六种基本的三角函数.doc

余切编辑本段概述表示时用“cot+角度”，如：30的余切表示为cot30;角A的余切表示为cotA旧用ctgA来表示余切，至今仍在使用，和cotA是一样的。（注：现在已经不常用了）任意角终边上除顶点外的任一点的横坐标除以该点的非零纵坐标,角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,而该角的始边则与正x轴重合简单点理解:直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比,叫做该锐角的余切。假设A的对边为a、邻边为b，那么:cot A= b/a（即邻边比对边）右图为余切函数图像。 1编辑本段余切的性质1.与正切互为倒数2.单调递减3.奇函数4.值域R编辑本段相关公式和的关系1+cot2=csc2积的关系cot=coscsctan cot=1商的关系cos/sin=cot=csc/sec由泰勒级数得出cotx=1/tanx=ie(ix)+ie(-ix)/e(ix)-e(-ix)和角公式cot(+)=(cotcot-1)/(cot+cot)cot(-)=(cotcot+1)/(cot-cot)编辑本段余切是混沌的“余切序列”是蝴蝶效应的一个典型例子。你看，以下三个数列每一项都是前一项的余切；初值分别为1、1.00001、1.0001，但是从第10项开始，三个数列开始形成巨大的分歧。这就是混沌的数列，经过足够多项后，得到的数字完全可以看作是随机的，混沌的。an+1=cot(an)甲乙丙11.000011.00010.6420926160.6420784930.6419513971.3372531781.3372925561.3376470060.2378838770.2378422710.2374678014.1241363324.1248857294.1316421090.6670279030.665945620.6562364341.2699574741.2727891481.298546250.3102556110.307154080.2791820713.1190604633.1526604993.488344037-44.3734379690.348130062.767389601-2.424894313-1.056234059-2.5464313981.147785023-0.5653638021.4769811640.45018926-1.5761759160.0940913672.0691574070.00537964110.5965853-0.544176342185.88421660.421601998-1.6525623991.7057482612.2296772570.081948782-0.135777195-0.77431333812.17541547-7.31969225-1.02241908-2.42617226-0.59169349-0.6108746881.150750903-1.48807061-1.4281192840.44662703-0.082914948-0.1436531382.088110796-12.03290058-6.913261967-0.5690013761.693228262-1.371305422正切zhng qi 目录定义三角函数相关知识常见特殊角的三角函数值展开定义三角函数相关知识常见特殊角的三角函数值展开编辑本段定义正切（tan）定理 正切定理是三角学中的一个定理。在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.法兰西斯韦达(François Vite)曾在他对三角法研究的第一本著作应用于三角形的数学法则中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。正切定理： (a + b) / (a - b) = tan(+)/2) / tan(-)/2)证明 由下式开始，由正弦定理得出(参阅三角恒等式)正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。放在直角坐标系中（如图）即 tan=y/x也有表示为tg=y/x，但一般常用tan=y/x（由正切英文tangent（读作英tændnt 美tændnt）简写得来）。 定义图编辑本段三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整 三角函数示意图个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA。即tanA=角A的对边/角A的邻边。编辑本段相关知识六种基本函数函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割余割正弦函数 sin=y/r 1余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x 余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y同角三角函数关系式平方关系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()积的关系：sin=tan*cos cos=cot*sintan=sin*sec cot=cos*cscsec=tan*csc csc=sec*cot倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)编辑本段常见特殊角的三角函数值sin30=1/2sin45=2/2sin60=3/2cos30=3/2cos45=2/2cos60=1/2tan30=3/3tan45=1tan60=3倍角公式sin(2)=2sincoscos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()三倍角公式sin3=3sin-4sin3()cos3=4cos3()-3cos半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2其他tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)tanAtanB=1余弦目录定义定理证明方法相关图片展开定义定理证明方法相关图片展开编辑本段定义角A的邻边比斜边 叫做A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。记作cos=x/r。余弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是-1,1。它是周期函数，其最小正周期为2。在自变量为2k（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。编辑本段定理简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即在余弦定理中，令C=90，这时cosC=0，所以c2=a2+b2（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。（见解三角形公式，推导过程略。）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值若m(c1,c2）=2，则有两解；若m(c1,c2）=1，则有一解；若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。角边判别法1、当absinA时当ba且cosA0（即A为锐角）时，则有两解；当ba且cosA0（即A为锐角）时，则有一解；当b=a且cosA=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；当b0（即A为锐角）时，则有一解；当cosA=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当absinA时，则有零解（即无解）编辑本段证明方法平面向量证法如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）cc=(a+b）（a+b)c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos（-）（以上粗体字符表示向量）又Cos（-）=-CosCc2=a2+b2-2|a|b|Cos（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC即 CosC=(a2+b2-c2）/2*a*b同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法在任意ABC中做ADBC，交BC于DC所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2b2=(sinB2+cosB2）*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosBcosB=(c2+a2-b2）/2ac编辑本段相关图片余弦相关图片 余弦.图二 余弦.图一开放分类正弦定理在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sin（由英语sine一词简写得来），即sin=角的对边/斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，股就是人的大腿。正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。正弦=股长/弦长勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，勾就是短的弦，即余下的弦余弦。按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。现代正弦公式是sin = 直角三角形的对边比斜边.如图，斜边为r，对边为y，邻边为a。 斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r无论a，y，r为何值，正弦值恒大于0，小于1. 1三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A 的正切，记作tanA即tanA=角A 的对边/角A的邻边同样，在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA即sinA=角A的对边/角A的斜边同样，在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的余弦，记作cosA即cosA=角A的邻边/角A的斜边正弦函数的定义一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角的正弦函数，记作v=sin。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为-1,1。相关公式平方和关系（sin）2+（cos）2=1积的关系sin=tancos（即sin/cos=tan）cos=cotsin（即cos/sin=cot）tan=sinsec (即tan/sin=sec)倒数关系tancot=1sincsc=1cossec=1商的关系sin/cos=tan=sec/csc和角公式sin()=sincoscossinsin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos()=coscossinsin倍角公式，半角公式sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)sin(3)=3sin-4sin³()=4sinsin(60+)sin(60-)sin(/2)=(1-cos)/2)由泰勒级数得出sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)级数展开sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x)导数（sinx）=cosx（cosx)=sinx定理在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sin（由英语sine一词简写得来），即sin=角的对边/斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，股就是人的大腿。正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。正弦=股长/弦长勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。最大的弦是直径。 把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，勾就是短的弦，即余下的弦余弦。按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。现代正弦公式是sin = 直角三角形的对边比斜边.如图，斜边为r，对边为y，邻边为a。 斜边r与邻边a夹角Ar的正弦sinA=y/r无论a，y，r为何值，正弦值恒大于0，小于1. 1三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做角A 的正切，记作tanA即tanA=角A 的对边/角A的邻边同样，在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA即sinA=角A的对边/角A的斜边同样，在RTABC中，如果锐角A确定，那么角A的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的余弦，记作cosA即cosA=角A的邻边/角A的斜边正弦函数的定义一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角的正弦函数，记作v=sin。通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为-1,1。相关公式平方和关系（sin）2+（cos）2=1积的关系sin=tancos（即sin/cos=tan）cos=cotsin（即cos/sin=cot）tan=sinsec (即tan/sin=sec)倒数关系tancot=1sincsc=1cossec=1商的关系si