分段函数与复合函数.doc

分段函数1.已知函数f（x）若f（f（0）4a，则实数a 2 .解析：f（0）=2，f（f（0）=f(2)=4+2a=4a，所以a=22. 已知函数，则A.4B. C.-4D-【答案】B【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.4.设函数，则的值域是（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。依题意知，5.若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。6.已知函数,则满足不等式的x的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。7.设函数则不等式的解集是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解8.设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】A B C D 解: 函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C. 9.若函数 则不等式的解集为_.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由. （2）由. 不等式的解集为，应填.10.设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A. B.C. D. C.答案:C.11.已知，是上的减函数，那么的取值范围是_12.函数的奇偶性是_13.若数列满足 ，且，=_14.设函数 ，若，则的取值范围是_(-，-1)（1，+）15.函数 为奇函数，则=_16.函数 的反函数是_17. 函数 值域是_18. 函数 ,若，且=_解析 玩转函数第十招 第10招：玩转分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.一、分段函数的定义域和值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例1求函数的定义域和值域二、分段函数的求值在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式例1、（辽宁理）设则_2、（2006山东）设则 A.0 B.1 C.2 D.33、 已知 ，若记为的反函数，且则 .4 、设 则 ( ） A. B. C. D.5、 已知则的值为 .三、分段函数的单调性例（2006北京理）、已知是上的减函数，那么的取值范围是 （A）（B）（C）（D）四、分段函数的图象 1.作出函数的图象 2. 函数的图象大致是 （ ）xy110Axy1-10Bxxyy111100CD 五、分段函数的反函数（2006年安徽卷）函数 的反函数是（ ）A B C D3xy0112-2六、分段函数的解析式1、在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为 （ ）ABCD2、（2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .3、已知函数是定义在R上的奇函数,且当求f(x)的解析式.七、分段函数的最值(2005上海高考题)对定义域分别是的函数.规定：函数（I）若函数，写出函数的解析式；（II）求问题（I）中函数的最大值；八、分段函数的奇偶性判断函数的奇偶性九、与分段函数有关的不等式问题1、设函数，则使得的自变量的取值范围是_2已知，则不等式的解集是_3、（山东理）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为(A)（1，2）（3，+）(B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）4、 设(x)=，使所有x均满足x(x)(x)的函数g(x)是（ ）A(x)=sinx B(x)=x C(x)=x2 D(x)=|x|十、分段函数与方程的根1、.函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足A.a0B.0a12、设定义为R的函数则关于的方程有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且3、设函数在上满足，且在闭区间上，只有. （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.十二、开放性自义分段函数 1. 定义在R的任意函数，都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，那么 （ ） A. ， B. ，C. D. .七、答案（I）（II）九、1（答：）；2（答：）浅析复合函数的定义域问题一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数，求若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域例2：若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0，函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是1，）例3：已知函数定义域是（a,b），求的定义域解：由题，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数的外函数，如果外函数的定义域不等于内函数的值域，那么就确定不了的最值或值域。例4：已知函数,求的值域。分析：令，； 则有，复合函数是由与复合而成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。 分析：因为定义域为或 令，；则，且 所以 ，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。 然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。2求有关复合函数的解析式，例6已知 求；已知 ，求例7已知 ，求； 已知，求要点3：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。例8已知是一次函数，满足，求；已知，求要点4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。二、练习：已知，求和解：令，设，令，设，已知，求分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。Key:；注：。三、总结：复合函数的构成；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2. 若函数，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 若函数的定义域为，则的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。答案：2、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：3、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：4、设，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为5、已知函数的定义域为，求的定义域。解析由已知，有（1）当时，定义域为；（2）当，即时，有，定义域为；（3）当，即时，有，定义域为.故当时，定义域为；当时，定义域为点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。（4）例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时，若，为增函数，为增函数.若，为减函数.为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1综上述，0a1或1a2例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。解析由已知，得，其中 即，解得为负整数，即 ，假设存在实数，使得满足条件，设，当时，为减函数，,当时, 增函数,.由、可知，故存在（5）同步练习：1函数y（x23x2）的单调递减区间是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：B2找出下列函数的单调区间.（1）；（2）答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。（2）单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）变式练习一、选择题1函数f（x）的定义域是（）A（1，）B（2，）C（，2）D解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D2函数y（x23x2）的单调递减区间是（）A（，1）B（2，）C（，）D（，）解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减答案：B3若2（x2y）xy，则的值为（）A4B1或C1或4D错解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：D4若定义在区间（1，0）内的函数f（x）（x1）满足f（x）0，则a的取值范围为（）A（0，）B（0，）C（，）D（0，）解析：因为x（1，0），所以x1（0，1）当f（x）0时，根据图象只有02al，解得0a（根据本节思维过程中第四条提到的性质）答案：A5函数y（1）的图象关于（）Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称解析：y（1），所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：C二、填空题已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_解析：a0且a1（x）2ax是减函数，要使y（2ax）是减函数，则a1，又2ax0a（0x1）a2，所以a（1，2）答案：a（1，2）7函数f（x）的图象与g（x）（）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）的单调递减区间为_解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）x则f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得0x2（x）2xx2在（0，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）上单调递减；（x）2xx2在（1，2）上单调递减，则f（x）在1，2）上单调递增所以f