以数学故事串联知识点对数概念.pdf

年第 期 教育研究与评论 课堂观察课堂回放 以数学故事串联知识点 对数学史辅助 对数概念 教学的探索 吕建林 江苏省南京市第一中学 一 学情分析 对数概念 是苏教版高中数学必修 第 章第 节 对数函数 的第 课时内容 在 此之前 学生已经学习过函数的概念 表示方 法和一般性质 完成了分数指数幂和指数函 数的学习 掌握了研究函数的一般方法 经历 过从特殊到一般 从具体到抽象的研究过程 对数概念的学习 是对指数概念和指数函数 学习的深化 也是后续学习对数函数的基础 因此 本节课的教学目标是 理解对 数概念 能够进行对数式与指数式的互化 了 解常用对数和自然对数 掌握几个简单的对 数恒等式 通过对问题的探究 体会引入 对数概念的必要性和合理性 感受从特 殊到一般 化归转化的思想方法 本节课的 教学重难点是 对数式与指数式的相互转化 对数概念的建构与理解 二 教学设想 对数的发明是数学史上的伟大成就之 一 作为一个困扰天文学家 数学家多年的问 题 高中生在面对这个抽象的概念时的认知 难度可想而知 因此 本节课充分借助数学 史上与对数有关的问题和故事展开对知识的 探究 通过一个数学名著中的趣题激发学生 的研究兴趣 启发学生结合已有的指数知识 展开认知与建构 从特殊到一般体会对数发 明的必要性和合理性 在化归转化中把握指 数与对数的关系 使一个看似人为编造出来 的概念成为 有源之水 有根之木 本节课中另一个容易被轻视的知识点是 常用对数与自然对数的概念 通常的做法是 直接给出这两个概念 但会使学生觉得比较 突然 不利于其接受理解和准确使用 笔者 尝试从数学史中找到常用对数和自然对数的 由来 并以数学故事的形式让学生感知人类 在漫漫历史长河中对对数的追寻和有关概念 的发明历程 从而使数学知识不再枯燥生硬 变得生动有趣 并把看似联系不大的知识点 有机地串联起来 形成一个整体 这样的教 学 符合学生的认知规律 便于其掌握数学知 识和方法 体会到数学的价值和力量 三 教学过程 一 创设情境 探索新知 首先 以中国古代数学名著中的一道趣 题引入 启发学生思考 从而了解该题的本质 是如何依据底数和幂的值求指数 课堂回放教育研究与评论 课堂观察 年第 期 教师出示问题 今有垣厚五尺 两鼠对 穿 大鼠日一尺 小鼠亦日一尺 大鼠 日自倍 小鼠日自半 问 几何日相逢 各穿几何 师 这是我国古代最著名的数学专著 九章 算术 中的第 题 大 家 一 起 来 思 考 一下 生 设两鼠 日相逢 由题意可知 师 由等比数列求和公式 可得 生 方程可以化简为 槡 但接下来就 不知道怎么求 了 师 我们已经成功地把这个问题转化为解方 程 槡 但解不出来 九章算术 给出的答案是 二又十七分之二日 即 但是 只是一个近似答案 在公元 世纪左右的汉朝 能得到如此 近似的结果已经是非常了不起的成就 遗憾的是 古代中国的数学家们未能再 作深入研究 找出解决此类问题的方法 因而 错过了人类数学史上的一项重大 成就 今天 你们掌握的数学知识已经 远超当时数学家的一般水平 那么 大家 一起来尝试解决它 要解决一个问题 首先要搞清楚这个问题的本质 它是什 么类型的问题 你见过 跟 它 类 似 的 问 题吗 生 这 个 问 题 是 已 知 底 数 和 幂 的 值 要 求 指数 师 通过前面的学习 我们已经知道 在指数 式的底数 指数和幂这 个数中 已知底 数和指数 通过乘方运算可以求得幂 已 知指数和幂 则通过用开方运算或分数 指数幂运算可以求得底数 那么 已知 底数和幂 如何求指数呢 生 在有些特殊情况下可以求 比如 根据 就知道 不是特殊值 就没办法了 只能求近似值 师 很好 以方程 为例 怎么找出 的近似值 你能说说吗 生 可以数形结合 转化为求两个函数图像 交点的横坐标 把 的图像画出来 再作出 的图像 交点的横坐标就是 方程 的根 师 通过他的分析 我们不难发现 这个方程 有根 而且根据指数函数的单调性 只有 一个根 虽然表达不出来 但我们可以 肯定的是 这个根是由底数 和幂的值 确定的 生 可以用底数和幂来表示这个根 师 是的 在很长一段时间里 人们都没有 想到解决这个问题的办法 直到 年 苏格兰数学家纳皮尔 在研究天文学的过程中 为简化计算而 攻克了这个难题 他的解决方式是 发 明了一个新的数学概念 对数 一般 地 如果 的 次幂等于 即 那么就称 是以 为底的 的对数 记作 开普勒首先引 入符号 其助手 瑞士钟表匠比尔 吉制作了世界上首张对数表 师 按照上述定义 你能写出这个问题的答 案吗 年第 期 教育研究与评论 课堂观察课堂回放 生 槡 师 对 我们可以用 槡 表示这个 结果 的值近似等于 二 理解概念 建构知识 接下着 让学生谈谈对对数这个新定义 的认识 帮助学生把握对数式与指数式之间 的联系 从而将对数概念融入自己已有的知 识体系 这也为进一步讨论式子中字母的取 值范围和用对数进行运算奠定了基础 师 你怎么理解对数 生 有了对数 就可以根据底数和幂的值求 指数了 师 很好 对数是一种新的运算 是知道了 底数和幂的值求指数的一种运算 它是 指数运算的逆运算 那么 这个对数和 原式中的那个指数是什么关系 生 是一样的 只是说法不同 师 说得好 对数式 实际上就是指数 式中的指数 的一种新的记法 自此 在满足 的指数 式的底数 指数和幂这 个数中 我们就 可以 知二求一 由对数的定义可知这 两个等式是 这 个量之间的同一 个关系的不同表现形式 出示图 我 们可以通过这样一个图来比较指数式与 对数式的关系 图 学生看图 思考 师 为什么要规定 且 生 时 当 取某些值的时候 可能不 存在 例如 不存在 时 若 则 不存在 若 则 可以是 任何正数 不唯一 时 若 则 不存在 若 则 可以是任何数 不唯一 师 为什么真数 生 因为在实数范围内 正数的任何次幂都 是正数 所以 始终大于零 三 数学应用 联系建构 通过与对数概念有关的一系列问题 引 导学生把握指数式与对数式相互转换的运 算技巧 体会化归转化的思想方法 并为今 后探究对数的有关性质作铺垫 教材中常 用对数和自然对数的出现比较突然 这里借 助数学史上的一些故事 让学生了解常用对 数和自然对数的产生过程 既避免了强记概 念 又把握了概念之间的内在联系 在拓展 学生认 知 的 同 时 激 发 了 他 们 学 习 对 数 的 兴趣 学生做与对数概念有关的题组练习 师 通过几个实例 我们体会了对数式与指 数式的关系 初步学会了运用对数解决 问题 其实 对数的发明解决了困扰天 文学家很久的数学难题 它的应用非常 广泛 关于对数的发明还有一些历史趣 事 你们想知道吗 生 齐 想 师 年 纳皮尔的 奇妙的对数定理说明 书 面世以后 消息很快传遍了欧洲大 陆 两年后 伦敦格雷沙姆学院的几何 学教授布里格斯慕名去爱丁堡拜见了他 无比崇敬的天才纳皮尔 刚开始 纳皮 尔选择了以 为底数 比尔吉选择了以 课堂回放教育研究与评论 课堂观察 年第 期 为底数 后来 布里格斯和 纳皮尔研究出一个结论 如果选择以 为底数 那么编造出来的对数表会更加 有用 于是就有了今天我们所说的常用 对数 也叫作布里格斯对数 为了方便 起见 对数 简记为 在科学 技术中 有一种对数比常用对数使用更 为广泛 叫作自然对数 它是用变量的 思想发展纳皮尔和比尔吉对数 即以变数 自然数 取代纳皮尔对数之底中的 和比尔吉对数之底中的 在无限中 求得统一 由此得到自然对数之底 是个无理 数 对数 简记为 学生聆听 沉思 四 扩展阅读 小结作业 师 年 月 日 尼加拉瓜发行了一套 数学纪念邮票 号称 改变世界面貌的十 个数学公式 其中就有纳皮尔指数与对 数关系公式 如图 拉普拉斯说 对 数的发现 以其节省劳力而延长了天文 学者的生命 伽利略更是发出了豪言壮 语 给我时间 空间和对数 我可以创造 出一个宇宙来 恩格斯把对数的发明和 解析几何的创始 微积分的建立称为 世纪数学的三大成就 图 师 同学们 今天我们认识了对数 透过它 我们感受到科学家思考问题的奇妙历 程 也感受到数学发展推动人类探索和 认识世界的强大力量 今天的课后作业 是 教材第 页的练习 希望 大家通过练习掌握对数的基本概念 我 们明天继续研究对数的运算性质 进一 步学习这个认识世界的新工具 四 教学反思 普通高中数学课程标准 实验 倡导 让学生通过丰富的背景感受数学 建立数学 运用数学 苏教版高中数学教材的每个章节 都安排了拓展 链接 阅读等栏目 并鼓励教 师根据学生的不同需求为学生提供选择的空 间 本节课从教学内容出发 补充了与对数 研究有关的历史名题以及对数底数的演变历 史 填补了概念发生的背景 使对数概念因其 发展史而变得生动 也为更多的学生认知和 理解 当然 由于本节课引入