证.作辅助线“连接交于点，过点作交于点”，应用线段垂直平分线的性质和平行线分线段成比例的性质证明.（3）如答图2，在的延长线上取点，使，以点为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点，连接，在上取点，使，连接，作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，此圆即为所求定圆.取特殊点探讨，答案不唯一.12. （2015年江苏常州10分）设是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为的“化方”（1）阅读填空如图，已知矩形abcd，延长ad到e，使de=dc，以ae为直径作半圆延长cd交半圆于点h，以dh为边作正方形dfgh，则正方形dfgh与矩形abcd等积理由：连接ah，ehae为直径，ahe=90，hae+hea=90dhae，adh=edh=90had+ahd=90ahd=hed，adh ，即dh2=adde又de=dcdh2= ，即正方形dfgh与矩形abcd等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形如图，请用尺规作图作出与等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形如图，abc的顶点在正方形3格的格点上，请作出与abc等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算abc面积作图）（4）拓展探究n边形（n3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n1边形，直至转化为等积的三角形，从而可以化方如图，四边形abcd的顶点在正方形3格的格点上，请作出与四边形abcd等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形abcd面积作图）【答案】解：（1）hde；addc.（2）如答图1，矩形anmd即为与等积的矩形.（3）矩形.如答图2，cf为与abc等积的正方形的一条边.（4）如答图3，bce是与四边形abcd等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得adhhde；根据等量代换，可得dh2=addc，据此判断即可（2）过点d作dmbc，交bc的延长线于点m，以点m为圆心，ad长为半径画弧，交bc于点n，连接an，则易证dcmabn，因此，矩形anmd即为与等积的矩形. （3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将abc转化为等积的矩形bcmn；然后延长bc到e，使ce=cm，以be为直径作圆延长cm交圆于点f，则cf即为与abc等积的正方形的一条边（4）连接ac，过点d作deac交ba的延长线于点e，连接ce，则bce是与四边形abcd等积的三角形.13. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：如图，如果四边形abcd满足ab=ad，cb=cd，b=d=900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图所示的“完美筝形”纸片abcd先折叠成如图所示的形状，再展开得到图，其中ce、cf为折痕，bcd=ecf=fcd，点b为点b的对应点，点d为点d的对应点，连接eb、fd相交于点o.简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；（2）当图中的时，aeb ；（3）当图中的四边形aecf为菱形时，对应图中的“完美筝形”有 个（包含四边形abcd）.拓展提升： 当图中的时，连接ab，请探求abe的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：（1）正方形.（2）80.（3）5.拓展提升：，理由如下：如答图，连接，且ab=ad，四边形abcd是正方形. .由折叠对称的性质，得，点在以为直径的圆上.由对称性，知，.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的判定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质.【分析】简单应用：（1）根据“完美筝形”的定义，知只有正方形是“完美筝形”.（2），根据折叠对称的性质，得.，. .（3）根据“完美筝形”的定义，可知是“完美筝形”.拓展提升：作辅助线“连接”，由题意判定四边形abcd是正方形，从而证明点在以为直径的圆上，即可得出.14. （2015年江苏淮安12分）如图，在rtabc中，acb90，ac=6，bc=8. 动点m从点a出发，以每秒1个单位长度的速度沿ab向点b匀速运动；同时，动点n从点b出发，以每秒3个单位长度的速度沿ba向点a匀速运动. 过线段mn的中点g作边ab的垂线，垂足为点g，交abc的另一边于点p，连接pm、pn，当点n运动到点a时，m、n两点同时停止运动，设运动时间为t秒.（1）当t 秒时，动点m、n相遇；（2）设pmn的面积为s，求s与t之间的函数关系式；（3）取线段pm的中点k，连接ka、kc，在整个运动过程中，kac的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由.【答案】解：（1）2.5.（2）在整个运动过程中，分三段：点与点重合前；点与点重合后点m、n相遇前；点与点重合后点m、n相遇后.当点与点重合时，如答图1，.根据勾股定理，得，解得.由（1）动点m、n相遇时，.当点n运动到点a时，由得.当时，如题图，.，即.当时，如答图2，.，即.当时，如答图3，.，即.综上所述，s与t之间的函数关系式为.（3）在整个运动过程中，kac的面积变化，它的最大值是4，最小值是.【考点】双动点问题；由实际问题列函数关系式（几何问题）；勾股定理；相似三角形的判定和性质；一次函数的应用和性质；三角形和梯形的中位线定理；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）在rtabc中，acb900，ac=6，bc=8，根据勾股定理，得.点m的速度是每秒1个单位长度，点n的速度是每秒3个单位长度，动点m、n相遇时，有秒.（2）分点与点重合前；点与点重合后点m、n相遇前；点与点重合后点m、n相遇后三种情况讨论即可.（3）分点与点重合前；点与点重合后点m、n相遇前；点与点重合后点m、n相遇后三种情况讨论，如答图，分别过点作的垂线，垂足分别为点，易得当时，如答图4，易得，.当时，最大值