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1 基础物理学基础物理学基础物理学基础物理学 习题解答习题解答习题解答习题解答 配套教材 基础物理学 韩可芳主编 韩德培 熊水兵 马世豪编委 湖北教育出版社 1999 作者 华中师范大学物理学院 李安邦 杨利建 周爱芝 等 本文档中的习题解答可能存在不完善之处 请读者注意自行辨别 请请请请注意注意注意注意 保保保保护护护护作作作作者者者者版版版版权权权权 禁禁禁禁止止止止上上上上传传传传到到到到 百百百百度度度度文文文文库库库库 之之之之类类类类的的的的网网网网站站站站 第三篇第三篇第三篇第三篇 波动和波动光学波动和波动光学波动和波动光学波动和波动光学 第九章第九章第九章第九章 振动和波动基础振动和波动基础振动和波动基础振动和波动基础 思考题思考题思考题思考题 9 1 符合什么规律的运动是简谐振动 简谐振动的特征量由什么决定 答答答答 某一物理量在某一量值值附近随时间作周期性往复变化的运动是简谐运动 或者是描述系 统的物理量 遵从微分方程 2 2 2 dt d 则该系统的运动就是简谐运动 其特征量为振 幅 由初始状态决定 频率 由做简谐振动系统的物理性质决定 和初相位 由振动的初 始状态决定 9 2 说明下列运动是不是谐振动 1 完全弹性球在硬地面上的跳动 2 活塞的往复运动 3 如本问题图所示 一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动 设 小球所经过的弧线很短 4 竖直悬挂的弹簧上挂一重物 把重物从静止位置拉下一段 距离 在弹性限度内 然后放手任其运动 5 一质点做匀速圆周运动 它在直径上的投影点的运动 6 小磁针在地磁的南北方向附近摆动 答答答答 简谐振动的运动学特征是 振动物体的位移 角位移 随时间按余弦或正弦函数规律变 化 动力学特征是 振动物体所受的合力 合力矩 与物体偏离平衡位置的位移 角位移 成正比而反向 从能量角度看 物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动 所以 1 不是简谐运动 小球始终受重力 不满足上述线性回复力特征 2 不是简谐振动 活塞所受的力与位移成非线性关系 不满足上述动力学特征 3 是简谐振动 小球只有在 小幅度 摆动时才满足上述特征 4 是简谐振动 思考题思考题思考题思考题 9 2 图图图图 2 5 是简谐振动 因为投影点的方程符合物体的位移 角位移 随时间按余弦或正弦 函数规律变化 6 小磁针只有在小幅度摆动时才满足上述特征 是简谐振动 在大幅度摆动时不满 足上述特征 9 3 一弹簧振子由最左位置开始摆向右方 在最左端相位是多少 过中点 达右端 再回 中点 返回左端等各处的相位是多少 初相位呢 若过中点向左运动的时刻开始计时 再回 答以上各问 答答答答 此题需检查此题需检查此题需检查此题需检查 以中点处为原点 向右方向为正方向建立坐标系对弹簧振子的运动进行描述 由最左位 置摆向右方为计时起点 则在最左端相位是 过中点时的相位为 2 达右端时为 0 再 回中点时为 2 返回左端为 初相位是 若过中点向左运动地时刻开始计时 则过中 点时的相位为 2 达最左端时为 0 再回中点时为 2 达最右端时为 返回中点时为 2 3 初相位是 2 9 4 同一弹簧振子 当它在光滑水平面上做一维谐振动和它在竖直悬挂情况下做谐振动 振动频率是否相同 如果它放在光滑斜面上 它是否还做谐振动 振动频率是否改变 如果 把它拿到月球上 频率又有什么变化 答答答答 此题需检查此题需检查此题需检查此题需检查 根据公式 2 振动频率只与 有关 而对于弹簧振子 m k 因此 取决于 弹簧的弹性系数 k 和物体质量 m 同一弹簧振子在光滑水平面上做一维谐振动和在竖直悬挂 情况下做谐振动时 平衡位置不同 而弹簧的弹性系数 k 和物体质量 m 不变 因此这两种 情形下的振动频率相同 如果把它放在光滑斜面上 同样 只是平衡位置不同 而弹簧的弹 性系数 k 和物体质量 m 不变 所以它仍然会做谐振动 振动频率也不会改变 如果把它拿 到月球上 虽然月球上的重力加速度与地球上不同 但是 与之无关 而且弹簧的弹性系 数 k 和物体质量 m 不变 所以频率也不会发生变化 9 5 做谐振动的弹簧振子 当其 1 通过平衡位置时 2 达到最大位移时 速度 加速 度 动能 弹性势能中 哪几个达到最大值 哪几个为零 答答答答 1 当弹簧振子通过平衡位置时 速度和动能达到最大 加速度和弹性势能为零 2 达到最大位移时 加速度和弹性势能最大 速度和动能达到最大 9 6 受迫振动的频率与强迫力的频率相同 相位是否相同 从相位看 共振应发生在何值 答答答答 受迫振动的相位与强迫力的相位不同 存在有相位差 见教材 p19 页 9 30 式 从相位 来看 发生共振时相位差为 2 即共振时 的相位比外部驱动作用的相位落后 2 或者 说 dt d 与驱动作用同相 因而在发生共振时 外界总对系统做正功 促使振幅急剧增加 3 9 7 什么是波动 振动和波动有什么区别和联系 波动曲线与振动曲线有什么不同 答答答答 波动是振动状态的传播过程 波动的产生要有激发波动的振动系统 即波源 振动是原 因 波动是结果 波传播过程中各点的振动频率都应与波源频率相同 振动具有一定的能量 波动过程伴随能量的传播 波动曲线是一个点自波源由近及远传播 振动曲线是表示一个点 在最大位移处与平衡位置处的振动 波动曲线的横轴为波传播的位移 振动曲线横轴为振动 的时间 9 8 试判断下面几种说法 哪些是正确的 哪些是错误的 1 机械振动一定能产生机械波 2 质点振动的速度和波的传播速度是相等的 3 质点振动的周期和波的周期数值是相等的 4 波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上 答答答答 1 错误 还需要弹性媒质 2 错误 波动的速度由媒质的性质决定 两者没有必然的联系 3 对 4 不一定 9 9 什么是波长 波的周期和频率 波速 它们之间有什么关系 它们各由什么决定 答答答答 波长反映波动的空间周期性 定义为同一波线上两个相邻的 相位差为 2 的振动质点 之间的距离 或者是相邻的两个同相质点之间的距离 波速描述振动状态传播快慢程度的物 理量 定义为振动状态在单位时间内所传播的距离周期和频率反映了波动的时间周期性 定 义为 波传播一个波长所需要时间 叫周期 用 T 表示 周期的倒数叫做频率 用 表示 它们之间的关系式为 Tu 波速由传输媒质的性质决定 周期和频率由波源 的性质决定 波长由波速和周期决定 9 10 波 动 方 程 v x tAycos 中 v x 表 示 什 么 如 果 把 它 写 成 v x tAycos 则 v x 又表示什么 答答答答 x 表示振动状态从振源传播到某点需要的时间 x 表示振动状态从振源传播到某点 相位的变化 9 11 关于波长的概念有三种说法 试分析它们是否一致 1 同一波线上 相位差为 2 的两个振动质点之间的距离 2 在同一个周期内 振动所传播的距离 3 横波的两个相邻波峰 或波谷 之间的距离 纵波的两个相邻密部 或疏部 对应点 之间的距离 答答答答 三种说法一致 1 首先用波函数 2cos x tAtxy来分析 同一波上两 质点 x1 x2其相位分别为 1 1 2 x t 2 2 2 x t 所以相位差为 2 即 4 1 21 xx 的两质点间的距离为 2 在一个周期 振动的质点其位相差为 2 和 1 一 致 3 中只要将某时刻的波形图作出 很显然 相邻的波峰 谷 纵波的相邻密部 疏 部 对应点其相位差为 2 和 1 3 是一致的 9 12 试讨论波动能量的传输过程 比较波动能量与振动能量 答答答答 由于波动中 传播出去的是介质质元的振动状态和能量 但质量元并未传播出去 而是 在各自的平衡位置做往复的振动 由于介质质量元之间的弹性相互作用 质元振动状态和能 量才能传播出去 也正是由于介质元之间的相互作用使它们不是孤立系统 因而其振动能量 特征与孤立谐振子的振动能量不同 振动能量是振动系统的机械能 对于简谐振动 振动能 量 2 2 1 kAEEE Pk 是个恒量 波的能量是指介质元振动时的动能与因形变而具有的 势能之和 动能和势能随时间和位置作同步的周期性的变化 波的能量在介质中是连续分布 的 因而用能量密度 单位体积介质具有的能量 来反映能量的分布 能量密度随时间和位置 周期性变化说明能量是随着波的传播而传播的 9 13 振荡电偶极子辐射的电磁波有什么特点 直线型振荡电路有什么优点 答答答答 此题需检查此题需检查此题需检查此题需检查 振荡电偶极子所辐射的电磁波是球面波 但是在离电偶极子很远的地方 则可以看成是平面 波 直线型振荡电路的优点是振动频率高 辐射能量大 9 14 产生波的干涉的条件是什么 两波源发出振动方向相同 频率相同的波 当它们在空 中相遇时 是否一定发生干涉 为什么 两相干波在空间某点相遇 该点的振幅如果不是最 大值 是否一定是最小值 答答答答 波的相干条件是频率相同 振动方向相同和相位差恒定 两波源发出振动方向相同 频 率相同的波 在空间相遇时不一定发生干涉现象 因为 1 两列波在相遇点引起的振动的相 位差不能保持恒定时 相遇区域没有稳定的强弱分布 不发生干涉现象 2 若两列波振幅 差别很大 相遇区域强弱分布不显著 也观察不到干涉现象 9 15 如果两波源所发出的波振动方向相同 频率不同 则它们在空间相遇叠加时 两波在 相遇点的相位差与哪些因素有关 叠加后空间各点的振幅是否稳定 答答答答 相遇点的相位差与两波源的初相位 波源到相遇点的距离 波源的频率以及波速 距离 和波速还决定了传播时间 有关 由于这两个波源的频率不同 因此相位差随时间变化 从 而叠加后振幅不稳定 9 16 驻波中各质元的相位有什么关系 为什么说相位没有传播 在驻波中任意两相邻波 节之间各点振动的振幅 频率 相位是否相同 在一波节两边的点又如何 答答答答 驻波中 相邻两波节间各质元的振动相位相同 同一个波节两侧各质元振动的相位相反 驻波实际上是一种分段振动现象 驻波不象行波那样沿波线后一质元重复前一质元的振动 所以驻波的相位不向前传播 补充问题补充问题补充问题补充问题 驻波和行波有什么区别 驻波中各质元的位相有什么关系 为什么说位相没有传 5 播 驻波中各质元的能量是如何变化的 为什么说能量没有传播 驻波的波形有何特点 解解解解 行波是振动在媒质中传播 波的传播过程有波形 位相及能量的传播 驻波的特征如下 1 波形驻定 位移恒为零的点是波节 位移恒最大处是波腹 相邻两波节 或波腹 之间的距离等于 2 没有波形的传播 2 位相驻定 相邻两波节之间的质点的振动位相相同 同起同落 一个波节两侧 的质点的振动位相相反 此起彼落 故没有位相的传播 3 驻波的能量被限制在波节和波腹之间长度为 4 的小区段中 动能和势能相互转 化 其总量守恒 因此能量没有传播 9 17 如何理解 半波损失 答答答答 当波从波疏介质射入波密介质 在介面上发生反射时 就会产生 的相位突变 由于位 相差与波程差的关系为 2 意味着波程相差 2 即波在反射点处 如同 多或少传播了半个波长的距离 这就是为什么称这种相位突变为半波损失的原因 习习习习 题题题题 9 1 质量为 10 10 3kg 的小球与轻弹簧组成的系统 按 3 2 8cos1 0tx 的规律做 振动 式中 t 以秒计 x 以米计 1 求 振动的圆频率 周期 振幅 初相以及速度和加速度的最大值 2 求 最大回复力 振动总能量 平均动能和平均势能 3 t 1 2 5 10s 等各时刻的周相各是多少 4 分别画出这振动的 x t v t 和 a t 图线 5 画出这个振动的旋转矢量图 并在图中指明 t 1 2 5 10s 等各时刻的矢量位置 解解解解 1 rad s8 s25 0 2 T mA1 0 3 2 0 3 2 8sin1 08 t dt dx v m s512 21 08 max v 3 2 2 2 2 8cos4 6 t dt xd a 22 max m s1 631 064 a 2 232 3 2 8sin 8 0 1010 2 1 2 1 tmvEk 232 maxmax 8 0 1010 2 1 2 1 kAEE Pk 2 64 0 k 222 3 2 8cos 1 0 8 0 1 0 2 1 2 1 tkxEP kxF 最大回复力NxkF63 01 064 0 2 maxmax 6 总能量 2232 1016 3 8 0 1010 2 1 2 1 kAEEE Pk sin 2 1 222 tAmE k 222 kk 00 111 dtsin dt 2 TT EEmAt TT 22 4 1 Am J 22 1058 1 1 0 4 1 23 81010 2 pp 00 111 dd 2 TT EEtkxt TT T dttkA T 0 22 cos 2 11 T dtt T kA 0 22 cos 1 2 1 J k 22 1058 1 2 1 EkA 3 Q 3 2 8 t 3 26 3 2 8 1 3 50 3 2 16 2 3 122 3 2 40 5 3 242 3 2 80 10 4 x t v t a t 图如下所示 x 0 12 0 07 0 02 0 03 0 08 00 10 20 30 40 5 t 3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 0 00 10 20 30 40 5 v t 80 60 40 20 0 20 40 60 80 00 10 20 30 40 5 t a 5 该振动的旋转矢量图如下所示 7 9 2 一个沿 OX 轴做简谐振动的弹簧振子 振幅为 A 周期为 T 其振动方程用余弦函数表 示 如果在 t 0 时 质点状态分别为 1 x0 A 2 过平衡位置向正方向运动 3 过 x A 2 处向负方向运动 4 过 x A 2 处向正方向运动 试求出相应的初相之值 并写出振动方程 解解解解 其振动方程为 2 cos t T Ax 在 t 0 时 质点状态为 1 Ax 0 则 cosAA 2 cos t T Ax 2 过平衡位置时 0 0 x 则0cos A 2 或者2 3 因为其向正方向运 动 0 v 0sin Axv 2 最大电流 sin 0 tQI 10 00 102 1 CVQ库 0 t时 0 I 0 7 10566 0 1 LC 可得电流的表达式为 sin 0 tQI 3 0max 10679 0 QI A 3 电场能量的表达式为 10566 0 cos106 0 2 cos 2 7210 2 0 2 t C tQ C Q we 4 磁场能量 10566 0 sin106 0 10566 0sin 102 110566 0 2 1 2 7210 27107 2 t tL LI wm 10 电场能量和磁场能量和为初始电场能量 C Q ww me 2 106 2 0 11 9 6 一轻弹簧下挂一质量为 0 1kg 的磕码 砝码静止时 弹簧伸长 0 05m 如果再把砝码竖 直拉下 0 02m 求放手后砝码的振动频率 振幅和能量 讨论振动能量时所说的 振动势能在最小值和最大值 2 2 1 kA之间变化 在本题情况下 这 振动势能是否是砝码重力势能与弹性势能之和 对 零势能 参考位置有无特殊规定 解解解解 取砝码静止时的位置为平衡位置 并令为坐标原点 向下为正方向 则有 0 kxmg 0 xmgk 当下拉x位置时 砝码所受回复力为 kxmgxxkf 0 因此砝码作简谐振动 x m k m f a m k Hz x g m xmg m k v2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 将初始条件 0 02 0 00 Vmx 代入振幅公式 m V xA02 0 2 2 02 0 能量为JkAE 22 1092 3 2 1 9 7 如图所示 一根长为 l 的轻绳上端固定 下端连 接一质量为 m 的小物体就构成一个单摆 一任意形状 的刚体 支在通过 O 点的光滑水平转轴上 就构成一 个复摆 设刚体对 O 轴的转动惯量为 J 质心 C 到 O 轴的距离为 h 试证明 在小角度摆动情况下 单摆和 复摆的运动是简谐振动 并求出其振动周期 解解解解 当单摆单摆单摆单摆在竖直面 即图面 内摆动 摆线与竖直 方向成 角时 物体 m 的重力对 O 轴的力矩为 sinmglM 负号表明 M 与 的转向相反 按定轴转动定律可知 JM 且对于物体有 2 mlJ sin 2 2 l g J M td d 当 角较小时 sin 因此在小角度摆动情况下 式中的 sin 可用 代替 得 a l g td d 2 2 由这个振动方程可知 在小角度摆动情况下 单摆的运动是简谐振动 由该运动方程可得小角度单摆的简谐振动的振动参量为 题题题题 9 7 图图图图 11 l g T l g 22 2 由于单摆的摆线长 l 和周期 T 容易精确测定 因此用单摆按上式测量当地的重力加速度 g 值是很简便的方法 即 2 2 4 T l g 对于复摆 同样有 当摆线与竖直方向成 角时 物体 m 的重力对 O 轴的力矩为 sinmghM 负号表明 M 与 的转向相反 根据定轴转动定律 JM 只是复摆 的转动惯量 J 不能从公式直接给出 可得复摆的运动方程 在小角度摆动时 为 sin 2 2 J mgh J M td d 由此振动方程可知 在小角度摆动情况下 复摆的运动也是简谐振动 J mgh T J mgh 22 2 根据上式 可以根据当地的 g 值和复摆的 m h T 等值求出该刚体对 O 轴的转动惯量 J 2 2 4 mghT J 9 8 已知两个平行简谐振动如下 5 3 10cos05 0 1 tx 5 1 10cos06 0 2 tx 式中 x 以米计 t 以秒计 1 求它们合成振动的振幅和初相 2 另有一平行简谐振动 10cos 07 0 33 tx 式中 x 亦以米计 t 亦以秒计 问 3 为 何值时 x1 x3的振幅量大 3 为何值时 x2 x3的振幅为最小 3 用旋转矢量图示法表示 1 2 两结果 解解解解 1 合成振幅为 mAAAAA 2 1221 2 2 2 1 1092 8 cos 2 合成初相为 379 022 68 03309 0 08283 0 tan coscos sinsin tan 1 2211 22111 o AA AA 2 10cos 07 0 33 tx 若 31 xx 的振幅最大 则 1 0 2 13 kk 5 3 3 若 32 xx 振幅最小 则两者刚好反相 1 0 12 23 kk 5 6 3 3 略 12 9 9 如图所示 C1被充电至 100V 而 C2未被充电 若 C2耐压 300V 将开关 K 与 C2接通 C2是否会被 击穿 何时操作 K 方能使 C2安全工作 解解解解 C1 上所带电量为 CUCQ16 0100101600 6 111 要使 C2能安全工作 则工作时的两端最高电势差不 能超过 300V 因此 C2上最大能带的电量为 CUCQ03 030010100 6 max22max2 因此 只有当 C1上所带电量大于 0 16 0 03 0 13C 时把开关 K 与 C2接通 才不会使 C2 上所带电量超过 0 03C 9 10 有两个平行同频率的简谐振动 其合成振动的振幅为 0 20m 周相与第一振动的周相 差为 6 已知第一振动的振幅为 0 173m 求第二振动的振幅以及第一 第二两振动之间的 周相差 解解解解 作旋转矢量如图所示 有几何关系得 mAAAAA O 1 030cos2 1 2 1 2 2 再由 cos 2 1212 2 2 2 1 2 AAAAA 解得 0 cos 12 2 12 9 11 一待测频率的音叉与一频率为 440Hz 的标准音叉并排放着 并同时振动 声音响度有 周期性起伏 每隔 0 5s 听到一次最大的响度音 在待测音叉一端粘上一块橡皮泥 最大响 度的音之间的时间间隔便拉长一些 问这一音叉的频率是多少 解解解解 待测频率的音叉与一频率为 440Hz 的标准音叉并排放着 同时振动 两者的声音产生 拍的现象 每隔 0 5s 听到一次最大的响度音 说明拍的频率为25 0 1 12 待测 音叉的频率为 442Hz 或 438Hz 在待测音叉一端粘上一块橡皮泥 最大响度的音之间的时间间隔便拉长一些 说明待测 频率的音叉与标准音叉之间的频率差减小 粘上一块橡皮泥 阻尼增加 待测音叉频率降低 所以 待测音叉的频率应该为 442Hz 9 12 示波管的电子束受到两个相互垂直的电场作用 若电子在两个方向的位移分别为 tAx cos 和 tAycos 求在 0 30 90 三种情况下 电子在荧光屏上的方程 解解解解 轨道方程为 sin cos 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 题题题题 9 9 图图图图 13 因 12 AAA 12 2222 sincos2Axyyx 当0 时 得yx 为一过原点的直线 说明电子沿直线作往返运动 当 0 30 时 得 222 4 1 3Axyyx 为一椭圆 且运动方程为 tAx cos 30cos 0 tAy 当 0 90 t 时 电子位于 0 A 2 1 处 此后瞬 间0 x 0 x 0 y 电子位于第四象限内 表明电子仍顺时针转动 9 13 图中所示为显示在 20 20cm2示波器荧屏上的利萨如 图形 已知水平方向 x 方向 偏转电压频率为 50Hz t 0 时 光点在右上角 试写出荧光点在 x y 方向振动的表达式 解解解解 y x yx yx y N 2 N1 1 2 25HZ 从图形可以读出振幅10cmA 由于 t 0 时 光点在右上角 x y 方向振动的初相位都为 0 cmt10cos50y cm100cos10 tx 9 14 火车在铁轨上行驶 每经过铁轨接轨处即受到一次振动 从而使装在弹簧上面的车 厢上下振动 设每段铁轨长 12 5m 弹簧平均负重 5 4 104N 而弹簧每受 9 8 103N 的力 将压缩 1 6mm 试问火车速度多大时 振动特别强 解解解解 N m10125 6 106 1 108 9 6 3 3 x f k s188 0 10125 68 9 104 5 22 2 6 4 k m T 当火车行驶经过接轨处的周期与弹簧的振动周期相同时 火车振动最强 设 L 为每段铁轨的长度 则 m s66 188 0 5 12 T L v 9 15 下图所示的 LC 回路 L 1 H C 10pF 电源电压 U 6V 在开始计时时 开关 K 从图 a 的位置转到图 b 的位置 回路将发生振荡 1 试写出电容 C 上电荷 q 的振荡表达 式 2 如果在回路中串连一个电阻 R 以使它不发生振荡 这个电阻至少应为多大 题题题题 9 13 图图图图 14 题题题题 9 15 图图图图 解解解解 9 16 一横波沿绳子传播时的波动方程为 xty 410cos05 0 式中各量均用国际 单位 1 求此波的振幅 波速 频率和波长 2 求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度 3 求m2 0 x处的质点 在 t 1s 时的相位 它是原点处质点在哪一时刻的相位 这一 相位所代表的运动状态在 t 1 25s 时到达哪一点 4 分别图示 t 1 1 1 1 25 1 5s 各时刻的波形 解解解解 波动方程0 05cos 104 ytx 可以改写为 0 05cos 10 10 4 x yt 可知10 rad s 10 2 5 m s 4 v 1 振幅 A 0 05m 波速m s5 2 4 10 v 频率 110 5Hz 22 f T 波长 0 5mvf 2 质 点 振 动 速 度 xtxt t y v 410sin5 0410sin1005 0 max 0 51 57 vm s 质点振动加速度 2 0 510 cos 104 5cos 104 v atxtx t 22 max 549 3 am s 15 3 质点的相位为104t x mx2 0 st1 时 10140 29 2 原 点 处0 x 109 2t st92 0 它是原点处0 92ts 时刻的相位 在st25 1 时 设达到 x 点 则101 2549 2x 0 825mx 4 略 9 17 一波源做简谐振动 周期为 100 1 s 经平衡位置向正方向运动时 作为计时起点 设 此振动以 v 400m s 的速度沿直线传播 求 1 这波动沿某一波线的波动方程 2 距波源为 16m 和 20m 处的点的振动方程和初周相 3 距波源为 15m 和 16m 的丙点的周相差 解解解解 1 波源初始时刻的振动状态为经过平衡位置向 x 轴正方向运动 波源振动的初位相为 2 波源的振动方程为 2 200cos 2 2 cos 2 cos tAt T AtAy 振动以 v 400m s 的速度沿 x 轴向前传播 波动方程为 22 200cos 2 200200cos 2 200cos xtA u x tA u x tAy 2 mx16 1 处质点的振动方程为 2 200cos 2 16 2 200cos 22 200cos 11 tAtAxtAy 初相位2 1 mx20 2 处质点的振动方程为 2 200cos 2 20 2 200cos 2 tAtAy 初相位2 2 3 mx15 3 处质点的振动方程为 200cos 2 15 2 200cos 3 tAtAy 初相位0 3 两点振动的相位差为 2 13 16 9 18 一列沿 x 正向传播的简谐波 已知 t1 0和 t2 0 25s 时的波形如图所示 试求 1 P 点的振动式 2 波动方程 3 画出 O 点的振 动曲线 解解解解 由图像可知 A 0 2m T 1s 2 v 3 5 m s 0 x点处的振动式为 tAtAy2coscos 当0 t时 0cos Ay 当s25 0 t时 AAy 2 cos 即1sin 0cos 则 2 波动方程通式为 v x tAcos 代入上述参数 得 23 10 2cos2 0 26 0 2cos2 0 xt x t 对 P 点 m3 0 2 x 则 P 点的振动方程为 2 2cos2 0 t P 对 O 点 振动方程为 2 2cos2 0 t O 振动曲线为 9 19 设有一很长的弦线 线密度 0 40kg m 张力 T 5 0 103N 现将功率 P 300W 的简 谐振动源作用于弦的一端 振动频率为 300Hz 试求 1 波的波速和波长 2 波的振幅 3 先波源初相为 0 写出波动方程 解解解解 1 3 2 5 0 10 1 1 10 m s 0 4 T v 2 1 1 10 0 37m 300 v 2 辐射强度 22 1 2 IvA 功率 2222 11 22 PISvA SvA 3 22 22 300 1 9 10 m 0 4 1 1 10 2300 P A v 3 已知波动方程的一般形式为 v x tAycos 而 A 0 0019m 2 600 rad s v 110 m s 0 题题题题 9 18 图图图图 17 波动方程为 110 600cos0019 0 x ty 9 20 一正弦式空气波 沿直径为0 14m的圆柱形管行进 波的平均强度为1 8 10 2J s m2 频率为 300Hz 波速为 300m s 问 1 波中的平均能量密度和最大能量密度是多少 2 每两个相邻的 周相差为 2 的同相面之间的波段中有多少能量 解解解解 1 3 353 18 10 J m6 10 J m 300 I w u 3 4 max J m101 22 ww 2 uD w D ww 22 22 J109 24J 300 300 2 0 14 3 14106 7 2 5 9 21 一平面波在无吸收媒质中以速度 v 20m s 沿直线传播 如图所示 传播方向沿 x 轴负 方向 已知在传播路径上某点 A 的振动方程为 A 3cos4 t 1 如以点 A 为坐标原点 写出波动方程 2 如以距 A 点 5m 处的 B 点为坐标原点 写出波动方程 3 写出在传播方向上 B 点 C 点和 D 点 的振动方程 解解解解 1 20 4cos3 x ttxy 2 B 点振动方程为 ttyB4cos3 20 5 4cos3 波动方程为 20 4cos3 x ttxy 3 B 点的振动方程 4cos 3 20 0 4cos3 0 tttyB C 点的振动方程 5 3 4cos 3 20 8 4cos3 8 tttyC D 点的振动方程 5 9 4cos 3 20 14 4cos3 14 tttyD 9 22 一扬声器的膜片 半径为 0 1m 欲使它产生 1kHz 40W 的声辐射 则膜片的振幅应 为多大 已知空气密度为 1 29kg m3 声速为 344m s 解解解解 18 22222 222 11 22 22 0 38mm PISA vSA v r PP Ar A v rv 9 23 为了保持波源的振动不变 需要消耗 4W 的功率 如果波源发出的波是球面波 且媒 质不吸收波的能量 求距波源 1m 和 2m 处的能流密度 解解解解 保持振动不变 需要消耗 4W 的功率 平均能流 wP4 能流密度 s P I 在距离波源 1m 处 2 1 1 4 r P I mr1 1 22 1 318 0 1 mwmwI 在距离波源 2m处 2 2 2 4 r P I mr2 2 222 2 2 2 08 0 4 1 4 mwmwmw r P I 9 24 一平面简谐波的频率为 500Hz 在空气 1 3kg m 中以 v 340m s 的速度传播 达到人耳时 振幅为 A 10 4cm 试求耳中的平均能量密度 声强和声强级 这是通常我 们听报告的声强 解解解解 平均能量密度 362623322 J m104 6 10 5002 10103 1 2 1 2 1 3 J m Aw 声强 2 32 W m102 2340Wm 6 106 4uw I 9 25 真空中 一平面电磁波的电场由下式给出 0EV m 102cos1060 0 z 82 c x tEE yx 求 1 波长和频率 2 传播方向 3 磁场的大小和方向 分析 因为E H及电磁波的传播方向三者相互垂直构成右手螺旋关系 电场矢量 E 在 y 方向振动 电磁波以波速 c 沿 x 正向传播 因此可判定磁场矢量 H 在 z 方向振动 解解解解 1 由电场强度波函数的srad 102 8 Hzv 8 10 2 则 m v c 3 10 103 8 8 2 由电场强度波函数表示式可知电磁波的传播方向为 x 正向 3 由HB 0 000000 EHB c 1 00 得T c E B 90 0 100 2 102cos 100 2 89 c x tBz 0 yx BB 9 26 设一发射无线电波的天线可视为振荡电偶极子 电矩振幅为 2 26 10 4C m 频率为 800 千周 求 1 无线电波的波长 2 辐射功率 3 在偶极子赤道圈上距离偶极子为 19 2km 处的平均辐射强度 4 该处的电场强度和磁场强度的振幅 解解解解 1 无线电波的波长为 mfc375 10800 100 3 3 8 2 辐射功率 kw v wp P62 3 12 42 0 3 平均辐射强度 vr wp S 22 442 0 32 sin 在赤道上 0 90 24 22 442 0 1008 1 32 sin mw vr wp S 4 电场强度的振幅 2 2 0 4 sin rv wp AE 0 90 mvAE 285 0 磁场强度的振幅为 rv wp AH 4 sin 2 0 0 90 mAAH 1059 7 4 9 27 一广播电台的辐射功率为 10kW 假定辐射场均匀分布在以电台为中心的半球面上 1 求距离电台 r 10km 处的坡印庭矢量的平均值 2 若上述距离处的电磁波可看作平面波 求该处的电场强度和磁场强度的振幅 解解解解 1 坡印庭矢量的平均为 4 52 242 10 1 59 10 W m 22 10 PP S sr 2 若上述距离处的电磁波可看作平面波 变化范围不大 电场强度和磁场强度的振幅 可认为不变 2 0 2 0 4 sin vr p E rv p H 4 sin 0 2 0 00 2 1 HES 由 vr p S 22 22 0 4 32 sin 可得 Svr p 22 0 2 32 sin 在真空中 0 0 HH cv 00 1 c 将各项数据代入 得 mV rv Svr E 109 0 4 32 2 0 0 22 0 mA E S H 1089 2 2 4 0 0 9 28 S1和 S2是两相干波源 相距 4 S1 比 S2的周相超前 2 设两波在 S1 S2连线方向 上的强度相同且不随距离变化 问 S1S2连线上在 S1外侧各点处的合成波的强度如何 又在 S2外侧各点处的强度如何 解解解解 S1比 S2的周期超前 2 两波的强度相同 设 cos 01 twA 2 cos 02 wtA 20 在 S1外侧距离 S1为 x 处 2 cos 01 x twA 2 cos 2 4 2 cos 02 x twA