大学基础物理学答案(习岗)第10章.doc

第十章 量子物理基础第十章 量子物理基础本章提要1 光的量子性 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。 在任何温度下都能全部吸收照射到其表面上的各种波长的光（电磁波），的物体称为绝对黑体，简称黑体。 单位时间内从物体单位表面积发出的、波长在附近单位波长间隔内电磁波的能量称单色辐射本领（又称单色辐出度），用表示 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率称为辐射出射度，用则M表示，与的关系为 2 维恩位移定律在不同的热力学温度T下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长， T和满足如下关系：其中，b是维恩常量。该式称维恩位移定律。3 斯忒藩玻尔兹曼定律 黑体的辐射出射度与温度T的关系为其中，为斯忒藩玻尔兹曼常量。该结果称斯忒藩玻尔兹曼定律。 对于一般的物体称发射率。4 黑体辐射 能量子假说：黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率成正比，满足条件，其中n1，2，3，等正整数，h为普朗克常数。这种能量分立的概念被称为能量量子化，每一份最小的能量称为一个能量子。 普朗克黑体辐射公式（简称普朗克公式）为其中，是普朗克常量。由普朗克公式可以很好地解释黑体辐射现象。 光子假说：光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。一个光子具有的能量为动量为 5 粒子的波动性 实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E、动量p与和它相联系的波的频率、波长l满足关系这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。 和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，物质波是一种表明粒子在空间概率分布的概率波。 位置不确定性越小，则同方向上的动量不确定性越大；也就是说，粒子位置限制的越准确，则动量就越不能准确地确定，这个结论叫做不确定关系。其数学表达为时间和能量的不确定关系为6 薛定谔方程及其应用 微观粒子的运动状态需要用概率波来描述，概率波的数学表达称为波函数，通常以表示。一般来说，是空间和时间的函数，即。 表示粒子出现在单位体积内的概率，又称概率密度，其满足归一化条件，即 描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系称为薛定谔方程。定态薛定谔方程的非相对论形式为其中，m为粒子的质量，U为粒子在外力场中的势能函数，E是粒子的总能量。 在无限深方势阱中的粒子能量为 由此可知，粒子能量只能取离散值，称能量量子化，整数n称为量子数。每一个可能的能量值称为一个能级。 在有限势垒的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做隧道效应。7 电子运动状态量子力学给出的原子中电子的运动状态由四个量子数决定： 主量子数nn的取值为、2、3、，表示能量是量子化的，它决定了波函数的径向分布，也决定了原子能量的大小。 角量子数l角量子数的取值为l = 0、1、2、（n1），它表明电子绕核运动的角动量是量子化的。l值不同表明电子云绕核转动的情况不同，一般说来，主量子数n相同，而角量子数l不同的电子，其能量也稍有不同。 磁量子数磁量子数的取值为0、1、2、l，它表明电子绕核运动的角动量在外磁场中的指向是量子化的。由于对于一定的角量子数l，ml 可取(2l+1)个值。因此，角动量在空间的取向有(2l+1)种可能，这个结论叫角动量的空间量子化。 自旋磁量子数自旋磁量子数的取值为，它决定电子自旋角动量矢量在外磁场中的指向。由于它只能取两个值，因此，电子自旋角动量的空间取向只有两个。思考题10-1 什么是黑体？为什么从远处看山洞口总是黑的？答：在任何温度下都能全部吸收外来各种波长的光（电磁波）的物体称为绝对黑体，简称黑体。山洞形成一个空腔，当光从洞口射入山洞后，经过洞壁的多次反射很难再射出洞口。因此，山洞形成了一个绝对黑体，从远处来看，山洞口总是黑的。10-2 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩定律估算人体的电磁辐射中，单色辐出度的最大波长是多少？答：根据维恩位移定律可得将人体正常体温的最高值37带入上式，可算出人体电磁辐射中对应于最大的单色辐出度的波长值为m。10-3 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？答：可见光的波长范围为400700nm，根据一般物体的能量相对较低，相应的波长较长，超出了可见光400700nm的波长范围。因此，人的肉眼看不见黑暗中的物体。10-4请用日常生活中所见到的例子说明在物体热辐射的各种波长中，单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小？答：火焰外焰温度较高，内焰相对温度较低。当观察火焰时，内焰的颜色偏红，外焰的颜色偏蓝，由此可以说明单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小。10-5 普朗克提出了能量量子化的概念。在经典物理学的范围内，有没有量子化的物理量，请举出例子。答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如，电荷的电量是量子化的。10-6 什么是爱因斯坦的光量子假说，光子的能量和动量与什么因素有关？答：爱因斯坦认为，一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，后来简称光子。不同颜色的光的光子能量不同。若光的频率为，一个光子具有的能量为，光子的动量为，这就是爱因斯坦的光量子假说。由此可见，光子的能量和动量与光的波长和频率有关。10-7 “光的强度越大，光子的能量就越大。”这句话对吗？答：不对。光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。当频率一定时，光的强度只与光子的数目有关。光的强度越大说明光子数越多，而不能说明光子的能量就越大。10-8 什么是康普顿效应？答：当X射线通过物质向各个方向散射时，在散射的X射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。10-9 什么德布罗意波粒二象性假设？答：实物粒子也具有波动性，一个实物粒子的能量E、动量p与和它相联系的波的频率、波长l的关系为 这就是德布罗意波粒二象性假设。与实物粒子相联系的波称德布罗意波，这两个关系称为德布罗意公式（或假设）。10-10 日常生活中，为什么觉察不到粒子的波动性和电磁辐射的粒子性？答：根据德布罗意假设，粒子的动量越大，相应的波长越小。日常生活中所能接触到的粒子的动量较大，粒子的波长很小，粒子的波动性不明显。而电磁辐射的波长相对较长，容易绕过障碍物。所以，电磁辐射的波动性很明显，而其粒子性很难察觉到。10-11 如果一个粒子的速率增大了，它的德布罗意波长是增大还是减小？答：由于粒子的动能为 将德布罗意公式带入得 由此可见，速度增大时，动能增大，德布罗意波的波长将减小。10-12 一个电子和一个原子具有相同的动能，谁的德布罗意波长较大？答：电子和原子的动能均为又由德布罗意公式得由于电子的质量大于原子的能量，因此，电子的德布罗意波长小于原子的德布罗意波长。10-13 什么是不确定关系？ 答：不确定关系是指微观粒子不能同时具有确定的位置和确定的动量，它是微观粒子的基本特征。10-14 在经典力学中，用粒子的位置和速度来描述其运动状态。在量子力学中如何描述粒子的运动状态？答：在量子力学中，微观粒子的运动状态用概率波的波函数来描述。概率波的数学表达称为波函数，通常以表示，其运动方程为薛定谔方程。一般来说，是空间和时间的函数，即 10-15 在一维无限深势阱中，如果减小势阱的宽度，粒子的能级将如何变化？如增大势阱的宽度，粒子的能级又将如何变化？答：一维无限深的方势阱中粒子的可能能量为式中，a为势阱宽度。由此关系可知，E与a2成反比关系。所以，若减小势阱的宽度a，粒子能级所对应的能量将增加；反之，若增大势阱的宽度a，粒子能级所对应的能量将减小。练习题10-1 若将星球看成绝对黑体，利用维恩位移律，通过测量lm便可估计其表面温度。现测得太阳和北极星的lm分别为510nm和350nm，试求它们的表面温度和黑体辐射出射度。解：（1）根据维恩位移定律其中，。将其变形得带入数据可解出太阳和北极星的的表面温度分别为（2） 根据斯忒潘玻尔兹曼定律其中，。将前述解得的太阳和北极星的的表面温度带入可得太阳和北极星的黑体辐射出射度分别为10-2 天狼星的温度大约是11000K。试由维恩位移定律计算其辐射峰值的波长。解：由维恩位移定律可得已知天狼星的温度为11000K，并考虑到， 由此可解得天狼星的峰值波长为10-3 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量I0称为太阳常量，实验测得I01.5kW/m2。把太阳近似当作黑体，试由太阳常量估算太阳的表面温度。已知太阳的平均直径为，地球到太阳的距离为。解：设太阳的表面积为，把太阳近似当作黑体，太阳的辐射出射度为，地球大气层外表面的表面积为，则根据能量守恒，有即其中，为太阳的平均半径，为地球到太阳的距离。将斯忒潘玻尔兹曼定律带入上式，整理后得将、I01.5kW/m2、/2 m、m带入可得10-4 如果当人的眼睛接收550nm的可见光时，只要每秒接受100个光子就会产生光的感觉。那么，与此相当的光功率是多少？解：由于每个光子的能量为，其中。则波长为550nm的100个光子的光功率为10-5 （1）广播天线以频率1MHz、功率1kW发射无线电波，试求它每秒发射的光子数；（2）利用太阳常量I01.3kW/m2，计算每秒人眼接收到的来自太阳的光子数（设人的瞳孔面积约为,光波波长约为550nm）。解：（1）设光子数为n，每个光子的能量为，广播天线发射的无限电波的功率为由此可得广播天线每秒发射的光子数为（2） 设人眼的瞳孔面积为S，每秒人眼接收到的来自太阳的光子数为n,则 于是10-6 一束带电量与电子电量相同的粒子经过206V电压加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm，试求粒子的质量。解：经过电压U加速后的带电粒子的动能为又由德布罗意公式由该两式可解得将已知数据带入上式可解出10-7 电子位置的不确定量为时，其速率的不确定量为多少？（电子的质量为）解：由于电子动量的不确定量为 将其带入不确定关系，可得则速率的不确定量为10-8 一个质量为40g的子弹以的速率飞行。求（1）其德布罗意波长；（2）若子弹位置的不确定量为0.10mm，求其速率的不确定量。解：（1）根据德布罗意公式可得子弹的德布罗意波波长为:（2） 由不确定关系，即可得10-9 试证：如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确定量大于或等于其速度。证明：由不确定关系可得由题意可知将其代入不确定关系可得再考虑到德布罗意公式，可得即证毕。10-10 试证明自由粒子的不确定关系式可写成，其中为自由粒子的德布罗意波长。证明: 根据德布罗意公式将其两端微分，可得由于只考虑变化量的大小，故可略去负号，得将此代入不确定关系，可得 即证毕10-11 热中子平均动能为。试问当温度为300K时，一个热中子的动能为多大？相应的德布罗意波长是多少？解：（1）微观粒子的平均动能为，其中k为玻尔兹曼常数（2） 由于，由此可解出将其带入德布罗意公式，可得10-12 设电子和光子的波长均为0.50 nm，试求两者的动量及动能之比。解：（1）根据德布罗意公式由于电子和光子的波长相等，两者的动量及动能之比即为 （2） 由于光子的动能为电子的动能为两者的动能之比为带入数据得10-l3 物理光学的一个基本结论是：在被观测物小于所用照射光波长的情况下，任何光学仪器都不能把物体的细节分辨出来。这个结论对电子显微镜中的电子德布罗意波同样适用。因此，若要研究线度为0.020mm的病毒，用光学显微镜是不可能的。然而，电子的德布罗意波长约比病毒的线度小1000倍，用电子显微镜可以形成非常好的病毒的像，问这时电子所需要的加速电压是多少？解：经过电压U加速后,带电粒子的动能为又根据德布罗意公式解得将已知数据带入可得10-14 设粒子在x轴运动时速率的不确定量为。估算下列情况下坐标的不确定量Dx：（1）电子；（2）质量为的布朗粒子；（3）质量为10-4kg的小弹丸。解：由不确定关系可得（1） 电子坐标的不确定量Dx为（2） 质量为的布朗粒子坐标的不确定量Dx为（3）质量为10-4kg的小弹丸坐标的不确定量Dx为10-15 作一维运动的电子，其动量的不确定量。能将这个电子约束在内的最小容器的大概尺寸是多少?解：已知动量的不确定量，设能约束住电子的最小容器的大概尺寸为，由不确定关系可得 10-16 已知原子的电离能为13.60 eV，一个能量为15.20eV的光子被氢原子中的基态电子吸收而形成一个光电子。试求该光电子远离氢原子核时的速度及其德布罗意波长。解：（1）光电效应方程为可得电子远离氢原子核时的速度为（2） 根据德布罗意公式可得电子的德布罗意波长为10-17 设有一个电子在宽度为0.20nm的一维无限深方势阱中。（1）计算电子在最低能级的能量；（2）当电子处于第一激发态（n=2）时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？ 解：（1）由于在一维无限深方势阱中粒子的可能能量为其中，a为势阱宽度。当量子数n1时，粒子处于基态，能量最低。此时能量为 （2）由于粒子在无限深势阱中的波函数为相应的概率密度为当时出现极值。因此，将上式求导数，令其为零，可解得出现极值时满足 当电子处于第一激发态时， n2，将其代入上式，再考虑到电子运动的范围，可知当x=0、a/4、a/2、3a/4、a时，