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数学分析数学分析 数学分析数学分析 2 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 数学分析容易吗 数学分析很难学 理论抽象 逻辑性强 数学分析很重要 数学后续课程的基础 数学专业考研考博的必考内容 数学分析很简单 逻辑性强 数学分析数学分析 数学分析数学分析 3 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 数学分析与微积分 高等数学 数学分析 重理论分析 推导 计算 数学专业 微积分 重计算 经济管理类 高等数学 重计算 内容比微积分含量多 工科 数学分析数学分析 数学分析数学分析 4 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 数学分析学习方法 多做题 多记题 多看书 多总结 数学分析数学分析 数学分析数学分析 5 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 基本要求 作业每次都要做 每周交一次 每章讲完 要求大家写一份学习总结 数学分析数学分析 数学分析数学分析 6 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 实数 数学分析研究的是实数集上定义 的函数 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质 数学分析数学分析 数学分析数学分析 7 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 五 实数的稠密性 六 实数与数轴上的点一一对应 七 实数的绝对值与三角形不等式 三 实数的四则运算 四 实数的阿基米德性 一 实数的十进制小数表示 二 实数的大小 数学分析数学分析 数学分析数学分析 8 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 记号与术语 N 0 自然数集 包含自然数集 包含 R 实数集实数集 Z 整数集整数集 Q 有理数集有理数集 存在存在 R 负实数集负实数集 任意任意 R 正实数集正实数集 N 正整数集正整数集 数学分析数学分析 数学分析数学分析 9 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示 若若 012 R n xxa a aa 则 则 012 R n xxa a aa 则 则 2 1 9 2 1 0 N 0 naa n 其中其中 2 有限小数有限小数 k aaaax 210 0 k a其中其中又可表示为又可表示为 99 1 1210 kk aaaaax 9 1 1210 kk aaaaa 一 实数的十进制小数表示 数学分析数学分析 数学分析数学分析 10 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 若实数都用无限小数表示 则表达式是唯一的若实数都用无限小数表示 则表达式是唯一的 即即 若若 210 n aaaax 210 n bbbby 2 1 0 nbayx nn 则 用无限小数表示实数 称为 则 用无限小数表示实数 称为正规表示正规表示 742851 0 7 1 如 如 Q x x 可用循环十进制小数表示 可用循环十进制小数表示 3 Q Z 0 m x xm nn n 其中 其中 表示有理数集 表示有理数集 数学分析数学分析 数学分析数学分析 11 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1210pkkk aaaaaax 若反之 若反之 0 11 1 Q 1010110 pk kj i ipkjp ij a a xa 则则 n m x 若一般 若一般 1210pkkk aaaaaax 则则 np 其中 其中 4 无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数 3 1415926 如 如 1010010001 0 x 数学分析数学分析 数学分析数学分析 12 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 二 实数的大小 00 N ababn 或使 或使 11210210 nnnn babbbbaaaa而而 定义定义1 R x y 若 是正规的十进制小数表示 若 是正规的十进制小数表示 规定规定 yxyx 规定 规定 R x y R R xy 0 xy 规定规定 012 n yb b bb 012 n xa a aa 数学分析数学分析 数学分析数学分析 13 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 xy xy xy 实数的大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质 三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立 2 xyyzxz 若则 若则 即大小关系具有传递性即大小关系具有传递性 数学分析数学分析 数学分析数学分析 14 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 三 实数的四则运算 实数集实数集 R 对加 减 乘 除 除数不为对加 减 乘 除 除数不为 0 亦是 有理数集 亦是 有理数集 Q 对加 减 乘 除 除数不为对加 减 乘 除 除数不为 0 是 实数的四则运算与大小关系 是 实数的四则运算与大小关系 还满足还满足 1 R R x yxyxy 若则 若则 2 22112121 yxyxyyxx 则则 封闭的 封闭的 封闭的 封闭的 数学分析数学分析 数学分析数学分析 15 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 四 实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 R N a bnnba 使得 使得 理由如下 设理由如下 设 N 0210 kaaaaaa n 101 1 k ka则则 为第一个不为零的正整数 为第一个不为零的正整数 p b 210 n bbbbb 设 设 10 1 kp n令令 10 1 anb k 则则 数学分析数学分析 数学分析数学分析 16 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 例例1 1 0 N bnb n 若则使得 若则使得 1 b n 证证1 a 令由阿基米德性 令由阿基米德性 N 1nnb 使 即 阿基米德阿基米德 Archimedes 287B C 212B C 希腊希腊 数学分析数学分析 数学分析数学分析 17 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 五 实数的稠密性 之间 既有有理与任意两个不相等的实数之间 既有有理与任意两个不相等的实数ba 2 数又有无理数 必有另一个之间与任意两个不相等的实数 数又有无理数 必有另一个之间与任意两个不相等的实数 1ba 2 ba cc 例如实数 例如实数 证证 1N abn 若 则由例 存在使 若 则由例 存在使 2 11 ab n 数学分析数学分析 数学分析数学分析 18 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 的最大的正整数 是满足设的最大的正整数 是满足设a n k k 1 a n k 即 即 是则是则 n k n k2 1 21 b n k n k a 于是 于是 例例2 0 R bababa 则 对若 则 对若 证证 0 baba 设倘若 设倘若 ba则则 矛盾与矛盾与 ba 的无理数 的无理数 1 4 k ab nn 而是与之间而是与之间 ab与之间的有理数与之间的有理数 数学分析数学分析 数学分析数学分析 19 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 六 实数与数轴上的点一一对应 实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数轴上的点可建立一一对应关系 1 这种对应关系 粗略地可这样描述 这种对应关系 粗略地可这样描述 0 PP设是数轴上的一点 不妨设在 的右边若在设是数轴上的一点 不妨设在 的右边若在 0 1 nnan 整数与之间 则 整数与之间 则 1 1 n nPiai把十等分 若点在第 个区间 则 把十等分 若点在第 个区间 则 2 3 n an 类似可得到 类似可得到对应于令点这时对应于令点这时p 012 n aa aa 数学分析数学分析 数学分析数学分析 20 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 反之反之 任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点 2 实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的 完备性 我们将在后面有关章节中作进一步讨论 实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的 完备性 我们将在后面有关章节中作进一步讨论 数学分析数学分析 数学分析数学分析 21 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 七 实数的绝对值与三角形不等式 2 实数的绝对值性质实数的绝对值性质 0 0 0 1 aaaa时当且仅当时当且仅当 2 aaa 3 hahha hahha 0 0 aa aa a 1aa的绝对值实数定义为 的绝对值实数定义为 数学分析数学分析 数学分析数学分析 22 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 4 bababa 三角形不等式三角形不等式 5 baab 6 0 aa b bb 的证明 的证明 3 三角形不等式三角形不等式 bababa 得由得由 bbbaaa bababa baba 即 即 bbabbaa 又又 baba 即即 数学分析数学分析 数学分析数学分析 24 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 一 有界集 二 确界 三 确界的存在性定理 四 非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性 是本章学习的重点与难点 2 数集与确界原理 数学分析数学分析 数学分析数学分析 25 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 记号与术语 U axxaa 点的 邻域 点的 邻域 0 Uaxxaa 点的空心邻域点的空心邻域 0 Uaxxaa 点的 右邻域 点的 右邻域 0 Uaxaxa 点的 左邻域 点的 左邻域 UMxxMM 的邻域 的邻域 UMxxMM 的邻域 的邻域 UMxxMM 的邻域 的邻域 max SS数集的最大值数集的最大值 min SS数集 的最小值数集 的最小值 数学分析数学分析 数学分析数学分析 26 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 一 有界集 定义定义1 R SS设 设 1 R MxSxMM若使得则称为 若使得则称为 SS的一个上界 称为有上界的数集的一个上界 称为有上界的数集 2 R LxSxLL若使得则称为 若使得则称为 SS的一个下界 称为有下界的数集的一个下界 称为有下界的数集 S则称为有界集则称为有界集 3 S若既有上界又有下界若既有上界又有下界 0 MxSxM 其充要条件为使有 其充要条件为使有 数学分析数学分析 数学分析数学分析 27 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 SS 若不是有上界的数集 则称无上界 即若不是有上界的数集 则称无上界 即 00 R MxSxM 使得 使得 2 SS 若不是有下界的数集 则称无下界 即若不是有下界的数集 则称无下界 即 00 R LxSxL 使得 使得 3 SS 若不是有界的数集 则称无界集 即若不是有界的数集 则称无界集 即 00 0 MxSxM 使得 使得 数学分析数学分析 数学分析数学分析 28 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 0 R 1 2 1 MMxMM 若取若 若取若 1 0 2 1 M xMM 取 取因此因此 S 无上界无上界 证证 2LxSx n 则则故故 S 有下界有下界 取取 L 1 2 N n Sn 证明数集无上界 有下界 证明数集无上界 有下界例例1 例2例2 2 3 1 N 2 n Sn n 证明数集有界 证明数集有界 证证 22 333 1111 N 1 22222 nn n nnn S因此有界因此有界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 29 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 二 确界 R R 满足若设满足若设 SS定义定义2 sup SS 记为的上确界是则称记为的上确界是则称 i xSx ii 0 Sx 0 x 使得使得 若数集若数集 S 有上界有上界 则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界 而其 中最小的一个具有重要的作用 而其 中最小的一个具有重要的作用 最小的上界称为 上确界 最小的上界称为 上确界 同样同样 若若S 有下界有下界 则最大的下界称为下 确界 则最大的下界称为下 确界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 30 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 0 x x 注2注2 ii 显然 条件亦可换成 显然 条件亦可换成 00 xS x 0 0 注1 注1 条件条件 i 说明 是 的一个上界说明 是 的一个上界 条件条件 ii 说明说明S 比 小的数都不是 的上界 从而 是最小的上比 小的数都不是 的上界 从而 是最小的上S 界 即上确界是最小的上界 界 即上确界是最小的上界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 31 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 定义定义3R R SS 设若满足 设若满足 i xSx 00 ii xSx inf SS 记为的下确界是则称记为的下确界是则称 00 xS x 0 0 ii 下确界定义中的亦可换成下确界定义中的亦可换成注2 注1 注2 注1 由定义 下确界是最大的下界 由定义 下确界是最大的下界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 32 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 证证 先证先证 sup S 1 1 1 1 i n xSx 2 1 10 00 xSx 则取若 则取若 ii 1 设设 例例2 1 1 1 2 Sx xn n 设求证 设求证 0inf1sup SS 1sup S因此 因此 0 0 10 n 若则令由阿基米德性若则令由阿基米德性 00 00 11 1 1 xSx nn 使得令则使得令则 数学分析数学分析 数学分析数学分析 33 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 0inf S因此因此 0inf S再证再证 00 ii 0 0 xS x 0 1 1 i n xSx 以下确界原理也可作公理 不予证明 虽然我们定义了上确界 以下确界原理也可作公理 不予证明 虽然我们定义了上确界 但并没有证明上确界的 存在性 但并没有证明上确界的 存在性 这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集 而无限数集 不一定有最小值 而无限数集 不一定有最小值 例如例如 0 无最小值无最小值 数学分析数学分析 数学分析数学分析 34 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 三 确界存在性定理 证明略证明略 R SSSS 设若有上界 则必有上确界设若有上界 则必有上确界 定理定理1 1 确界原理确界原理 SS若有下界 则必有下确界若有下界 则必有下确界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 46 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 yxByAx 有有 满足为非空数集设满足为非空数集设BA例3例3 infsupBA 且且 证明 数集 证明 数集 A 有上确界 数集 有上确界 数集 B 有下确界 由定义 有下确界 由定义 上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界 因此因此 任意任意 证证 由假设 由假设 B 中任一数中任一数y 都是都是A 的上界 的上界 A 中的任 一数 中的任 一数x 都是都是B 的下界的下界 因此由确界原理因此由确界原理 A 有上确 界 有上确 界 B 有下确界有下确界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 47 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 例4例4 R中非空有上界的数集是设中非空有上界的数集是设S i R aSaxa xS 若定义则若定义则 sup sup SaSa ii R bbSbx xS若定义则若定义则 sup sup bSbS y B sup A y 这样这样 sup A 又是又是B 的一个下界的一个下界 而而 inf B 是最大的下界是最大的下界 因此因此 sup A inf B 数学分析数学分析 数学分析数学分析 48 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 证证 i aSax Sx 其中 其中 必有必有 supSx 于是于是 supaSax 0 0 Sx 对于对于 使使 sup 0 Sx从而从而 0 aSax 且且 sup 0 aSax 因此因此 sup sup aSaS 数学分析数学分析 数学分析数学分析 49 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 ii bSbx 其中其中 Sx 必有必有 supSx 于是于是 supSbbx 0 0 b 令 令则存在则存在 0 Sx 使使 0 sup xS 因此因此 0 supsup bxbSbbS 这就证明了这就证明了 sup sup SbbS 数学分析数学分析 数学分析数学分析 50 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 四 非正常确界 R i 1 aa规定规定 supN inf 2 N n n 例1例1 2 推广的确界原理推广的确界原理 非空数集必有上 下确界非空数集必有上 下确界 sup ii SS记无上界若记无上界若 inf SS记无下界若记无下界若 例例2 设数集设数集 1 R ABxA x 求证 求证 supinf0 AB的充要条件是的充要条件是 数学分析数学分析 数学分析数学分析 51 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 00 sup MAxA xM 1 令 则由于 1 令 则由于 00 1 xB x M 令于是 令于是 00 0 1 yAyM x 且 且 证 证 设设sup A若若 0 xB x 显然 显然 0 于是于是 00 0 1 yBy x 且 且 因此因此inf0 B 反之 若反之 若inf0 B 则则 0 M sup A因此因此 数学分析数学分析 数学分析数学分析 53 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 3 函 数 概 念 一 函数的定义 二 函数的四则运算 三 复合函数 四 反函数 五 初等函数 函数的概念 在中学数学中我们已有 了初步的了解 本节将作进一步的讨论 数学分析数学分析 数学分析数学分析 54 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 一 函数的定义 fDM xy DxxfyyDf 称为称为f 的值域 的值域 D 称为 称为 f 的定义域 的定义域 定义定义1 D与与M是是R中非空数集 若有对应法则中非空数集 若有对应法则f 使使 D内每一个数内每一个数x 都有惟一的一个数都有惟一的一个数y M与它相 对应 则称 与它相 对应 则称f 是定义在是定义在D上的函数 记作上的函数 记作 数学分析数学分析 数学分析数学分析 55 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 DxxfyyxG 称为称为f 的图象 的图象 注注1 函数由定义域 函数由定义域 D 和对应法则 和对应法则 f 二要素完全 决定 因此若给出函数的定义域和对应法则 二要素完全 决定 因此若给出函数的定义域和对应法则 也 就确定了函数 也 就确定了函数 它与自变量与应变量的符号无关它与自变量与应变量的符号无关 注注2 表示函数有多种方法 常见的有解析法 列 表法和图象法 解析法表示函数时 若没有特别指 明其定义域 则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体 即存在域 表示函数有多种方法 常见的有解析法 列 表法和图象法 解析法表示函数时 若没有特别指 明其定义域 则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体 即存在域 数学分析数学分析 数学分析数学分析 56 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 Qx Qx xD 0 1 例例2 狄利克雷函数狄利克雷函数 0 0 0 1 0 1 sgn x x x x 例例1 符号函数符号函数 O 1 1 x y 1 y x O 数学分析数学分析 数学分析数学分析 57 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 狄利克雷狄利克雷 Dirichlet P G L 1805 1859 德国德国 黎曼黎曼 Riemann B 1826 1866 德国德国 数学分析数学分析 数学分析数学分析 58 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 N 0 0 1 0 1 pp xp q qqq R x xxQ 当既约真分数 或 当既约真分数 或 例例3 黎曼函数黎曼函数 O0 20 40 60 81 0 2 0 4 0 6 x y 数学分析数学分析 数学分析数学分析 59 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 二 函数的四则运算 gf DgDf的定义域为函数的定义域为设函数的定义域为函数的定义域为设函数 1 fgfg fgDDD 的定义域为 的定义域为 fg xDDfgxf xg x 且 且 2 f gfg fgDDD 的定义域为 的定义域为 fg xDDfgxf xg x 且 且 3 f g f f DDD g 的定义域为 的定义域为 g Dx xD 其中 其中 0 g x 且 且 xg xf xDx g f g f 数学分析数学分析 数学分析数学分析 60 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 三 复合函数 fg fDgD设函数的定义域为函数的定义域为设函数的定义域为函数的定义域为 fg 复合函数的定义域为 复合函数的定义域为 f ggf Dx xDg xD 且则且则 f g xDfg xf g x 2 1 Rxx 的复合函数为 的复合函数为 1 2 xxgfy 例例4 0 f uu ug x 函数与函数函数与函数 1 1 gf D 其中其中 数学分析数学分析 数学分析数学分析 61 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 21 1 arcsin ln e e fg h xxD 2 2 ln arcsin 0 1 fhgxx D 21 21 2 4 arcsin ln e e g hfxxD 2 6 ln arcsin 1 0 0 1 h gfxxD 21 3 arcsin ln e e gfh xx D 2 5 ln arcsin 1 0 0 1 hfgxx D 1 6 k D k 其中是相应复合函数的定义域 其中是相应复合函数的定义域 2 arcsin ln f xxg xx h xx 设则设则例例5 数学分析数学分析 数学分析数学分析 62 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 四 反函数 yf DxD 惟一惟一 yxf 使使 11 fyfx 因此一般反函数记为 因此一般反函数记为 f fD若函数的定义域为满足若函数的定义域为满足 yf D 且且 1 f则存在函数则存在函数 1DfD f 1 fyxyx反函数表示式中是自变量是反函数表示式中是自变量是 注注 因变量 由于函数与自变量 因变量记号无关 因变量 由于函数与自变量 因变量记号无关 xf xyxD 其中是使的惟一的 其中是使的惟一的 1 xyf 数学分析数学分析 数学分析数学分析 63 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 例例6sh chxx双曲函数和定义如下 双曲函数和定义如下 11 sh ee ch e e R 22 xxxx xxx shRshxx在上严格增 因此有反函数 在上严格增 因此有反函数 1 ee e 2 xxx y 设得到的一元二次方程设得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得负舍 解得负舍 shyx 因此的反函数为 因此的反函数为 2 ln1 R yxxx 数学分析数学分析 数学分析数学分析 64 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 chRRx 因此在和的反函数分别为因此在和的反函数分别为 2 1 ln1 1 yxxx R 增 在上严格减 增 在上严格减 2 2 ln1 1 yxxx chRR 1 Rx 在和的值域均为在上严格 在和的值域均为在上严格 1 e e e 2 xxx y 设得到的一元二次方程 设得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得解得 数学分析数学分析 数学分析数学分析 65 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 定义定义1 以下六类函数称为基本初等函数以下六类函数称为基本初等函数 1 为常数常量函数为常数常量函数ccy 2 yx 幂函数为实数幂函数为实数 1 0 3 aaay x 指数函数指数函数 4 log 0 1 a yx aa 对数函数 对数函数 5 sin cos yxyx 三角函数 三角函数 cot tanxyxy 五 初等函数 数学分析数学分析 数学分析数学分析 66 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 sup 1 inf 01 r x r arQ rxa a arQ rxa 定义定义 1 0 aa定义定义2 arccos arcsin 6 xyxy 反三角函数反三角函数 arctan arccot yxyx 定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复 合运算所得到的函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复 合运算所得到的函数 称为初等函数称为初等函数 狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数 数学分析数学分析 数学分析数学分析 67 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 2 f x 和和g x 定义在定义在 a b 上上 是否一定存在某个区间是否一定存在某个区间 0000 aba bxabf xg x 使或 使或 00 xgxfbax 复习思考题 3 R x验证黎曼函数具有以下性质验证黎曼函数具有以下性质 0 R x 只有有限多个解只有有限多个解 1 函数函数f x 定义在定义在 a b 上 上 f a 0 f b 1 0 1 是否一定都在 是否一定都在 f 的值域的值域f a b 之中 之中 数学分析数学分析 数学分析数学分析 68 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 4 具有某些特性的函数 一 有界函数 本节将着重讨论函数的有界性 单 调性 奇偶性与周期性 四 周期函数 三 奇函数与偶函数 二 单调函数 数学分析数学分析 数学分析数学分析 69 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 一 有界函数 定义定义1 设设f 定义在定义在D上上 R MxD f xMfD 若则称在上有上界 若则称在上有上界 R LxD f xLfD 若则称在上有下界 若则称在上有下界 R MxD f xMfD 若则称在上有界 若则称在上有界 上既有上界又有下界在上有界在易证上既有上界又有下界在上有界在易证DfDf 00 R MxD f xMfD 若则称在上无上 若则称在上无上 界 界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 70 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 00 R MxD f xMfD 若则称在上无界 若则称在上无界 tan 0 2 f xx求证在上无上界 有下界 求证在上无上界 有下界 例例1 0 2 上有下界上有下界 0 R arctan 1 MxM令令 0 2 上无上界上无上界 0 0 2 Lxf xL 则 则 证证在因此在因此f 00 0 tan1 2 xxMM则且 则且 在因此在因此f 00 R LxD f xLfD若则称在上无下界 若则称在上无下界 数学分析数学分析 数学分析数学分析 71 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 sup xgxg sup sup f x g xf xg x 因此因此 sup sup xf xg x由的任意性 可知由的任意性 可知 的一个上界是的一个上界是xgxf sup sup supxgxfxgxf DxDxDx 因此因此 sup xDf xf x 证证 sup sup sup xgxfxgxf DxDxDx 求证求证 fxg xD设函数是上的正值有界函数设函数是上的正值有界函数例例2 数学分析数学分析 数学分析数学分析 72 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 例例3 f xg xD设在上有界 证明 设在上有界 证明 inf inf sup x Dx D x D f xg xf xg x 证证 00 0 inf x D xD f xf x 0 sup x D g xg x 又故 又故 00 inf sup x D x D f xg xf xg x 因此因此 00 inf x D f xg xf xg x inf sup x D x D f xg x 数学分析数学分析 数学分析数学分析 73 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 二 单调函数 1212 x xDxx若当时若当时 12 i f xf xfD有则称为上的增函数 有则称为上的增函数 12 f xf xf特别有时 称为严格增函数特别有时 称为严格增函数 12 ii f xf xfD有则称为上的减函数 有则称为上的减函数 12 f xf xf特别有时 称为严格减函数特别有时 称为严格减函数 上的函数是定义在设上的函数是定义在设Df定义定义2 数学分析数学分析 数学分析数学分析 74 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 证证 1 211 Ryxyy y 由在上为正值严格增 可知 由在上为正值严格增 可知 f xg x不难知道 若和是正值严格增的 则不难知道 若和是正值严格增的 则 f x g x也是正值严格增的 也是正值严格增的 例例4 21 21 N R n n nyx 任意在上严格增 任意在上严格增 2 2 RR n n yx在上严格增 在上严格减 在上严格增 在上严格减 11 R nn yy y 上为正值严格增 可知在上亦正值 上为正值严格增 可知在上亦正值 R在上亦正值严格增 由归纳法 若已证在上亦正值严格增 由归纳法 若已证 R n y在 严格增 在 严格增 数学分析数学分析 数学分析数学分析 75 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1221 0 0 xxxx 若则于是 若则于是 222121 2121 nnnn xxxx 222121 21212 R nnnn n xxxxy即 这就证明了在即 这就证明了在 21 R n y上严格减 而在上严格增 上严格减 而在上严格增 1212 00 xxxx 若或则 若或则 21212121 1212 00 nnnn xxxx 或 或 21 R n y 这证明了在上严格增 这证明了在上严格增 数学分析数学分析 数学分析数学分析 76 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 R yx 易证函数在上是增函数 但非严格易证函数在上是增函数 但非严格例例5 增 增 x y O 1 1 1 1 2 2 2 2 34 3 数学分析数学分析 数学分析数学分析 77 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 上也是严格在其定义域且有反函数上也是严格在其定义域且有反函数 11 Dfff 增函数增函数 yf xxDf 设为严格增函数 则必 设为严格增函数 则必定理定理1 2 11 fff 类似地 严格减函数必有反函数且在其类似地 严格减函数必有反函数且在其 定义域上也是严格减函数定义域上也是严格减函数 xDf xy 使使 fDyf D设在上严格增 则设在上严格增 则 证证只有一个只有一个 1212 xxf xyf x 事实上 若使 事实上 若使f则与则与 数学分析数学分析 数学分析数学分析 78 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 1 f 的严格增性质相矛盾再证必是严格增的的严格增性质相矛盾再证必是严格增的 2121 yyDfyy 1212 yyfxx 由于及的严格增性 必有即 由于及的严格增性 必有即 11 1122 xfyxfy 111 12 fyfyf 因此也是严格增函数 因此也是严格增函数 n y因此的反函因此的反函 R n n yx 由于在上严格增 由于在上严格增 例例6 R r n ryx m 在上亦为严格增 在上亦为严格增 1 R n n zx 数在上严格增 故对任意有理数 数在上严格增 故对任意有理数 数学分析数学分析 数学分析数学分析 79 河南财经政法大学数学与信息科学系2012 09 29 01 R a 时 在上严格减 时 在上严格减 121122 r rQxrrx 使因此 使因此 112 1 sup xrrr aa rQ rxaa 2 2 sup xr a rQ rxa 1 R x yaa 证明 当时 在上严格增 当 证明 当时 在上严格增 当例例7 1212 1 axxxxQ 设由的稠密性 设由的稠密性 证证 01 R x aa 类似可证当时 在上严格减 类似可证当时 在上严格减