以“Math”为工具的电动力学.doc

以“Math”为工具的电动力学摘 要 电动力学存在教材古老繁琐和高要求的解析运算瓶颈的两大问题。本文提出了教材现代化及计算电子化的建议，例示了电动力学字符运算的ath表达方式。 关键词 四维协变量，相对论，教学现代化 1电动力学教材必须现代化 电动力学课程内容繁多，从极化、磁化机理到介质中的场方程等等，很多是重复前人建立理论的过程。另外，在推理和计算中需要较多的解析运算，许多问题的运算过程比物理模型与数学模型的建立花费更多的时间和精力。高要求的字符解析运算是电动力学发展和应用中的“瓶颈”。电动力学教材现代化的主要标志应该是：理解和接受经典电磁理论而不是重复经典理论的导出；深入联系当前实际而不是重复前辈建立理论的过程；讲究效率和效益而不是苦学应试；发挥和应用计算技术成果而不是蛮干苦算。因此，我们认为，可以用orentz协变量从狭义相对论展开电磁理论。主要内容是：协变量与协变方程，电磁波与微波器件，超导与等离子体，辐射与激光。2辅助运算电子化高要求解析运算的“瓶颈”问题，可以应用现代计算技术予以克服。计算机代数系统（CAS）下的四大计算软件系统早已在世界流行，具备声、色、动画等多媒体功能，易于生成课件。 因此，倒通瓶颈有了基本工具。必需注意到：电磁理论成熟精湛，基于Math似乎比较顺利，对于矢量微分算符等表达方式也要适当改编.对于边值问题等，当前的计算软件也是无一能够百分至百地满足电动力学需要的。因此，目前流行的四大计算软件也只能处于辅助计算的地位，不能操之过急。但是，Lorentz协变量及其表达方式与Math表达方式非常友好，用Math介面便于重点地撰述原理、规律及其物理模型和数学模型。可随时显示计算过程，充分发挥图表、照片图形，配音动画等多媒体效果。3.电磁场方程组的代数表示为了使电动力学表达方式易于和Math握手,可将电磁场表达式写成代数形式.例如: 4. 微分算符为了使电动力学表达方式易于和Math握手,必需改编Math的微分表达方式,例如:dt:=D#,t&dy:=D#,y&dz:=D#,z&dx:=D#,x&dm:=MapFunctiong,D#,g,t,x,y,z&; (* 4-微商 *)dvm:=ApplyPlus,MapFunctiong,D#,g,t,x,y,z&; (* 4-散度 *)dl:=MapFunctiong,D#,g,x,y,z&; (* del算符 *)dv:=ApplyPlus,MapFunctiong,D#,g,x,y,z&; (*3-矢量散度*)5四维协变量 我们应用如下度规建立协变量(用mn标识)和抗变量(用kl标识). gnn=1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1; 四维协变量的 math表达方式的定义如下: xk=c t,x,y,z; (* 位矢 *) xm=gnn.xk; uk= 1,ux/c,uy/c,uz/c; (* 速度 *) um=gnn.uk; jk= c uk; (* 电流密度 *) jm =gnn.jk; kl=/c,k1,k2,k3; (* 波矢 *) km =gnn.kl; pm=m0 c uk; (* 动量 *) pk=gnn.pm; am=/c,-ax,-ay,-az; (* 四维势 *) ak= gnn.am; fmn=0,ex/c,ey/c,ez/c,-(ex/c),0,-bz,by, -(ey/c),bz,0,-bx,-(ez/c),-by,bx,0 ; fkl= gnn.fmn.gnn ; fmk=gkk.ff ; 四维加速度的定义： 可得到如下四维加速度：将计算结果写为Math形式如下: wk:=(r4/c)(beta1beta1+beta2 beta2+beta3 beta3),(r2/c)beta1+(r4/c)(beta.beta)beta1, (r2/c)beta2+(r4/c)(beta.beta)beta2,(r2/c)beta3+(r4/c)(beta.beta)beta3/Simplify; wm=gnn.wk;6Lorentz不变量四维协变量缩并可得Lorentz不变量,在惯性系变换中很有应用天地.例如: cs=(xm.xk/.(-x2-y2-z2)-0)/.t-t0;Printxm.xk=,cs得:cu=um.uk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-1 ;Printum.uk=,cu 得: cj=jm.jk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-1 ;Printjm.jk=,cj得:ck=kl.xm;cp=pm.pk/.ux-0,uy-0,uz-0,gmu-1 ;Printpm.pk=,cp得: beta1=beta;beta2=0;beta3=0;beta1=beta;beta2=0;beta3=0; ww=wk.wm/Simplify; cw=(wk.wm)/.beta1-0,r-1,beta1-gg/c)/Simplify;得: ff=Sumfmni,j fkli,j,i,1,4,j,1,4/2/Simplify; 得: 7电磁场张量的建立定义四维势：a4=/c,a1,a2,a3由如下关系式定义电磁场张量即：由Math展开两式：d:=d1,d2,d3，a:=-a1,-a2,-a3lcvt=0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0;b=d.lcvt.a;b/.(d2 a3-d3 a2)-f23,(-(a3 d1)+a1 d3)-f31,(d1 a2-d2 a1)-f12e=-c (d a0+d0 a);e/.(-d0 a1+d1 a0)-f01,(-d0 a2+d2 a0)-f02,(-d0 a3+d3 a0)-f03得：-b=f23,f31,f12 -e/c=f01,f02,f03令：flm: =dlam-dmal , fll=0, l,m取0,1,2,3. flm=-fml,从而构成一个反对称的二阶张量，定义为电磁场张量。有： fmn=0,ex/c,ey/c,ez/c,-(ex/c),0,-bz,by, -(ey/c),bz,0,-bx,-(ez/c),-by,bx,0 ;即: 0 ex/c ey/c ez/c flm= -ex/c 0 -bz by -ey/c bz 0 -bx -ez/c -by bx 0 8电磁场协变方程的建立 定义四维电流密度j=/c,j1,j2,j3,如下两式可合并为四维形式。即:先由Math展开两式lcvt=0,0,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,0,0;b:=f32,f13,f21, e/c:=f10,f20,f30, j:=j1,j2,j3d.lcvt.b-(1/c)d0 e=0 jd.(e/c)= 0 j0得：d0f10-d2f20+d3f30=0 j0-d0f10-d2f21+d3f13=0 j1-d0f20+d1f21-d3f32=0 j2-d0f30-d1f13+d2f32=0 j3注意到flm=-fml,fll=0,立刻看到上列四式可统一写成：dmfnm=0 jn 即：同理可将另外的如下两个方程合并： 由Math展开得：d3f21-d2f30+d0f32=0-d3f10+d0f13+d1f30=0d2f10-d1f20+d0f21=0d2f13-d2f30+d1f32=0以上四式之和可写成：9瞬时惯性系为了讨论自时问题（如粒子寿命），可以用运动观测者为参考点建立动坐标系，如果动坐标系有加速度，在时间极短、线度微小的时空区域仍可视为匀速直线运动的惯性系，我们把它称为瞬时惯性系。由于狭义相对论的时空变换与加速度无关，在瞬时惯性系中可以应用上列各式。现在处理动系本身运动事件，此时： 就是动系的速度。并且： 为了简单起见，令：,则： 有： 即： 再由： 解得： 可见，匀加速系统的自时和自长由相对论参数的时变过程确定，运动全过程的时间和路程可求解并叠加得出。Math表达式如下:(* 以下解析运算得到并显示l, t, 的三个表示式 *) PrintEquation is: l = , eqo=Integrate(c2/g) x (1-x2)(-3/2),x,0,b Printtime expr is: t= , (4*c/g)*Integrate(1-x2)(-3/2),x,0,b Printmax. beta expr is: ,Solveeq0=l/2,b PrintMove time: t =, N(4*c/g)*In