2025-2026学年广西壮族自治区高二上学期9月入学摸底大联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广西壮族自治区高二上学期9月入学摸底大联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∣x<2且x∈Z},B=xx2A.−1,1 B.−1,0,1 C.0 D.−2,−1,0,1,22.已知复数z=2+i1−i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为(

)A.32i B.−32i 3.已知a,b∈R，则“a+b>0”是“a+b≥2ab”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知角α终边上一点P(3,−4)，则sin5A.−12 B.32 C.5.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2+c2−b2A.3 B.−3 C.26.如图，在四面体ABCD中，E是棱AB的中点，F是棱CD上一点，且CF=13CD，则EF=A.−12AB−23AC+17.已知函数f(x)=log2ax2+(a−2)x+34A.7−332,7+332 8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和ACA.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是(

)A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品

B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37

C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过1000010.下列说法正确的是(

)A.若函数f3x的定义域为1,3，则函数fx的定义域为3,9

B.若函数y=fx过定点0,1，则函数y=fx+1+2经过定点−1,3

C.函数y=1311.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=23，BC=AA1=2，A.MN=2

B.异面直线BN与AC所成角的余弦值为12

C.若点T为长方形ABCD内一点(包括边界)，且D1T//平面BMN，则D1T长的最小值为192

D.过点D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知弧长为2π cm的弧所对的圆心角为π6，则这条弧所在的扇形面积为

．13.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A′B′C′D′(如图所示)，已知，∠A′B′C′=45°，A′D14.若一组数据a1，a2，a3，…，an的方差为4，则3a1−1，3a2−1，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−(1)求∠ABC(2)求以向量AB，AC为一组邻边的平行四边形的面积S．16.(本小题15分)▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求▵17.(本小题15分)某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差(质量差=生产的产品质量−标准质量，单位mg)(1)求样本数据的70%分位数；(精确到0.01)(2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在x−s,x+s范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得①若产品的质量差为78mg②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．18.(本小题17分)已知函数fx(1)当x∈π2,π(2)若关于x的方程fx=m在区间0,π219.(本小题17分)已知▵ABC,△ABD均为等腰直角三角形，且AB=BC=BD，平面ABC⊥平面ABD.平面四边形CBDE中，平面ABD，点F为BD的中点，连接EF(1)求证：AD⊥(2)求二面角C−AE−D的正弦值．

参考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ABC

10.AB

11.ACD

12.12π cm13.314.6

15.解：(1)BA=(2,1,−3)、则cos∠ABC=即∠ABC的余弦值为1(2)AB=(−2,−则cos∠BAC=则sin∠BAC=则S=AB

16.(1)解：由已知可得tanA=−33在▵ABC中，由余弦定理得28=12+即c2解得c=−8(舍去)，(2)解：由题设可得∠CAD=π2故S▵ACDS所以S▵

17.解：(1)由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，所以可知70%分位数一定位于第三组[66,76)内，设70%分位数为x，则0.3+0.045(x−66)=0.7，解得x(2)①根据频率直方图计算样本平均数：x因为样本标准差，s≈10，所以x−s,则可知该产品属于一等品．②记三件一等品为A,B,C，两件二等品为a,b，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)，设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件A，则A包含的基本事件共9个，分别是：(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，所以P(A)=9则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为910

18.解：(1)∵f=1+2又∵x∈π∴−1≤fx≤2，故f(2)∵fx当x∈0,π2∵sin又∵y=sinx在−π6,π2作出函数y=sin由正弦函数图象可知12≤m−1故实数m的取值范围是2,3．

19.解：(1)证明：∵△ABC,△ABD均为等腰直角三角形，且AB=BC=BD,∴∴∠CBD为二面角D−AB−C又平面ABC⊥平面ABD又AB⊥BC,AB∩BD=B,AB⊂∴BC⊥平面平面ABD，平面CBDE∩平面ABD=BD，CE⊂平面CBDE，即CE//BF又BF=1∴四边形BCEF是平行四边形，．∴EF⊥平面ABD，又AD⊂∴EF(2)由(1)知AB,BC,BD两两垂直，故以B为坐标原点，分别以BA,BC，BD所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设AB=BC=BD=2，则A(2,0,0),C(