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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数学归纳法与二项式定理1、(常州市2013届高三期末)空间内有个平面,设这个平面最多将空间分成个部分. (1)求 ;(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.解:(1);(2).证明如下: 当时显然成立, 设时结论成立,即,则当时,再添上第个平面,因为它和前个平面都相交,所以可得 条互不平行且不共点的交线,且其中任3条直线不共点,这条交线可以把第个平面划最多分成个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此,空间区域的总数增加了个, ,即当时,结论也成立.综上,对,.2、(南京市、盐城市2013届高三期末)已知, 其中(1)若展开式中含项的系数为14, 求的值;(2)当时, 求证:必可表示成的形式.解: (1)因为,所以,故项的系数为,解得5分(2)由二项式定理可知,设,而若有,则,7分, 令,则必有9分必可表示成的形式,其中 10分注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数3、(南通市2013届高三期末)已知数列an满足:(1)若,求数列an的通项公式;(2)若,试证明:对,an是4的倍数解:(1)当时,令,则因为奇数,也是奇数且只能为,所以,即 3分 (2)当时, 4分下面利用数学归纳法来证明:an是4的倍数当时,命题成立;设当时,命题成立,则存在n*,使得,其中,当时,命题成立由数学归纳法原理知命题对成立 10分4、(徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末)已知数列满足且(1) 计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2) 求证:当时,证明:,猜想:2分当时,结论成立; 假设当时,结论成立,即,则当时,即当时,结论也成立,由得,数列的通项公式为5分原不等式等价于证明:显然,当时,等号成立;当时,综上所述,当时,10分5、(无锡市2013届高三期末) 已知函数f(x)= x2+1nx ()求函数f(x)在区间1,e上的最大值、最小值; ()设g(x)=f(x),求证: 6、(扬州市2013届高三期末)已知数列是等差数列,且是展开式的前三项的系数.()求展开式的中间项;()当时,试比较与的大小.解:()依题意,由可得(舍去),或 2分所以展开式的中间项是第五项为:;4分()由()知,,当时,当时,猜测:当时, 6分以下用数学归纳法加以证明:时,结论成立,设当时,则时,由可知,即综合可得,当时, 10分7、(镇江市2013届高三期末)已知函数在区间上是增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若数列满足,* ,证明解:(1)函数在区间上是增函数.在区间上恒成立,2分,又在区间上是增函数即实数的取值范围为.3分 (2)先用数学归纳法证明. 当时,成立, 4分假设时
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